2026届安徽省淮北市淮北师范大学附属实验中学高考冲刺数学模拟试题含解析

这是一份2026届安徽省淮北市淮北师范大学附属实验中学高考冲刺数学模拟试题含解析，共5页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，双曲线等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．设函数（，为自然对数的底数）,定义在上的函数满足，且当时，．若存在，且为函数的一个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知为实数集，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数f（x）＝eb﹣x﹣ex﹣b+c（b，c均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f（5）+f（﹣1）＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．2D．4
5．已知双曲线：，，为其左、右焦点，直线过右焦点，与双曲线的右支交于，两点，且点在轴上方，若，则直线的斜率为( )
A．B．C．D．
6．已知双曲线的焦距为，若的渐近线上存在点，使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．双曲线：（），左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
8．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数在上可导且恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．、
B．、
C．、
D．、
10．正的边长为2，将它沿边上的高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数，对任意的，，当时，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．函数在上递增
C．函数的一条对称轴是D．函数的一个对称中心是
12．已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则为( )
A．B．40C．16D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在矩形ABCD中，，，点E，F分别为BC，CD边上动点，且满足，则的最大值为________.
14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则________.
15．已知平面向量，，满足||＝1，||＝2，，的夹角等于，且（）•（）＝0，则||的取值范围是_____．
16．若正三棱柱的所有棱长均为2,点为侧棱上任意一点,则四棱锥的体积为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.
（1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；
（2）已知点，直线与曲线交于、两点，求.
18．（12分）已知函数，将的图象向左移个单位，得到函数的图象.
（1）若，求的单调区间；
（2）若，的一条对称轴是，求在的值域.
19．（12分）（江苏省徐州市高三第一次质量检测数学试题）在平面直角坐标系中，已知平行于轴的动直线交抛物线： 于点，点为的焦点.圆心不在轴上的圆与直线， ， 轴都相切，设的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若直线与曲线相切于点，过且垂直于的直线为，直线， 分别与轴相交于点， .当线段的长度最小时，求的值.
20．（12分）已知各项均不相等的等差数列的前项和为, 且成等比数列.
（1）求数列的通项公式;
（2）求数列的前项和.
21．（12分）设数列的前n项和满足，，，
（1）证明：数列是等差数列，并求其通项公式﹔
（2）设，求证：.
22．（10分）已知函数，设的最小值为m.
（1）求m的值；
（2）是否存在实数a，b，使得，？并说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可.
【详解】
解：∵,,
∴,
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了对数的定义域与指数不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题.
2、D
【解析】
先构造函数，由题意判断出函数的奇偶性，再对函数求导，判断其单调性，进而可求出结果.
【详解】
构造函数，
因为，
所以，
所以为奇函数，
当时，，所以在上单调递减，
所以在R上单调递减.
因为存在，
所以，
所以，
化简得，
所以，即
令，
因为为函数的一个零点，
所以在时有一个零点
因为当时，，
所以函数在时单调递减，
由选项知，，
又因为，
所以要使在时有一个零点，
只需使，解得，
所以a的取值范围为，故选D.
【点睛】
本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.
3、C
【解析】
求出集合，，，由此能求出．
【详解】
为实数集，，，
或，
．
故选：．
【点睛】
本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4、C
【解析】
根据对称性即可求出答案．
【详解】
解：∵点（5，f（5））与点（﹣1，f（﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2，
故它们关于点（2，1）对称，所以f（5）+f（﹣1）＝2，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．
5、D
【解析】
由|AF2|＝3|BF2|，可得.设直线l的方程x＝my+，m＞0，设，，即y1＝﹣3y2①，联立直线l与曲线C,得y1+y2＝-②，y1y2＝③，求出m的值即可求出直线的斜率.
【详解】
双曲线C：，F1，F2为左、右焦点，则F2（，0），设直线l的方程x＝my+，m＞0，∵双曲线的渐近线方程为x＝±2y，∴m≠±2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＞0，由|AF2|＝3|BF2|，∴，∴y1＝﹣3y2①
由，得
∴△＝（2m）2﹣4（m2﹣4）＞0，即m2+4＞0恒成立，
∴y1+y2＝②，y1y2＝③，
联立①②得，联立①③得，
，即：，，解得：，直线的斜率为，
故选D．
【点睛】
本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题．
6、B
【解析】
由可得；由过点所作的圆的两条切线互相垂直可得,又焦点到双曲线渐近线的距离为,则,进而求解.
【详解】
,所以离心率,
又圆是以为圆心,半径的圆,要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直,必有,
而焦点到双曲线渐近线的距离为,所以,即,
所以,所以双曲线的离心率的取值范围是.
故选:B
【点睛】
本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用.
7、B
【解析】
首先求得双曲线的一条渐近线方程，再利用左焦点到渐近线的距离为2，列方程即可求出，进而求出渐近线的方程.
【详解】
设左焦点为，一条渐近线的方程为，由左焦点到渐近线的距离为2，可得，所以渐近线方程为，即为,
故选：B
【点睛】
本题考查双曲线的渐近线的方程，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.
8、D
【解析】
先化简函数解析式,再根据函数的图象变换规律,可得所求函数的解析式为,再由正弦函数的对称性得解.
【详解】
,
将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为
,
再向右平移个单位长度,所得函数的解析式为
,
，
可得函数图象的一个对称中心为，故选D.
【点睛】
三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．
9、A
【解析】
设，利用导数和题设条件，得到，得出函数在R上单调递增，
得到，进而变形即可求解.
【详解】
由题意，设，则，
又由，所以，即函数在R上单调递增，
则，即，
变形可得.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及利用单调性比较大小，其中解答中根据题意合理构造新函数，利用新函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.
10、D
【解析】
如图所示，设的中点为，的外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，利用正弦定理可得，利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形为平行四边形，最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.
【详解】
如图所示，设的中点为，外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，则平面，.
因为，故，
因为，故.
由正弦定理可得，故，又因为，故.
因为，故平面，所以，
因为平面，平面，故，故，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以，故外接球的半径为，外接球的表面积为.
故选：D.
【点睛】
本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度.
11、D
【解析】
利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期，从而得到，即可求出解析式，然后利用函数的性质即可判断.
【详解】
，
又，即，
有且仅有满足条件；
又，则，
，函数，
对于A，，故A错误；
对于B，由，
解得，故B错误；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，由，故D正确.
故选：D
【点睛】
本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质，熟记性质是解题的关键，属于基础题.
12、D
【解析】
如图所示，过分别作于，于，利用和，联立方程组计算得到答案.
【详解】
如图所示：过分别作于，于.
，则，
根据得到：，即，
根据得到：，即，
解得，，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了抛物线中弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
利用平面直角坐标系，设出点E，F的坐标，由可得，利用数量积运算求得，再利用线性规划的知识求出的最大值.
【详解】
建立平面直角坐标系，如图（1）所示：
设，
，
，
即，
又，
令，其中，
画出图形，如图（2）所示：
当直线经过点时，取得最大值.
故答案为：
【点睛】
本题考查了向量数量积的坐标运算、简单的线性规划问题，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.
14、
【解析】
利用正弦定理将边化角，即可容易求得结果.
【详解】
由正弦定理可知，
，即.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用正弦定理实现边角互化，属基础题.
15、
【解析】
计算得到||，||csα﹣1，解得csα，根据三角函数的有界性计算范围得到答案.
【详解】
由（）•（）＝0 可得 （）•||•||csα﹣1×2cs||•||csα﹣1，α为与的夹角．
再由 2•1+4+2×1×2cs7 可得||，
∴||csα﹣1，解得csα．
∵0≤α≤π，∴﹣1≤csα≤1，∴1，即||+1≤0，解得 ||，
故答案为．
【点睛】
本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键.
16、
【解析】
依题意得,再求点到平面的距离为点到直线的距离,用公式
所以即可得出答案.
【详解】
解: 正三棱柱的所有棱长均为2,
则,
点到平面的距离为点到直线的距离
所以,
所以.
故答案为:
【点睛】
本题考查椎体的体积公式,考查运算能力,是基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) .(2)
【解析】
（1）根据极坐标与直角坐标互化公式，以及消去参数，即可求解；
（2）设两点对应的参数分别为，，将直线的参数方程代入曲线方程，结合根与系数的关系，即可求解.
【详解】
（1）对于曲线的极坐标方程为，可得，
又由，可得，即，
所以曲线的普通方程为.
由直线的参数方程为（为参数），消去参数可得，即
直线的方程为，即.
（2）设两点对应的参数分别为，，将直线的参数方程（为参数）代入曲线中，可得.
化简得：，则.
所以.
【点睛】
本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18、（1）增区间为，减区间为；（2）.
【解析】
（1）由题意利用三角函数图象变换规律求得的解析式，然后利用余弦函数的单调性，得出结论；
（2）由题意利用余弦函数的图象的对称性求得，再根据余弦函数的定义域和值域，得出结论．
【详解】
由题意得
（1）向左平移个单位得到，
增区间：解不等式，解得，
减区间：解不等式，解得.
综上可得，的单调增区间为，
减区间为；
（2）由题易知，，
因为的一条对称轴是，
所以，，解得，.
又因为，所以，即.
因为，所以，则，
所以在的值域是.
【点睛】
本题主要考查三角函数图象变换规律，余弦函数图象的对称性，余弦函数的单调性和值域，属于中档题．
19、 (1) ．(2)见解析.
【解析】
试题分析：（1）设根据题意得到，化简得到轨迹方程；（2）设， ，，，构造函数研究函数的单调性，得到函数的最值.
解析：
（1）因为抛物线的方程为，所以的坐标为，
设，因为圆与轴、直线都相切，平行于轴，
所以圆的半径为，点 ，则直线的方程为，即，
所以，又，所以，即，
所以的方程为 ．
（2）设， ，，
由（1）知，点处的切线的斜率存在，由对称性不妨设，
由，所以，，
所以，，
所以．
令，，则，
由得，由得，
所以在区间单调递减，在单调递增，
所以当时，取得极小值也是最小值，即取得最小值， 此时．
点睛：求轨迹方程，一般是问谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细.
20、（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）设公差为，列出关于的方程组，求解的值，即可得到数列的通项公式；（2）由（1）可得，即可利用裂项相消求解数列的和.
试题解析：（1）设公差为.由已知得,解得或（舍去）, 所以,故.
（2）,
考点：等差数列的通项公式；数列的求和.
21、（1）证明见解析，；（2）证明见解析
【解析】
（1）由，作差得到，进一步得到，再作差即可得到，从而使问题得到解决；
（2），求和即可.
【详解】
（1），，
两式相减：①
用换，得②
②—①，得，即，
所以数列是等差数列，又，
∴，，公差，所以.
（II）
.
【点睛】
本题考查由与的关系求通项以及裂项相消法求数列的和，考查学生的计算能力，是一道容易题.
22、（1）（2）不存在；详见解析
【解析】
（1）将函数去绝对值化为分段函数的形式，从而可求得函数的最小值，进而可得m.
（2）由，利用基本不等式即可求出.
【详解】
（1）
；
（2），
若，同号，，不成立；
或，异号，，不成立；
故不存在实数，，使得，.
【点睛】
本题考查了分段函数的最值、基本不等式的应用，属于基础题.