温州市2026年高三下学期第五次调研考试数学试题（含答案解析）

这是一份温州市2026年高三下学期第五次调研考试数学试题（含答案解析），共18页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，已知向量，若，则实数的值为，的二项展开式中，的系数是，函数的部分图象大致是等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线和点，直线与抛物线交于不同两点，，直线与抛物线交于另一点．给出以下判断：
①以为直径的圆与抛物线准线相离；
②直线与直线的斜率乘积为；
③设过点，，的圆的圆心坐标为，半径为，则．
其中，所有正确判断的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
2．已知复数，若，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
3．设，则，则（ ）
A．B．C．D．
4．设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，，=(1，)，且在方向上的投影为，则等于（ ）
A．2B．1C．D．0
6．已知向量，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
7．的二项展开式中，的系数是（ ）
A．70B．-70C．28D．-28
8．函数的部分图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
9．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
A．56B．60C．140D．120
10．在四面体中，为正三角形，边长为6，，，，则四面体的体积为（ ）
A．B．C．24D．
11．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ）
A．B．C．D．
12．设，则复数的模等于( )
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知F为双曲线的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，D为垂足，且（O为坐标原点），则C的离心率为________.
14．一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动，则容器体积的最小值为_________.
15．执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为13，则输入的x的值是_______.
16．已知函数在上仅有2个零点，设，则在区间上的取值范围为_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在直角坐标系中，点的坐标为，直线的参数方程为（为参数，为常数，且）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系，圆的极坐标方程为.设点在圆外.
（1）求的取值范围.
（2）设直线与圆相交于两点，若，求的值.
18．（12分）已知椭圆E：（）的离心率为，且短轴的一个端点B与两焦点A，C组成的三角形面积为.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若点P为椭圆E上的一点，过点P作椭圆E的切线交圆O：于不同的两点M，N（其中M在N的右侧），求四边形面积的最大值.
19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求直线与曲线的普通方程，并求出直线的倾斜角；
（2）记直线与轴的交点为是曲线上的动点，求点的最大距离.
20．（12分）在直角坐标平面中，已知的顶点，，为平面内的动点，且.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设过点且不垂直于轴的直线与交于，两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过轴上的定点.
21．（12分）已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围.
22．（10分）在中，，.已知分别是的中点.将沿折起，使到的位置且二面角的大小是60°，连接，如图：
（1）证明：平面平面
（2）求平面与平面所成二面角的大小.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
对于①，利用抛物线的定义，利用可判断；
对于②，设直线的方程为，与抛物线联立，用坐标表示直线与直线的斜率乘积，即可判断；
对于③，将代入抛物线的方程可得，，从而，，利用韦达定理可得，再由，可用m表示，线段的中垂线与轴的交点（即圆心）横坐标为，可得a，即可判断.
【详解】
如图，设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，则圆心为线段的中点．
设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，
显然，，三点不共线，
则．所以①正确．
由题意可设直线的方程为，
代入抛物线的方程，有．
设点，的坐标分别为，，
则，．
所以．
则直线与直线的斜率乘积为．所以②正确．
将代入抛物线的方程可得，，从而，．根据抛物线的对称性可知，
，两点关于轴对称，所以过点，，的圆的圆心在轴上．
由上，有，，
则．
所以，线段的中垂线与轴的交点（即圆心）横坐标为，所以．
于是，，
代入，，得，
所以．
所以③正确．
故选：D
本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.
2．D
【解析】
由复数模的定义可得：，求解关于实数的方程可得：.
本题选择D选项.
3．A
【解析】
根据换底公式可得，再化简，比较的大小，即得答案.
【详解】
，
，
.
，显然.
,即，
，即.
综上，.
故选：.
本题考查换底公式和对数的运算，属于中档题.
4．C
【解析】
设，求，作为的函数，其最小值是6，利用导数知识求的最小值．
【详解】
设，则，记，
，易知是增函数，且的值域是，
∴的唯一解，且时，，时，，即，
由题意，而，，
∴，解得，．
∴．
故选：C．
本题考查导数的应用，考查用导数求最值．解题时对和的关系的处理是解题关键．
5．B
【解析】
先求出，再利用投影公式求解即可.
【详解】
解：由已知得，
由在方向上的投影为，得，
则.
故答案为：B.
本题考查向量的几何意义，考查投影公式的应用，是基础题.
6．D
【解析】
由两向量垂直可得，整理后可知，将已知条件代入后即可求出实数的值.
【详解】
解：，，即，
将和代入，得出，所以.
故选:D.
本题考查了向量的数量积，考查了向量的坐标运算.对于向量问题，若已知垂直，通常可得到两个向量的数量积为0，继而结合条件进行化简、整理.
7．A
【解析】
试题分析：由题意得，二项展开式的通项为，令，所以的系数是，故选A．
考点：二项式定理的应用．
8．C
【解析】
判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.
【详解】
，函数是奇函数，排除，
时，，时，，排除，
当时，，
时，，排除，
符合条件，故选C.
本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.
9．C
【解析】
试题分析：由题意得，自习时间不少于小时的频率为，故自习时间不少于小时的频率为，故选C.
考点：频率分布直方图及其应用．
10．A
【解析】
推导出，分别取的中点,连结，则，推导出，从而，进而四面体的体积为，由此能求出结果.
【详解】
解： 在四面体中，为等边三角形，边长为6，
，，，
，
，
分别取的中点，连结，
则，
且，，
，
，
平面，平面，
，
四面体的体积为：
.
故答案为：.
本题考查四面体体积的求法，考查空间中线线，线面，面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力.
11．D
【解析】
根据等差数列公式直接计算得到答案.
【详解】
依题意，，故，故，故，故选：D．
本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.
12．C
【解析】
利用复数的除法运算法则进行化简,再由复数模的定义求解即可.
【详解】
因为,
所以,
由复数模的定义知,.
故选:C
本题考查复数的除法运算法则和复数的模;考查运算求解能力;属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．2
【解析】
求出焦点到渐近线的距离就可得到的等式，从而可求得离心率．
【详解】
由题意，一条渐近线方程为，即，
∴ ，由得，
∴，，∴．
故答案为：2.
本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出焦点到渐近线的距离，从而得出一个关于的等式．
14．
【解析】
一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动,则圆柱形容器的底面直径及高的最小值均等于长方体的体对角线的长,长方体的体对角线的长为,所以容器体积的最小值为.
15．8
【解析】
根据伪代码逆向运算求得结果.
【详解】
输入，若，则，不合题意
若，则，满足题意
本题正确结果：
本题考查算法中的语言，属于基础题.
16．
【解析】
先根据零点个数求解出的值，然后得到的解析式，采用换元法求解在上的值域即可.
【详解】
因为在上有两个零点，
所以，所以，所以且，
所以，所以，
所以，
令，所以，所以，
因为，所以，所以，所以，
所以 ，，
所以.
故答案为：.
本题考查三角函数图象与性质的综合，其中涉及到换元法求解三角函数值域的问题，难度较难. 对形如的函数的值域求解，关键是采用换元法令，然后根据，将问题转化为关于的函数的值域，同时要注意新元的范围.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）
【解析】
（1）首先将曲线化为直角坐标方程，由点在圆外，则解得即可；
（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，设、对应的参数分别为，列出韦达定理，由及在圆的上方，得，即即可解得；
【详解】
解：（1）曲线的直角坐标方程为.
由点在圆外，得点的坐标为，结合，解得.
故的取值范围是.
（2）由直线的参数方程，得直线过点，倾斜角为，
将直线的参数方程代入，并整理得
，其中.
设、对应的参数分别为，则，.
由及在圆的上方，得，即，代入①，得，，
消去，得，结合，解得.
故的值是.
本题考查极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程的几何意义的应用，属于中档题.
18．（Ⅰ）；（Ⅱ）4.
【解析】
（Ⅰ） 结合已知可得，求出a，b的值，即可得椭圆方程；
（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在，设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于0可得，联立直线方程与圆的方程，结合根与系数的关系求得，利用弦长公式及点到直线的距离公式，求出，得到，整理后利用基本不等式求最值.
【详解】
解：（Ⅰ）可得，结合，
解得，，，得椭圆方程；
（Ⅱ）易知直线的斜率k存在，设：，
由，得，
由，得，
∵，
设点O到直线：的距离为d，
，
，
由，得，
，，
∴

∴，
∴
而，，易知，∴，则，
四边形的面积
当且仅当，即时取“”.
∴四边形面积的最大值为4.
本题考查了由求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，综合性比较强，属于难题.
19．（1），，直线的倾斜角为
（2）
【解析】
（1）由公式消去参数得普通方程，由公式可得直角坐标方程后可得倾斜角；
（2）求出直线与轴交点，用参数表示点坐标，求出，利用三角函数的性质可得最大值．
【详解】
（1）由，消去得的普通方程是：
由，得，
将代入上式，化简得
直线的倾斜角为
（2）在曲线上任取一点，
直线与轴的交点的坐标为
则
当且仅当时，取最大值.
本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题．求两点间距离的最值时，用参数方程设点的坐标可把问题转化为三角函数问题．
20．（1）（）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）设点，分别用表示、表示和余弦定理表示，将表示为、的方程，再化简即可；
（2）设直线方程代入的轨迹方程，得，设点，，，表示出直线，取，得，即可证明直线过轴上的定点.
【详解】
（1）设，由已知，
∴，
∴（），
化简得点的轨迹的方程为：（）；
（2）由（1）知，过点的直线的斜率为0时与无交点，不合题意
故可设直线的方程为：（），代入的方程得：
.
设，，则，
，.
∴直线：.
令，得
.
直线过轴上的定点.
本题主要考查轨迹方程的求法、余弦定理的应用和利用直线和圆锥曲线的位置关系求定点问题，考查学生的计算能力，属于中档题.
21．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）f′（x）=（x+1）ex-ax-a=（x+1）（ex-a）．对a分类讨论，即可得出单调性．
（2）由xex-ax-a+1≥0，可得a（x+1）≤xex+1，当x=-1时，0≤-+1恒成立．当x＞-1时，a令g（x）=，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
【详解】
解法一：（1）
①当时，
所以在上单调递减，在单调递增.
②当时，的根为或.
若，即，
所以在，上单调递增，在上单调递减.
若，即，
在上恒成立，所以在上单调递增，无减区间.
若，即，
所以在，上单调递增，在上单调递减.
综上：
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
自时，在上单调递增，无减区间；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（2）因为，所以.
当时，恒成立.
当时，.
令，，
设，
因为在上恒成立，
即在上单调递增.
又因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
则，所以.
综上，的取值范围为.
解法二：（1）同解法一；
（2）令，
所以，
当时，，则在上单调递增，
所以，满足题意.
当时，
令，
因为，即在上单调递增.
又因为，，
所以在上有唯一的解，记为，
，满足题意.
当时，，不满足题意.
综上，的取值范围为.
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22．（1）证明见解析（2）45°
【解析】
（1）设的中点为，连接，设的中点为，连接，，从而即为二面角的平面角，，推导出，从而平面，则，即，进而平面，推导四边形为平行四边形，从而，平面，由此即可得证.
（2）以B为原点，在平面中过B作BE的垂线为x轴，BE为y轴，BA为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面与平面所成二面角的大小.
【详解】
（1）∵是的中点，∴.
设的中点为，连接.
设的中点为，连接，.
易证：，，
∴即为二面角的平面角.
∴，而为的中点.
易知，∴为等边三角形，∴.①
∵，，，∴平面.
而，∴平面，∴，即.②
由①②，，∴平面.
∵分别为的中点.
∴四边形为平行四边形.
∴，平面，又平面.
∴平面平面.
（2）如图，建立空间直角坐标系，设.
则，，，，
显然平面的法向量，
设平面的法向量为，，，
∴，∴.
，
由图形观察可知，平面与平面所成的二面角的平面角为锐角.
∴平面与平面所成的二面角大小为45°.
本题主要考查立体几何中面面垂直的证明以及求解二面角大小，难度一般，通常可采用几何方法和向量方法两种进行求解.
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极小值
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