2026届安徽省宣城市三校高考冲刺数学模拟试题含解析

这是一份2026届安徽省宣城市三校高考冲刺数学模拟试题含解析，共5页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，已知等差数列的前项和为，，，则，已知为虚数单位，若复数满足，则，设为等差数列的前项和，若，则，已知集合，，则等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数.设，若对任意不相等的正数，，恒有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知双曲线（，），以点（）为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）
A．12个月的PMI值不低于50%的频率为
B．12个月的PMI值的平均值低于50%
C．12个月的PMI值的众数为49.4%
D．12个月的PMI值的中位数为50.3%
4．已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．25B．32C．35D．40
5．已知为虚数单位，若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
6．设为等差数列的前项和，若，则
A．B．
C．D．
7．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
8．已知公差不为0的等差数列的前项的和为，，且成等比数列，则（ ）
A．56B．72C．88D．40
9．过点的直线与曲线交于两点，若，则直线的斜率为( )
A．B．
C．或D．或
10．若两个非零向量、满足，且，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
11．已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（）
A．B．C．D．
12．如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．正四面体的一个顶点是圆柱上底面的圆心，另外三个顶点圆柱下底面的圆周上，记正四面体的体积为，圆柱的体积为，则的值是______.
14．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
15．正项等比数列|满足，且成等差数列，则取得最小值时的值为_____
16．在矩形中，，为的中点，将和分别沿，翻折，使点与重合于点.若，则三棱锥的外接球的表面积为_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，.
（1）若，求证：平面；
（2）若，求二面角的正弦值．
18．（12分）设函数 .
(I)求的最小正周期；
(II)若且，求的值.
19．（12分）已知A是抛物线E：y2＝2px(p>0)上的一点，以点A和点B(2,0)为直径两端点的圆C交直线x＝1于M，N两点.
（1）若|MN|＝2，求抛物线E的方程；
（2）若0＜p＜1，抛物线E与圆(x﹣5)2+y2=9在x轴上方的交点为P，Q，点G为PQ的中点，O为坐标原点，求直线OG斜率的取值范围.
20．（12分）已知的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若的面积为，，求的周长.
21．（12分）如图，在四面体中，.
（1）求证:平面平面；
（2）若，求四面体的体积.
22．（10分）在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机支付.出门不带现金的人数正在迅速增加。中国人民大学和法国调查公司益普索合作，调查了腾讯服务的6000名用户，从中随机抽取了60名，统计他们出门随身携带现金（单位：元）如茎叶图如示，规定：随身携带的现金在100元以下（不含100元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”.

（1）根据上述样本数据，将列联表补充完整，并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关？
（2）用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取3位女性用户，这3位用户中“手机支付族”的人数为，求随机变量的期望和方差；
（3）某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案，方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元；方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖2次，每次中奖的概率同为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8.5折.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择哪种优惠方案更划算？
附：
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
求解的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数，构造新函数，讨论其单调性即可求解.
【详解】
的定义域为，，
当时，，故在单调递减；
不妨设，而，知在单调递减，
从而对任意、，恒有，
即，
，，
令，则，原不等式等价于在单调递减，即，
从而，因为，
所以实数a的取值范围是
故选：D.
【点睛】
此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目.
2、A
【解析】
求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则可根据圆心到渐近线距离为列出方程，求解离心率．
【详解】
不妨设双曲线的一条渐近线与圆交于，
因为，所以圆心到的距离为：，
即，因为，所以解得．
故选A．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．对于离心率求解问题，关键是建立关于的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.
3、D
【解析】
根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案.
【详解】
对A，从图中数据变化看，PMI值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI值不低于50%的频率为，故A正确；
对B，由图可以看出，PMI值的平均值低于50%，故B正确；
对C，12个月的PMI值的众数为49.4%，故C正确，；
对D，12个月的PMI值的中位数为49.6%，故D错误
故选：D.
【点睛】
本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题.
4、C
【解析】
设出等差数列的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得．
【详解】
设等差数列的首项为，公差为，则
，解得，∴，即有．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前项和公式的应用，属于容易题．
5、A
【解析】
分析：题设中复数满足的等式可以化为，利用复数的四则运算可以求出.
详解：由题设有，故，故选A.
点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题.
6、C
【解析】
根据等差数列的性质可得，即，
所以，故选C．
7、A
【解析】
根据对数性质可知，再根据集合的交集运算即可求解.
【详解】
∵，
集合，
∴由交集运算可得.
故选：A.
【点睛】
本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题.
8、B
【解析】
，将代入，求得公差d，再利用等差数列的前n项和公式计算即可.
【详解】
由已知，，，故，解得或（舍），
故，.
故选：B.
【点睛】
本题考查等差数列的前n项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.
9、A
【解析】
利用切割线定理求得，利用勾股定理求得圆心到弦的距离，从而求得，结合，求得直线的倾斜角为，进而求得的斜率.
【详解】
曲线为圆的上半部分，圆心为，半径为.
设与曲线相切于点，
则
所以
到弦的距离为，，所以，由于，所以直线的倾斜角为，斜率为.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
10、A
【解析】
设平面向量与的夹角为，由已知条件得出，在等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律可求得的值，即为所求.
【详解】
设平面向量与的夹角为，，可得，
在等式两边平方得，化简得.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.
11、A
【解析】
利用双曲线：的焦点到渐近线的距离为，求出，的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．
【详解】
双曲线：的焦点到渐近线的距离为，
可得：，可得，，则的渐近线方程为．
故选A．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.
12、D
【解析】
利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出.
【详解】
∵，∴，，，.
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查不等式的性质，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
设正四面体的棱长为，求出底面外接圆的半径与高，代入体积公式求解．
【详解】
解：设正四面体的棱长为，
则底面积为，底面外接圆的半径为，
高为．
∴正四面体的体积，
圆柱的体积．
则．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查多面体与旋转体体积的求法，考查计算能力，属于中档题．
14、9
【解析】
分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.
详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此
当且仅当时取等号，则的最小值为.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
15、2
【解析】
先由题意列出关于的方程，求得的通项公式，再表示出即可求解.
【详解】
解：设公比为，且，
时，上式有最小值，
故答案为：2.
【点睛】
本题考查等比数列、等差数列的有关性质以及等比数列求积、求最值的有关运算，中档题.
16、.
【解析】
计算外接圆的半径，并假设外接球的半径为R，可得球心在过外接圆圆心且垂直圆面的垂线上，然后根据面，即可得解.
【详解】
由题意可知，，
所以可得面，
设外接圆的半径为，
由正弦定理可得，即，，
设三棱锥外接球的半径，
因为外接球的球心为过底面圆心垂直于底面的直线与中截面的交点，
则，
所以外接球的表面积为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查三棱锥的外接球的应用，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）详见解析（2）
【解析】
（1）如图，作，交于，连接.
因为，所以是的三等分点，可得.
因为，，，所以，
因为，所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，所以，
因为平面，平面，所以平面.
又，平面，平面，所以平面.
因为，、平面，所以平面平面，所以平面.
（2）因为是等边三角形，，所以.
又因为，，所以，所以.
又，平面，，所以平面.
因为平面，所以平面平面.在平面内作平面.
以B点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
所以，，，.
设为平面的法向量，则，即，
令，可得.
设为平面的法向量，则，即，
令，可得.
所以，则，
所以二面角的正弦值为.
18、 (I)；(II)
【解析】
(I)化简得到，得到周期.
(II) ，故，根据范围判断，代入计算得到答案.
【详解】
(I)
，故.
(II) ，故，，
，故，，
故，故，
.
【点睛】
本题考查了三角函数的周期，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
19、（1）.（2）
【解析】
（1）设A的坐标为A（x0，y0），由题意可得圆心C的坐标，求出C到直线x＝1的距离.由半个弦长，圆心到直线的距离及半径构成直角三角形可得p的值，进而求出抛物线的方程；
（2）将抛物线的方程与圆的方程联立可得韦达定理，进而求出中点G的坐标，再求出直线OG的斜率的表达式，换元可得斜率的取值范围.
【详解】
（1）设A（x0，y0）且y02＝2px0，则圆心C（），
圆C的直径|AB|，
圆心C到直线x＝1的距离d＝|1|＝||，
因为|MN|＝2，所以（）2+d2＝（）2，即1，y02＝2px0，
整理可得（2p﹣4）x0＝0，所以p＝2，
所以抛物线的方程为：y2＝4x；
（2）联立抛物线与圆的方程整理可得x2﹣2（5﹣p）x+16＝0，△＞0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2＝2（5﹣p），x1x2＝16，
所以中点G的横坐标xG＝5﹣p，yG（），
所以kOG（0＜P＜1），
令t＝5﹣p（t∈（4，5）），则kOG（），
解得0＜kOG，
所以直线OG斜率的取值范围（0，）.
【点睛】
本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，换元方法的应用，属于中档题.
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用正弦定理将目标式边化角，结合倍角公式，即可整理化简求得结果；
（2）由面积公式，可以求得，再利用余弦定理，即可求得，结合即可求得周长.
【详解】
（1）由题设得.
由正弦定理得
∵∴，
所以或.
当，（舍）
故，
解得.
（2），从而.
由余弦定理得
.
解得.
∴.
故三角形的周长为.
【点睛】
本题考查由余弦定理解三角形，涉及面积公式，正弦的倍角公式，应用正弦定理将边化角，属综合性基础题.
21、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）取中点，连接，根据等腰三角形的性质得到，利用全等三角形证得，由此证得平面，进而证得平面平面.
（2）由（1）知平面，即是四面体的面上的高，结合锥体体积公式，求得四面体的体积.
【详解】
（1）证明:如图，取中点，连接，
由则
，则，
故
故，
平面.
又平面，
故平面平面
（2）由（1）知平面，
即是四面体的面上的高，
且.
在中，，
由勾股定理易知
故四面体的体积
【点睛】
本小题主要考查面面垂直的证明，考查锥体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
22、（1）列联表见解析，99%；（2），；（3）第二种优惠方案更划算.
【解析】
（1）根据已知数据得出列联表，再根据独立性检验得出结论；
（2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为，知服从二项分布，即，可求得其期望和方差；
（3）若选方案一，则需付款元，若选方案二，设实际付款元，，则的取值为1200，1080，1020，求出实际付款的期望，再比较两个方案中的付款的金额的大小，可得出选择的方案.
【详解】
（1）由已知得出联列表：
，所以，
有99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关；
（2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为， ，
；
（3）若选方案一，则需付款元
若选方案二，设实际付款元，，则的取值为1200，1080，1020，
，，，

选择第二种优惠方案更划算
【点睛】
本题考查独立性检验，二项分布的期望和方差，以及由期望值确定决策方案，属于中档题.

0.050
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