2026届宝坻区第一中学高考数学必刷试卷含解析

这是一份2026届宝坻区第一中学高考数学必刷试卷含解析，共18页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，以，为直径的圆的方程是，已知抛物线，，则与位置关系是等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题p：“”是“”的充要条件；，，则（ ）
A．为真命题B．为真命题
C．为真命题D．为假命题
2．函数（）的图象的大致形状是（ ）
A．B．C．D．
3．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点（设点位于第一象限），过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点，，抛物线的准线交轴于点，若，则直线的斜率为
A．1B．C．D．
4．记其中表示不大于x的最大整数，若方程在在有7个不同的实数根，则实数k的取值范围( )
A．B．C．D．
5．要得到函数的图象，只需将函数的图象
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
6．公元前世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了米，此时乌龟便领先他米，当阿基里斯跑完下一个米时，乌龟先他米，当阿基里斯跑完下-个米时，乌龟先他米所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（ ）
A．米B．米
C．米D．米
7．以，为直径的圆的方程是
A．B．
C．D．
8．已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则为( )
A．B．40C．16D．
9．，则与位置关系是 ( )
A．平行B．异面
C．相交D．平行或异面或相交
10．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：
甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；
乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；
丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；
事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ）
A．甲走桃花峪登山线路B．乙走红门盘道徒步线路
C．丙走桃花峪登山线路D．甲走天烛峰登山线路
11．函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
12．已知定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意， ，都有，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知二项式的展开式中的常数项为，则__________．
14．甲，乙两队参加关于“一带一路”知识竞赛，甲队有编号为1，2，3的三名运动员，乙队有编号为1，2，3，4的四名运动员，若两队各出一名队员进行比赛，则出场的两名运动员编号相同的概率为______.
15．（5分）国家禁毒办于2019年11月5日至12月15日在全国青少年毒品预防教育数字化网络平台上开展2019年全国青少年禁毒知识答题活动，活动期间进入答题专区，点击“开始答题”按钮后，系统自动生成20道题.已知某校高二年级有甲、乙、丙、丁、戊五位同学在这次活动中答对的题数分别是，则这五位同学答对题数的方差是____________．
16．已知非零向量的夹角为，且，则______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是.
（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于两点A，B，求线段的长.
18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为；直线l的参数方程为（t为参数）.直线l与曲线C分别交于M，N两点.
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若点P的极坐标为，，求的值.
19．（12分）已知椭圆的上顶点为，圆与轴的正半轴交于点，与有且仅有两个交点且都在轴上，（为坐标原点）.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，不过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与直线的斜率互为相反数.
20．（12分）已知，设函数
(I)若，求的单调区间：
(II)当时，的最小值为0，求的最大值.注：…为自然对数的底数.
21．（12分）已知函数，.
（1）判断函数在区间上的零点的个数；
（2）记函数在区间上的两个极值点分别为、，求证：.
22．（10分）已知函数
（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；
（2）求证：
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
由的单调性，可判断p是真命题；分类讨论打开绝对值，可得q是假命题，依次分析即得解
【详解】
由函数是R上的增函数，知命题p是真命题．
对于命题q，当，即时，；
当，即时，，
由，得，无解，
因此命题q是假命题．所以为假命题，A错误；
为真命题，B正确；
为假命题，C错误；
为真命题，D错误．
故选：B
【点睛】
本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.
2、C
【解析】
对x分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.
【详解】

故选C．
【点睛】
识图常用的方法
(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
3、C
【解析】
根据抛物线定义，可得，，
又，所以，所以，
设，则，则，
所以，所以直线的斜率．故选C．
4、D
【解析】
做出函数的图象，问题转化为函数的图象在有7个交点，而函数在上有3个交点，则在上有4个不同的交点，数形结合即可求解.
【详解】
作出函数的图象如图所示，由图可知

方程在上有3个不同的实数根，
则在上有4个不同的实数根，
当直线经过时，；
当直线经过时，，
可知当时，直线与的图象在上有4个交点，
即方程，在上有4个不同的实数根.
故选:D.
【点睛】
本题考查方程根的个数求参数，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解题的关键，运用数形结合是解决函数零点问题的基本思想，属于中档题.
5、D
【解析】
先将化为，根据函数图像的平移原则，即可得出结果.
【详解】
因为，
所以只需将的图象向右平移个单位.
【点睛】
本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型.
6、D
【解析】
根据题意，是一个等比数列模型，设，由，解得，再求和.
【详解】
根据题意，这是一个等比数列模型，设，
所以，
解得，
所以 .
故选：D
【点睛】
本题主要考查等比数列的实际应用，还考查了建模解模的能力，属于中档题.
7、A
【解析】
设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出，从而求出圆的方程.
【详解】
设圆的标准方程为，
由题意得圆心为，的中点，
根据中点坐标公式可得，，
又，所以圆的标准方程为：
，化简整理得，
所以本题答案为A.
【点睛】
本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题.
8、D
【解析】
如图所示，过分别作于，于，利用和，联立方程组计算得到答案.
【详解】
如图所示：过分别作于，于.
，则，
根据得到：，即，
根据得到：，即，
解得，，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了抛物线中弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
9、D
【解析】
结合图(1)，(2)，(3)所示的情况，可得a与b的关系分别是平行、异面或相交．
选D．
10、D
【解析】
甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.
【详解】
若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.
故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.
综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路
故选：D
【点睛】
本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.
11、A
【解析】
依题意有的周期为.而，故应左移.
12、A
【解析】
根据题意，分析可得函数的图象关于对称且在上为减函数，则不等式等价于，解得的取值范围，即可得答案.
【详解】
解:因为函数为偶函数，
所以函数的图象关于对称，
因为对任意， ，都有，
所以函数在上为减函数，
则，
解得：.
即实数的取值范围是.
故选：A.
【点睛】
本题考查函数的对称性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于综合题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数的值．
【详解】
二项式的展开式中的通项公式为，
令，求得，可得常数项为，，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
14、
【解析】
出场运动员编号相同的事件显然有3种，计算出总的基本事件数，由古典概型概率计算公式求得答案.
【详解】
甲队有编号为1，2，3的三名运动员，乙队有编号为1，2，3，4的四名运动员，
出场的两名运动员编号相同的事件数为3，
出现的基本事件总数，
则出场的两名运动员编号相同的概率为.
故答案为：
【点睛】
本题考查求古典概率的概率问题，属于基础题.
15、2
【解析】
由这五位同学答对的题数分别是，得该组数据的平均数，则方差．
16、1
【解析】
由已知条件得出,可得，解之可得答案.
【详解】
向量的夹角为,且,,可得:,
可得, 解得，
故答案为:1.
【点睛】
本题考查根据向量的数量积运算求向量的模，关键在于将所求的向量的模平方，利用向量的数量积化简求解即可，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）l：，C：；（2）
【解析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；
（2）由（1）可得曲线是圆，求出圆心坐标及半径，再求得圆心到直线的距离，即可求得的长.
【详解】
（1）由题意可得直线：，由，得，即，所以曲线C：.
（2）由（1）知，圆，半径.
∴圆心到直线的距离为：.
∴
【点睛】
本题考查直线的普通坐标方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法、运算求解能力，是中档题．
18、（1），；（2）2.
【解析】
（1）由得，求出曲线的直角坐标方程.由直线的参数方程消去参数，即求直线的普通方程；
（2）将直线的参数方程化为标准式（为参数），代入曲线的直角坐标方程，韦达定理得，点在直线上，则，即可求出的值.
【详解】
（1）由可得，
即，即，
曲线的直角坐标方程为，
由直线的参数方程（t为参数），消去得，
即直线的普通方程为.
（Ⅱ）点的直角坐标为，则点在直线上.
将直线的参数方程化为标准式（为参数），代入曲线的直角坐标方程，整理得，
直线与曲线交于两点，
，即.
设点所对应的参数分别为，
由韦达定理可得，
.
点在直线上，，
.
【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化及应用，属于中档题.
19、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）根据条件可得，进而得到，即可得到椭圆方程；
（2）设直线的方程为，联立，分别表示出直线和直线斜率，相加利用根与系数关系即可得到.
【详解】
解：（1）圆与有且仅有两个交点且都在轴上，所以，
又，，解得，故椭圆的方程为；
（2）设直线的方程为，联立，整理可得，
则，解得，
设点，，
则，，
所以
，
故直线与直线的斜率互为相反数.
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，关键是求出椭圆的标准方程，属于中档题．
20、 (I)详见解析；(II)
【解析】
(I)求导得到，讨论和两种情况，得到答案.
(II) ，故，取，，求导得到单调性，得到，得到答案.
【详解】
(I) ，，
当时，恒成立，函数单调递增；
当时，，，当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增.
综上所述：时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增.
(II) 在上恒成立；
，故，
现在证明存在，，使的最小值为0.
取，，（此时可使），
，，
故当上时，，故，
在上单调递增，，
故在上单调递减，在上单调递增，故.
综上所述：的最大值为.
【点睛】
本题考查了函数单调性，函数的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
21、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）利用导数分析函数在区间上的单调性与极值，结合零点存在定理可得出结论；
（2）设函数的极大值点和极小值点分别为、，由（1）知，，且满足，，于是得出，由得，利用正切函数的单调性推导出，再利用正弦函数的单调性可得出结论.
【详解】
（1），，
，当时，，，，则函数在上单调递增；
当时，，，，则函数在上单调递减；
当时，，，，则函数在上单调递增.
，，，，.
所以，函数在与不存在零点，在区间和上各存在一个零点.
综上所述，函数在区间上的零点的个数为；
（2），.
由（1）得，在区间与上存在零点，
所以，函数在区间与上各存在一个极值点、，且，，
且满足即，，
，
又，即，，
，，，
由在上单调递增，得，
再由在上单调递减，得
，即.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，同时也考查了利用导数证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.
22、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）将问题转化为对任意恒成立，换元构造新函数即可得解；
（2）结合（1）可得，令，求导后证明其导函数单调递增，结合，即可得函数的单调区间和最小值，即可得证.
【详解】
（1）对任意恒成立等价于对任意恒成立，
令，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
有最大值，
.
（2）证明：由（1）知，当时，即，
，，
令，则，
令，则，
在上是增函数，又，
当时，；当时，，
在上是减函数，在上是增函数，
，即，
．
【点睛】
本题考查了利用导数解决恒成立问题，考查了利用导数证明不等式，考查了计算能力和转化化归思想，属于中档题.