2026届安徽省合肥市第二中学高三第三次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届安徽省合肥市第二中学高三第三次模拟考试数学试卷含解析，共22页。试卷主要包含了甲乙丙丁四人中，甲说，函数的部分图象大致为，若点是角的终边上一点，则，设F为双曲线C等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是等差数列的前项和，若，设，则数列的前项和取最大值时的值为( )
A．2020B．20l9C．2018D．2017
2．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，这个数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫阶幻方．定义为阶幻方对角线上所有数的和，如，则（ ）
A．55B．500C．505D．5050
3．若两个非零向量、满足，且，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．某高中高三（1）班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上，小王，小董，小李各写了一幅书法作品，分别是：“入班即静”，“天道酬勤”，“细节决定成败”，为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的，班主任对三人进行了问话，得到回复如下：
小王说：“入班即静”是我写的；
小董说：“天道酬勤”不是小王写的，就是我写的；
小李说：“细节决定成败”不是我写的.
若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“入班即静”的书写者是（ ）
A．小王或小李B．小王C．小董D．小李
5．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
6．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．若点是角的终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
8．
A．B．C．D．
9．（ ）
A．B．C．1D．
10．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A．B．
C．2D．
11．已知命题，，则是（ ）
A．，B．，.
C．，D．，.
12．是正四面体的面内一动点，为棱中点，记与平面成角为定值，若点的轨迹为一段抛物线，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在平面直角坐标系xOy中，己知直线与函数的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为，，…，若点的横坐标为1，则点的横坐标为________.
14．正方体的棱长为2, 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦), 为正方体表面上的动点,当弦的长度最大时, 的取值范围是______.
15．已知函数，则曲线在处的切线斜率为________.
16．点P是△ABC所在平面内一点且在△ABC内任取一点，则此点取自△PBC内的概率是____
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数, ．
（1）当x≥0时，f（x）≤h（x）恒成立，求a的取值范围；
（2）当x＜0时，研究函数F（x）=h（x）﹣g（x）的零点个数；
（3）求证：（参考数据：ln1.1≈0.0953）．
18．（12分）在四棱锥中，是等边三角形，点在棱上，平面平面．
（1）求证：平面平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值；
（3）设直线与平面相交于点，若，求的值．
19．（12分）设函数.
（1）若，时，在上单调递减，求的取值范围；
（2）若，，，求证：当时，．
20．（12分）已知函数，.
（1）求证：在区间上有且仅有一个零点，且；
（2）若当时，不等式恒成立，求证：.
21．（12分）如图，在中，点在上，，，.
（1）求的值；
（2）若，求的长.
22．（10分）我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜（FAST）是目前世界上最大单口径射电望远镜.使用三年来，已发现132颗优质的脉冲星候选体，其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星，脉冲星是上世纪60年代天文学的四大发现之一，脉冲星就是正在快速自转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间（脉冲星的自转周期）是-定的，最小小到0.0014秒，最长的也不过11.765735秒.某-天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期，绘制了如图的频率分布直方图.
（1）在93颗新发现的脉冲星中，自转周期在2至10秒的大约有多少颗？
（2）根据频率分布直方图，求新发现脉冲星自转周期的平均值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据题意计算，，，计算，，，得到答案.
【详解】
是等差数列的前项和，若，
故，，，，故，
当时，，，，
，
当时，，故前项和最大.
故选：.
【点睛】
本题考查了数列和的最值问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
2、C
【解析】
因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得，即得解.
【详解】
因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，
所以阶幻方对角线上数的和就等于每行（或每列）的数的和，
又阶幻方有行（或列），
因此，，
于是．
故选：C
【点睛】
本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.
3、A
【解析】
设平面向量与的夹角为，由已知条件得出，在等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律可求得的值，即为所求.
【详解】
设平面向量与的夹角为，，可得，
在等式两边平方得，化简得.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.
4、D
【解析】
根据题意，分别假设一个正确，推理出与假设不矛盾，即可得出结论.
【详解】
解：由题意知，若只有小王的说法正确，则小王对应“入班即静”，
而否定小董说法后得出：小王对应“天道酬勤”，则矛盾；
若只有小董的说法正确，则小董对应“天道酬勤”，
否定小李的说法后得出：小李对应“细节决定成败”，
所以剩下小王对应“入班即静”，但与小王的错误的说法矛盾；
若小李的说法正确，则“细节决定成败”不是小李的，
则否定小董的说法得出：小王对应“天道酬勤”，
所以得出“细节决定成败”是小董的，剩下“入班即静”是小李的，符合题意.
所以“入班即静”的书写者是：小李.
故选：D.
【点睛】
本题考查推理证明的实际应用.
5、C
【解析】
分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案.
【详解】
①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；
②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；
③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；
④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙.
综上所述，年纪最大的是丙
故选：C.
【点睛】
本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.
6、B
【解析】
图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。
【详解】
，故奇函数，四个图像均符合。
当时，，，排除C、D
当时，，，排除A。
故选B。
【点睛】
图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值。
7、A
【解析】
根据三角函数的定义，求得，再由正弦的倍角公式，即可求解.
【详解】
由题意，点是角的终边上一点，
根据三角函数的定义，可得，
则，故选A.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的定义和正弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中根据三角函数的定义和正弦的倍角公式，准确化简、计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8、A
【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【详解】
本题正确选项：
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
9、A
【解析】
利用复数的乘方和除法法则将复数化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果.
【详解】
，，
因此，.
故选：A.
【点睛】
本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.
10、A
【解析】
准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．
【详解】
设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
为圆心．
，又点在圆上，
，即．
，故选A．
【点睛】
本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
11、B
【解析】
根据全称命题的否定为特称命题，得到结果.
【详解】
根据全称命题的否定为特称命题，可得，
本题正确选项：
【点睛】
本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.
12、B
【解析】
设正四面体的棱长为，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面的法向量，设的坐标，求出向量，求出线面所成角的正弦值，再由角的范围，结合为定值，得出为定值，且的轨迹为一段抛物线，所以求出坐标的关系，进而求出正切值．
【详解】
由题意设四面体的棱长为，设为的中点，
以为坐标原点，以为轴，以为轴，过垂直于面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则可得，，取的三等分点、如图，
则，，，，
所以、、、、，
由题意设，，
和都是等边三角形，为的中点，，，
，平面，为平面的一个法向量，
因为与平面所成角为定值，则，
由题意可得，
因为的轨迹为一段抛物线且为定值，则也为定值，
，可得，此时，则，.
故选：B.
【点睛】
考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】
当时，得，或，依题意可得，可求得，继而可得答案．
【详解】
因为点的横坐标为1，即当时，，
所以或，
又直线与函数的图象在轴右侧的公共点从左到右依次为，，
所以，
故，
所以函数的关系式为．
当时，（1），
即点的横坐标为1，为二函数的图象的第二个公共点．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查三角函数关系式的恒等变换、正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力及思维能力，属于中档题．
14、
【解析】
由弦的长度最大可知为球的直径.由向量的线性运用表示出，即可由范围求得的取值范围.
【详解】
连接，如下图所示：
设球心为,则当弦的长度最大时，为球的直径，
由向量线性运算可知
正方体的棱长为2，则球的半径为1，，
所以
，
而
所以，
即
故答案为：.
【点睛】
本题考查了空间向量线性运算与数量积的运算，正方体内切球性质应用，属于中档题.
15、
【解析】
求导后代入可构造方程求得，即为所求斜率.
【详解】
，，解得：，
即在处的切线斜率为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查切线斜率的求解问题，考查导数的几何意义，属于基础题.
16、
【解析】
设是中点，根据已知条件判断出三点共线且是线段靠近的三等分点，由此求得，结合几何概型求得点取自三角形的概率.
【详解】
设是中点，因为，所以，所以三点共线且点是线段靠近的三等分点，
故，所以此点取自内的概率是．
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查三点共线的向量表示，考查几何概型概率计算，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
（1）令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0），求得导数，讨论a＞1和a≤1，判断导数的符号，由恒成立思想可得a的范围；（2）求得F（x）=h（x）﹣g（x）的导数和二阶导数，判断F'（x）的单调性，讨论a≤﹣1，a＞﹣1，F（x）的单调性和零点个数；（3）由（1）知，当a=1时，ex＞1+ln（x+1）对x＞0恒成立，令；由（2）知，当a=﹣1时，对x＜0恒成立，令，结合条件，即可得证．
【详解】
（Ⅰ）解：令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0），
则，
①若a≤1，则，H'（x）≥0，H（x）在[0，+∞）递增，
H（x）≥H（0）=0，即f（x）≤h（x）在[0，+∞）恒成立，满足，所以a≤1；
②若a＞1，H′（x）=ex﹣在[0，+∞）递增，H'（x）≥H'（0）=1﹣a，且1﹣a＜0，
且x→+∞时，H'（x）→+∞，则∃x0∈（0，+∞），
使H'（x0）=0进而H（x）在[0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，
所以当x∈（0，x0）时H（x）＜H（0）=0，
即当x∈（0，x0）时，f（x）＞h（x），不满足题意，舍去；
综合①，②知a的取值范围为（﹣∞，1]．
（Ⅱ）解：依题意得，则F'（x）=ex﹣x2+a，
则F''（x）=ex﹣2x＞0在（﹣∞，0）上恒成立，故F'（x）=ex﹣x2+a在（﹣∞，0）递增，
所以F'（x）＜F'（0）=1+a，且x→﹣∞时，F'（x）→﹣∞；
①若1+a≤0，即a≤﹣1，则F'（x）＜F'（0）=1+a≤0，
故F（x）在（﹣∞，0）递减，所以F（x）＞F（0）=0，F（x）在（﹣∞，0）无零点；
②若1+a＞0，即a＞﹣1，则使，
进而F（x）在递减，在递增，，
且x→﹣∞时，，
F（x）在上有一个零点，在无零点，
故F（x）在（﹣∞，0）有一个零点．
综合①②，当a≤﹣1时无零点；当a＞﹣1时有一个零点．
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，ex＞1+ln（x+1）对x＞0恒成立，
令，则即；
由（Ⅱ）知，当a=﹣1时，对x＜0恒成立，
令，则，所以；
故有．
【点睛】
本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点存在定理的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含自变量的函数，注意让含有自变量的函数式子尽量简单一些．
18、（1）证明见解析（2）（3）
【解析】
（1）取中点为,连接,由等边三角形性质可得,再由面面垂直的性质可得,根据平行直线的性质可得,进而求证；
（2）以为原点,过作的平行线,分别以,,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,由点在棱上,可设,即可得到,再求得平面的法向量,进而利用数量积求解；
（3）设,,则,求得,,即可求得点的坐标,再由与平面的法向量垂直,进而求解.
【详解】
（1）证明:取中点为,连接,
因为是等边三角形,所以,
因为且相交于,所以平面,所以,
因为,所以,
因为,在平面内,所以,
所以.
（2）以为原点,过作的平行线,分别以,,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,则,,,,
因为在棱上,可设,
所以,
设平面的法向量为,因为,
所以,即,令,可得,即,
设直线与平面所成角为,所以,
可知当时,取最大值.
（3）设,则有,得,
设,那么,所以,
所以.
因为,
,
所以.
又因为,所以,
,设平面的法向量为,
则,即,,可得,即
因为在平面内,所以,所以,
所以,即,
所以或者（舍）,即.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明,考查空间向量法求线面成角,考查运算能力与空间想象能力.
19、（1）（2）见解析
【解析】
(1) 在上单调递减等价于在恒成立，分离参数即可解决.(2)先对求导，化简后根据零点存在性定理判断唯一零点所在区间，构造函数利用基本不等式求解即可.
【详解】
（1），时，，
，
∵在上单调递减．
∴，．
令，
，
时，；时，，
∴在上为减函数，在上为增函数．
∴，∴．
∴的取值范围为．
（2）若，，时，，
，
令，显然在上为增函数．
又，，∴有唯一零点．
且，时，，；
时，，，
∴在上为增函数，在上为减函数．
∴．
又，∴，，．
∴
．
，．
∴当时，．
【点睛】
此题考查函数定区间上单调，和零点存在性定理等知识点，难点为找到最值后的构造函数求值域，属于较难题目.
20、（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
（1）利用求导数，判断在区间上的单调性，然后再证异号，即可证明结论；
（2）当时，不等式恒成立，分离参数只需时，恒成立，
设（），需，根据（1）中的结论先求出，再构造函数结合导数法，证明即可.
【详解】
（1），
令，则，
所以在区间上是增函数，
则，所以在区间上是增函数.
又因为，
，
所以在区间上有且仅有一个零点，且.
（2）由题意，在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
当时，；
当时，恒成立，
设（），
所以.
由（1）可知，，使，
所以，当时，，当时，，
由此在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以.
又因为，
所以，从而，
所以.令，，
则，
所以在区间上是增函数，
所以，故.
【点睛】
本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、函数的零点、极值最值、不等式的证明，分离参数是解题的关键，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.
21、 (1) ；（2）.
【解析】
（1）由两角差的正弦公式计算；
（2）由正弦定理求得，再由余弦定理求得．
【详解】
（1）因为，所以.
因为，所以，
所以.
（2）在中，由，得，
在中，由余弦定理可得，
所以.
【点睛】
本题考查两角差的正弦公式，考查正弦定理和余弦定理，属于中档题．
22、（1）79颗；（2）5.5秒.
【解析】
（1）利用各小矩形的面积和为1可得，进而得到脉冲星自转周期在2至10秒的频率，从而得到频数；
（2）平均值的估计值为各小矩形组中值与频率的乘积的和得到.
【详解】
（1）第一到第六组的频率依次为
0.1，0.2，0.3，0.2，，0.05，其和为1
所以，，
所以，自转周期在2至10秒的大约有（颗）.
（2）新发现的脉冲星自转周期平均值为
（秒）.
故新发现的脉冲星自转周期平均值为5.5秒.
【点睛】
本题考查频率分布直方图的应用，涉及到平均数的估计值等知识，是一道容易题.