2026届安徽省六校教育研究会高三下学期联合考试数学试题含解析

这是一份2026届安徽省六校教育研究会高三下学期联合考试数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，已知集合，则集合，已知集合，则，已知，，，则等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，其底面边长为4，、、分别为侧棱，，的中点.若在三棱锥内，且三棱锥的体积是三棱锥体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥体积的比值为（ ）
A．B．C．D．
2．双曲线：（），左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．已知集合，，若，则实数的值可以为（ ）
A．B．C．D．
4．的展开式中的项的系数为（ ）
A．120B．80C．60D．40
5．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是( )
A．18种B．36种C．54种D．72种
6．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治，经济，文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出3种及其以上发明的有32人，据此估计该校三级的500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ）
A．69人B．84人C．108人D．115人
7．已知集合，则集合（ ）
A．B．C．D．
8．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
9．已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若．则该双曲线的离心率为
A．2B．3C．D．
10．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知为抛物线的准线，抛物线上的点到的距离为，点的坐标为，则的最小值是（ ）
A．B．4C．2D．
12．已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，，，，则______.
14．若直线与直线交于点，则长度的最大值为____．
15．已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_________．
16．若，则_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数
（1）解不等式；
（2）若函数，若对于任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围.
18．（12分）已知数列满足：，，且对任意的都有,
（Ⅰ）证明：对任意，都有；
（Ⅱ）证明：对任意，都有；
（Ⅲ）证明：.
19．（12分）若养殖场每个月生猪的死亡率不超过，则该养殖场考核为合格，该养殖场在2019年1月到8月养殖生猪的相关数据如下表所示：
（1）从该养殖场2019年2月到6月这5个月中任意选取3个月，求恰好有2个月考核获得合格的概率；
（2）根据1月到8月的数据，求出月利润y（十万元）关于月养殖量x（千只）的线性回归方程（精确到0.001）.
（3）预计在今后的养殖中，月利润与月养殖量仍然服从（2）中的关系，若9月份的养殖量为1.5万只，试估计：该月利润约为多少万元？
附：线性回归方程中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：，
参考数据：.
20．（12分）如图，在正四棱柱中，，，过顶点，的平面与棱，分别交于，两点（不在棱的端点处）.
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求证：与不垂直；
（3）若平面与棱所在直线交于点，当四边形为菱形时，求长.
21．（12分）甲、乙两班各派三名同学参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分，假设甲班三名同学答对的概率都是，乙班三名同学答对的概率分别是，，，且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响．
（1）记“甲、乙两班总得分之和是60分”为事件，求事件发生的概率；
（2）用表示甲班总得分，求随机变量的概率分布和数学期望．
22．（10分）已知圆：和抛物线：，为坐标原点．
（1）已知直线和圆相切，与抛物线交于两点，且满足，求直线的方程；
（2）过抛物线上一点作两直线和圆相切，且分别交抛物线于两点，若直线的斜率为，求点的坐标．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
如图，平面截球所得截面的图形为圆面，计算，由勾股定理解得，此外接球的体积为，三棱锥体积为，得到答案.
【详解】
如图，平面截球所得截面的图形为圆面.
正三棱锥中，过作底面的垂线，垂足为，与平面交点记为，连接、.
依题意，所以，设球的半径为，
在中，，，，
由勾股定理：，解得，此外接球的体积为，
由于平面平面，所以平面，
球心到平面的距离为，
则，
所以三棱锥体积为，
所以此外接球的体积与三棱锥体积比值为.
故选：D.
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
2、B
【解析】
首先求得双曲线的一条渐近线方程，再利用左焦点到渐近线的距离为2，列方程即可求出，进而求出渐近线的方程.
【详解】
设左焦点为，一条渐近线的方程为，由左焦点到渐近线的距离为2，可得，所以渐近线方程为，即为,
故选：B
【点睛】
本题考查双曲线的渐近线的方程，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.
3、D
【解析】
由题意可得，根据，即可得出，从而求出结果．
【详解】
，且，，
∴的值可以为．
故选：D．
【点睛】
考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算．
4、A
【解析】
化简得到，再利用二项式定理展开得到答案.
【详解】
展开式中的项为.
故选：
【点睛】
本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.
5、B
【解析】
把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇即得.
【详解】
把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇，
则不同的分配方案有种.
故选：.
【点睛】
本题考查排列组合，属于基础题.
6、D
【解析】
先求得名学生中，只能说出一种或一种也说不出的人数，由此利用比例，求得名学生中对四大发明只能说出一种或一种也说不出的人数.
【详解】
在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有人，设对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有人，则，解得人.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查利用样本估计总体，属于基础题.
7、D
【解析】
弄清集合B的含义，它的元素x来自于集合A，且也是集合A的元素.
【详解】
因，所以，故，又， ，则，
故集合.
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题.
8、C
【解析】
由题意和交集的运算直接求出.
【详解】
∵ 集合，
∴.
故选:C.
【点睛】
本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.
9、D
【解析】
本题首先可以通过题意画出图像并过点作垂线交于点，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形的形状并求出高的长度，的长度即点纵坐标，然后将点纵坐标带入圆的方程即可得出点坐标，最后将点坐标带入双曲线方程即可得出结果。
【详解】
根据题意可画出以上图像，过点作垂线并交于点，
因为，在双曲线上，
所以根据双曲线性质可知，，即，，
因为圆的半径为，是圆的半径，所以，
因为，，，，
所以，三角形是直角三角形，
因为，所以，，即点纵坐标为，
将点纵坐标带入圆的方程中可得，解得，，
将点坐标带入双曲线中可得，
化简得，，，，故选D。
【点睛】
本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考察了圆与双曲线的相关性质，考查了圆与双曲线的综合应用，考查了数形结合思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维能力，是难题。
10、C
【解析】
利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得,即可求得结果.
【详解】
，
所以，即.
故选:C.
【点睛】
本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易.
11、B
【解析】
设抛物线焦点为，由题意利用抛物线的定义可得，当共线时，取得最小值，由此求得答案.
【详解】
解：抛物线焦点，准线，
过作交于点，连接
由抛物线定义，
，
当且仅当三点共线时，取“＝”号，
∴的最小值为.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.
12、B
【解析】
对分类讨论，代入解析式求出，解不等式，即可求解.
【详解】
函数，由
得或
解得.
故选:B.
【点睛】
本题考查利用分段函数性质解不等式，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由已知利用同角三角函数的基本关系式可求得，的值，由两角差的正弦公式即可计算得的值.
【详解】
，，，，
，，
，
，
.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.
14、
【解析】
根据题意可知,直线与直线分别过定点,且这两条直线互相垂直,由此可知,其交点在以为直径的圆上,结合图形求出线段的最大值即可.
【详解】
由题可知,直线可化为,
所以其过定点,
直线可化为,
所以其过定点,且满足,
所以直线与直线互相垂直,
其交点在以为直径的圆上,作图如下:
结合图形可知,线段的最大值为,
因为为线段的中点,
所以由中点坐标公式可得,
所以线段的最大值为.
故答案为:
【点睛】
本题考查过交点的直线系方程、动点的轨迹问题及点与圆的位置关系;考查数形结合思想和运算求解能力;根据圆的定义得到交点在以为直径的圆上是求解本题的关键;属于中档题.
15、0或6
【解析】
计算得到圆心，半径，根据得到，利用圆心到直线的距离公式解得答案.
【详解】
，即，圆心，半径.
，故圆心到直线的距离为，即，故或.
故答案为：或.
【点睛】
本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力。
16、
【解析】
因为，所以.因为，所以，又，所以，所以..
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.
（2）利用绝对值三角不等式，求得的取值范围，根据分段函数解析式，求得的取值范围，结合题意列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】
（1），
由得或或；
解得.故所求解集为.
（2）
，
即.
由（1）知，
所以，即.
∴，∴.
【点睛】
本小题考查了绝对值不等式，绝对值三角不等式和函数最值问题，考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想.
18、（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【解析】
分析：(1)用反证法证明，注意应用题中所给的条件，有效利用，再者就是注意应用反证法证题的步骤；
(2)将式子进行相应的代换，结合不等式的性质证得结果；
(3)结合题中的条件，应用反证法求得结果.
详解：证明：（Ⅰ）证明：采用反证法，若不成立，则
若,则,与任意的都有矛盾；
若,则有,则
与任意的都有矛盾；
故对任意，都有成立；
（Ⅱ）由得，
则，由（Ⅰ）知，，
即对任意，都有；.
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：，
由（Ⅰ）知，， ∴，
∴，即，
若，则,取时，有，与矛盾.
则. 得证.
点睛：该题考查的是有关命题的证明问题，在证题的过程中，注意对题中的条件的等价转化，注意对式子的等价变形，以及证题的思路，要掌握证明问题的方法，尤其是反证法的证题思路以及证明步骤.
19、（1）；（2）；（3）利润约为111.2万元.
【解析】
（1）首先列出基本事件，然后根据古典概型求出恰好两个月合格的概率；
（2）首先求出利润y和养殖量x的平均值，然后根据公式求出线性回归方程中的斜率和截距即可求出线性回归方程；
（3）根据线性回归方程代入9月份的数据即可求出9月利润.
【详解】
（1）2月到6月中，合格的月份为2，3，4月份，
则5个月份任意选取3个月份的基本事件有
，，，，，，
，，，，共计10个，
故恰好有两个月考核合格的概率为；
（2），，
，
，
故；
（3）当千只，
（十万元）（万元），
故9月份的利润约为111.2万元.
【点睛】
本题主要考查了古典概型，线性回归方程的求解和使用，属于基础题.
20、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
（1）由平面与平面没有交点，可得与不相交，又与共面，所以，同理可证，得证；（2）由四边形是平行四边形，且，则不可能是矩形，所以与不垂直；（3）先证，可得为的中点，从而得出是的中点，可得.
【详解】
（1）依题意都在平面上，
因此平面，平面，
又平面，平面，
平面与平面平行，即两个平面没有交点，
则与不相交，又与共面，
所以，同理可证，
所以四边形是平行四边形；
（2）因为，两点不在棱的端点处，所以，
又四边形是平行四边形，，
则不可能是矩形，所以与不垂直；
（3）如图，延长交的延长线于点，
若四边形为菱形，则，易证，
所以，即为的中点，
因此，且，所以是的中位线，
则是的中点，所以.
【点睛】
本题考查了立体几何中的线线平行和垂直的判定问题，和线段长的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，属中档题.
21、（1）（2）分布列见解析，期望为20
【解析】
利用相互独立事件概率公式求解即可;
由题意知,随机变量可能的取值为0，10，20，30,分别求出对应的概率,列出分布列并代入数学期望公式求解即可.
【详解】
（1）由相互独立事件概率公式可得,
（2）由题意知,随机变量可能的取值为0，10，20，30.
，
，
，
,
所以，的概率分布列为
所以数学期望.
【点睛】
本题考查相互独立事件概率公式和离散型随机变量的分布列及其数学期望;考查运算求解能力;确定随机变量可能的取值,求出对应的概率是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
22、（1）;（2）或．
【解析】
试题分析: 直线与圆相切只需圆心到直线的距离等于圆的半径，直线与曲线相交于两点，且满足，只需数量积为0，要联立方程组设而不求，利用坐标关系及根与系数关系解题，这是解析几何常用解题方法，第二步利用直线的斜率找出坐标满足的要求，再利用两直线与圆相切，求出点的坐标.
试题解析：（1）解：设，，，由和圆相切，得．
∴．
由消去，并整理得，
∴，．
由，得，即．
∴．
∴，
∴，
∴．
∴．
∴或（舍）．
当时，，故直线的方程为．
（2）设，，，则．
∴．
设，由直线和圆相切，得，
即．
设，同理可得：．
故是方程的两根，故．
由得，故．
同理，则，即．
∴，解或．
当时，；当时，．
故或．
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
月养殖量/千只3
3
4
5
6
7
9
10
12
月利润/十万元
3.6
4.1
4.4
5.2
6.2
7.5
7.9
9.1
生猪死亡数/只
29
37
49
53
77
98
126
145
0
10
20
30