四川省广安市2026年高三第二次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份四川省广安市2026年高三第二次模拟考试数学试卷（含答案解析），共18页。试卷主要包含了若直线的倾斜角为，则的值为等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )

A．B．C．D．
2．已知函数，，若存在实数，使成立，则正数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ）

A．B．C．D．
4．已知椭圆+=1(a>b>0)与直线交于A，B两点，焦点F(0，-c)，其中c为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知、是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．由曲线y＝x2与曲线y2＝x所围成的平面图形的面积为( )
A．1B．C．D．
7．若的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数的值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
8．若直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（ ）
A．B．
C．D．
10．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X近似服从正态分布，且．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ）
A．40B．60C．80D．100
11．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；
④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．
其中正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
12．已知数列满足：，则( )
A．16B．25C．28D．33
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知命题：，，那么是__________.
14．已知在△ABC中，（2sin32°，2cs32°），（cs77°，﹣cs13°），则⋅_____，△ABC的面积为_____．
15．在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为_______________，第_______________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.
16．已知数列{an}的前n项和为Sn，向量（4，﹣n），（Sn，n+3）.若⊥，则数列{}前2020项和为_____
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）己知点，分别是椭圆的上顶点和左焦点，若与圆相切于点，且点是线段靠近点的三等分点.
求椭圆的标准方程；
直线与椭圆只有一个公共点，且点在第二象限，过坐标原点且与垂直的直线与圆相交于，两点，求面积的取值范围.
18．（12分）已知x，y，z均为正数．
（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；
（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．
19．（12分）如图所示，三棱柱中，平面，点，分别在线段，上，且，，是线段的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，，，求直线与平面所成角的正弦值.
20．（12分）在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若射线的极坐标方程为（）.设与相交于点，与相交于点，求.
21．（12分）已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求的值.
22．（10分）已知函数f（x）ax﹣lnx（a∈R）.
（1）若a＝2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）设g（x）＝f（x）1，若函数g（x）在上有两个零点，求实数a的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
设球心为，三棱柱的上底面的内切圆的圆心为，该圆与边切于点，根据球的几何性质可得为直角三角形，然后根据题中数据求出圆半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积．
【详解】
如图，设三棱柱为，且，高．
所以底面为斜边是的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆，圆与边切于点，
则圆的半径为．
设球心为，则由球的几何知识得为直角三角形，且，
所以，
即球的半径为，
所以球的体积为．
故选A．
本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：
（1）构造以球半径、球心到小圆圆心的距离和小圆半径为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法．
（2）若直角三角形的两直角边为，斜边为，则该直角三角形内切圆的半径，合理利用中间结论可提高解题的效率．
2．A
【解析】
根据实数满足的等量关系，代入后将方程变形，构造函数，并由导函数求得的最大值；由基本不等式可求得的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数的取值范围.
【详解】
函数，，
由题意得，
即，
令，
∴，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，而，
当且仅当，即当时，等号成立，
∴，
∴.
故选：A.
本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.
3．C
【解析】
先根据组合数计算出所有的情况数，再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况，由此可求解出对应的概率.
【详解】
所有的情况数有：种，
3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有：
，共种，
所以目标事件的概率.
故选：C.
本题考查概率与等差数列的综合，涉及到背景文化知识，难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行分析；当情况数较多时，可考虑用排列数、组合数去计算.
4．A
【解析】
联立直线与椭圆方程求出交点A，B两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式，解方程求解即可.
【详解】
联立方程，解方程可得或，
不妨设A(0，a)，B(-b，0)，由题意可知，·=0，
因为，，
由平面向量垂直的坐标表示可得，，
因为，所以a2-c2=ac，
两边同时除以可得，，
解得e=或（舍去），
所以该椭圆的离心率为.
故选：A
本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
5．A
【解析】
双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，
不妨设过点F1与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），
与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），
∵点M在以线段F1F1为直径的圆外，
∴|OM|＞|OF1|，即有+＞c1，
∴＞3，即b1＞3a1，
∴c1﹣a1＞3a1，即c＞1a．
则e=＞1．
∴双曲线离心率的取值范围是（1，+∞）．
故选：A．
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
6．B
【解析】
首先求得两曲线的交点坐标，据此可确定积分区间，然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.
【详解】
联立方程：可得：，，
结合定积分的几何意义可知曲线y＝x2与曲线y2＝x所围成的平面图形的面积为：
.
本题选择B选项.
本题主要考查定积分的概念与计算，属于中等题.
7．C
【解析】
由二项式系数性质，的展开式中所有二项式系数和为计算．
【详解】
的二项展开式中二项式系数和为，．
故选：C．
本题考查二项式系数的性质，掌握二项式系数性质是解题关键．
8．B
【解析】
根据题意可得：，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将代入计算即可求出值．
【详解】
由于直线的倾斜角为，所以，
则
故答案选B
本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
9．D
【解析】
设，则，小正六边形的边长为，利用余弦定理可得大正六边形的边长为，再利用面积之比可得结论.
【详解】
由题意，设，则，即小正六边形的边长为，
所以，，，在中，
由余弦定理得，
即，解得，
所以，大正六边形的边长为，
所以，小正六边形的面积为，
大正六边形的面积为，
所以，此点取自小正六边形的概率.
故选：D.
本题考查概率的求法，考查余弦定理、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
10．D
【解析】
由正态分布的性质，根据题意，得到，求出概率，再由题中数据，即可求出结果.
【详解】
由题意，成绩X近似服从正态分布，
则正态分布曲线的对称轴为，
根据正态分布曲线的对称性，求得，
所以该市某校有500人中，估计该校数学成绩不低于110分的人数为人，
故选:.
本题考查正态分布的图象和性质,考查学生分析问题的能力,难度容易.
11．C
【解析】
利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可．
【详解】
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高分，平均成绩为低于分，①错误；
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内，②正确；
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；
④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．
故选：C．
本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．
12．C
【解析】
依次递推求出得解.
【详解】
n=1时，，
n=2时，，
n=3时，，
n=4时，，
n=5时，.
故选：C
本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．真命题
【解析】
由幂函数的单调性进行判断即可.
【详解】
已知命题：，，因为在上单调递增，则，所以是真命题，
故答案为：真命题
本题主要考查了判断全称命题的真假，属于基础题.
14．
【解析】
①根据向量数量积的坐标表示结合两角差的正弦公式的逆用即可得解；②结合①求出，根据面积公式即可得解.
【详解】
①2（sin32°•cs77°﹣cs32°•sin77°），
②，，
∴，
∴．
故答案为：．
此题考查平面向量与三角函数解三角形综合应用，涉及平面向量数量积的坐标表示，三角恒等变换，根据三角形面积公式求解三角形面积，综合性强.
15．16 1
【解析】
由题意可知出院人数构成一个首项为1，公比为2的等比数列，由此可求结果．
【详解】
某医院一次性收治患者127人．
第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．
且从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，
从第15天开始，每天出院人数构成以1为首项，2为公比的等比数列，
则第19天治愈出院患者的人数为，
，
解得，
第天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．
故答案为：16，1．
本题主要考查了等比数列在实际问题中的应用，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
16．
【解析】
由已知可得•4Sn﹣n（n+3）＝0，可得Sn，n＝1时，a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1.可得：2（）.利用裂项求和方法即可得出.
【详解】
∵⊥，∴•4Sn﹣n（n+3）＝0，
∴Sn，n＝1时，a1＝S1＝1.
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1.
，满足上式，.
∴2（）.
∴数列{}前2020项和为
2（1）＝2（1）.
故答案为：.
本题考查了向量垂直与数量积的关系、数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．;.
【解析】
连接，由三角形相似得，，进而得出，，写出椭圆的标准方程；
由得，，因为直线与椭圆相切于点，，解得，，因为点在第二象限，所以，，所以，设直线与垂直交于点，则是点到直线的距离，设直线的方程为，则，求出面积的取值范围.
【详解】
解：连接，由可得，
，，
椭圆的标准方程；
由得，，
因为直线与椭圆相切于点，
所以，即，
解得，，
即点的坐标为，
因为点在第二象限，所以，，
所以，
所以点的坐标为，
设直线与垂直交于点，则是点到直线的距离，
设直线的方程为，
则
，
当且仅当，即时，有最大值，
所以，即面积的取值范围为.
本题考查直线和椭圆位置关系的应用，利用基本不等式，属于难题.
18．（1）证明见解析；（2）最小值为1
【解析】
（1）利用基本不等式可得 , 再根据0＜xy＜1时, 即可证明|x+z|⋅|y+z|＞4xyz.
（2）由＝, 得，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3，从而求出2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.
【详解】
（1）证明：∵x，y，z均为正数，
∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝，
当且仅当x＝y＝z时取等号．
又∵0＜xy＜1，∴，
∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；
（2）∵＝，即．
∵，
，
，
当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，
∴，
∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥1，
∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为1．
本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题．
19．（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）取中点为，根据几何关系，求证四边形为平行四边形，即可由线线平行推证线面平行；
（Ⅱ）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，即可求得线面角的正弦值.
【详解】
（Ⅰ）取的中点，连接，.如下图所示：
因为，分别是线段和的中点，
所以是梯形的中位线，所以.
又，所以.
因为，，
所以四边形为平行四边形，所以.
所以，.
所以四边形为平行四边形，所以.
又平面，平面，
所以平面.
（Ⅱ）因为，且平面，
故可以为原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
如下图所示：
不妨设，则，
所以，，，，.
所以，，.
设平面的法向量为，
则所以
可取.
设直线与平面所成的角为，
则.
故可得直线与平面所成的角的正弦值为.
本题考查由线线平行推证线面平行，以及用向量法求解线面角，属综合中档题.
20．（1）曲线的普通方程为；直线的直角坐标方程为（2）
【解析】
（1）利用消去参数，将曲线的参数方程化成普通方程，利用互化公式，
将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）根据（1）求出曲线的极坐标方程，分别联立射线与曲线以及射线与直线的极坐标方程，求出和，即可求出.
【详解】
解：（1）因为（为参数），所以消去参数，得，
所以曲线的普通方程为.
因为所以直线的直角坐标方程为.
（2）曲线的极坐标方程为.
设的极径分别为和，
将（）代入，解得，
将（）代入，解得.
故.
本题考查利用消参法将参数方程化成普通方程以及利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程，还考查极径的运用和两点间距离，属于中档题.
21．（1）见解析；（2）
【解析】
分析：(1)先构造函数，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式;(2)研究零点，等价研究的零点，先求导数：，这里产生两个讨论点，一个是a与零，一个是x与2，当时，，没有零点；当时，先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a的值.
详解：（1）当时，等价于．
设函数，则．
当时，，所以在单调递减．
而，故当时，，即．
（2）设函数．
在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．
（i）当时，，没有零点；
（ii）当时，．
当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
故是在的最小值．
①若，即，在没有零点；
②若，即，在只有一个零点；
③若，即，由于，所以在有一个零点，
由（1）知，当时，，所以．
故在有一个零点，因此在有两个零点．
综上，在只有一个零点时，．
点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
22．（1）单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）（2）（3，2e]
【解析】
（1）当a＝2时，求出，求解，即可得出结论；
（2）函数在上有两个零点等价于a＝2x在上有两解，构造函数，，利用导数，可分析求得实数a的取值范围.
【详解】
（1）当a＝2时，定义域为，
则，令，
解得x1，或x1（舍去），
所以当时，单调递减；
当时，单调递增；
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
（2）设，
函数g（x）在上有两个零点等价于在上有两解
令，，则，
令，，
显然，在区间上单调递增，又，
所以当时，有，即，
当时，有，即，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
时，取得极小值，也是最小值，
即，
由方程在上有两解及，
可得实数a的取值范围是.
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化思想以及数形结合思想，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.