2026届安徽省庐巢七校联盟高三冲刺模拟数学试卷含解析

这是一份2026届安徽省庐巢七校联盟高三冲刺模拟数学试卷含解析，共19页。试卷主要包含了设，满足约束条件，则的最大值是，已知复数和复数，则为，若集合，，则，已知复数满足，则等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知复数满足（是虚数单位），则=（ ）
A．B．C．D．
3．设数列是等差数列，，.则这个数列的前7项和等于（ ）
A．12B．21C．24D．36
4．已知空间两不同直线、，两不同平面，，下列命题正确的是（ ）
A．若且，则B．若且，则
C．若且，则D．若不垂直于，且，则不垂直于
5．设，满足约束条件，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
6．已知复数和复数，则为
A．B．C．D．
7．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为
A．08B．07C．02D．01
8．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
11．设为非零向量，则“”是“与共线”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12．如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，、分别是、的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A．，B．存在点，使得平面平面
C．平面D．三棱锥的体积为定值
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在中，，，，则绕所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为______________.
14．某市高三理科学生有名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取份试卷进行分析，则应从分以上的试卷中抽取的份数为__________.
15．设为定义在上的偶函数，当时，（为常数），若，则实数的值为______.
16．在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD，E， F分别是棱AB， PC的中点.求证：
（1） EF //平面PAD；
（2）平面PCE⊥平面PCD．
18．（12分）已知各项均为正数的数列的前项和为，且是与的等差中项.
（1）证明：为等差数列，并求；
（2）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数的值.
19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线交曲线于两点，为中点.
（1）求曲线的直角坐标方程和点的轨迹的极坐标方程；
（2）若，求的值.
20．（12分）（江苏省徐州市高三第一次质量检测数学试题）在平面直角坐标系中，已知平行于轴的动直线交抛物线： 于点，点为的焦点.圆心不在轴上的圆与直线， ， 轴都相切，设的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若直线与曲线相切于点，过且垂直于的直线为，直线， 分别与轴相交于点， .当线段的长度最小时，求的值.
21．（12分）已知椭圆的中心在坐标原点，其短半轴长为，一个焦点坐标为，点在椭圆上，点在直线上的点，且．
证明：直线与圆相切；
求面积的最小值．
22．（10分）已知，，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若过点的直线与曲线交于，两点，过点且与直线垂直的直线与相交于点，求的最小值及此时直线的方程.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
求出复数，得出其对应点的坐标，确定所在象限．
【详解】
由题意,对应点坐标为 ，在第二象限．
故选：B．
【点睛】
本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．
2、A
【解析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
解：由，得，
．
故选．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3、B
【解析】
根据等差数列的性质可得，由等差数列求和公式可得结果.
【详解】
因为数列是等差数列，，
所以，即，
又，
所以，，
故
故选：B
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题.
4、C
【解析】
因答案A中的直线可以异面或相交，故不正确；答案B中的直线也成立，故不正确；答案C中的直线可以平移到平面中，所以由面面垂直的判定定理可知两平面互相垂直，是正确的；答案D中直线也有可能垂直于直线，故不正确．应选答案C．
5、D
【解析】
作出不等式对应的平面区域，由目标函数的几何意义，通过平移即可求z的最大值．
【详解】
作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线：在可行域内平移当过点时，取得最大值.
由得：，
故选：D
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于基础题.
6、C
【解析】
利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出．
【详解】
z1z2＝（cs23°+isin23°）•（cs37°+isin37°）＝cs60°+isin60°＝．
故答案为C．
【点睛】
熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.
7、D
【解析】
从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.
考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力.
8、B
【解析】
根据正弦函数的性质可得集合A，由集合性质表示形式即可求得，进而可知满足.
【详解】
依题意，；
而
，
故，
则.
故选：B.
【点睛】
本题考查了集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题.
9、A
【解析】
根据复数的运算法则，可得，然后利用复数模的概念，可得结果.
【详解】
由题可知：
由，所以
所以
故选：A
【点睛】
本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题.
10、B
【解析】
由题意得出的值，进而利用离心率公式可求得该双曲线的离心率.
【详解】
双曲线的渐近线方程为，由题意可得，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.
11、A
【解析】
根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.
【详解】
若，则与共线，且方向相同，充分性；
当与共线，方向相反时，，故不必要.
故选：.
【点睛】
本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.
12、B
【解析】
根据平行的传递性判断A；根据面面平行的定义判断B；根据线面垂直的判定定理判断C；由三棱锥以三角形为底，则高和底面积都为定值，判断D.
【详解】
在A中，因为分别是中点，所以，故A正确；
在B中，由于直线与平面有交点，所以不存在点，使得平面平面，故B错误；
在C中，由平面几何得，根据线面垂直的性质得出，结合线面垂直的判定定理得出平面，故C正确；
在D中，三棱锥以三角形为底，则高和底面积都为定值，即三棱锥的体积为定值，故D正确；
故选：B
【点睛】
本题主要考查了判断面面平行，线面垂直等，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积计算公式可得.
【详解】
解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，
在中，，，，如下图所示，
底面圆的半径为，
则所形成的几何体的表面积为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题.
14、
【解析】
由题意结合正态分布曲线可得分以上的概率，乘以可得.
【详解】
解：，
所以应从分以上的试卷中抽取份.
故答案为：.
【点睛】
本题考查正态分布曲线，属于基础题.
15、1
【解析】
根据为定义在上的偶函数，得，再根据当时，（为常数）求解.
【详解】
因为为定义在上的偶函数，
所以，
又因为当时，，
所以，
所以实数的值为1.
故答案为：1
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
16、
【解析】
求出双曲线的右准线与渐近线的交点坐标，并将该交点代入抛物线的方程，即可求出实数的方程.
【详解】
双曲线的半焦距为，则双曲线的右准线方程为，渐近线方程为，所以，该双曲线右准线与渐近线的交点为.
由题意得，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用抛物线上的点求参数，涉及到双曲线的准线与渐近线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）取的中点构造平行四边形，得到，从而证出平面；
（2）先证平面，再利用面面垂直的判定定理得到平面平面．
【详解】
证明：（1）如图，取的中点，连接，，
是棱的中点，底面是矩形，
，且，
又，分别是棱，的中点，
，且，
，且，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面；
（2），点是棱的中点，
，
又，，
平面，平面，
，
底面是矩形，，
平面，平面，且，
平面，
又平面，，
，，
又平面，平面，且，
平面，
又平面，
平面平面．
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定，面面垂直的判定，首选判定定理，是中档题．
18、（1）见解析，（2）最小正整数的值为35.
【解析】
（1）由等差中项可知，当时，得，整理后可得，从而证明为等差数列，继而可求.
（2），则可求出，令，即可求出 的取值范围，进而求出最小值.
【详解】
解析：（1）由题意可得，当时，，∴，，
当时，，整理可得，
∴是首项为1，公差为1的等差数列，∴，.
（2）由（1）可得，
∴，解得，
∴最小正整数的值为35.
【点睛】
本题考查了等差中项，考查了等差数列的定义，考查了 与 的关系，考查了裂项相消求和.当已知有 与 的递推关系时，常代入 进行整理.证明数列是等差数列时，一般借助数列，即后一项与前一项的差为常数.
19、（1），；（2）或
【解析】
（1）根据曲线的参数方程消去参数，可得曲线的直角坐标方程，再由，，可得点的轨迹的极坐标方程；
（2）将曲线极坐标方程求，与直线极坐标方程联立，消去，得到关于的二次方程，由的几何意义可求出，而（1）可知，然后列方程可求出的值.
【详解】
（1）曲线的直角坐标方程为，
圆的圆心为，设，所以，
则由，即为点轨迹的极坐标方程.
（2）曲线的极坐标方程为，
将与曲线的极坐标方程联立得，，
设，
所以，
，
由，即，
令，上述方程可化为，解得.
由，所以，即或.
【点睛】
此题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，利用极坐标求点的轨迹方程，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题.
20、 (1) ．(2)见解析.
【解析】
试题分析：（1）设根据题意得到，化简得到轨迹方程；（2）设， ，，，构造函数研究函数的单调性，得到函数的最值.
解析：
（1）因为抛物线的方程为，所以的坐标为，
设，因为圆与轴、直线都相切，平行于轴，
所以圆的半径为，点 ，则直线的方程为，即，
所以，又，所以，即，
所以的方程为 ．
（2）设， ，，
由（1）知，点处的切线的斜率存在，由对称性不妨设，
由，所以，，
所以，，
所以．
令，，则，
由得，由得，
所以在区间单调递减，在单调递增，
所以当时，取得极小值也是最小值，即取得最小值， 此时．
点睛：求轨迹方程，一般是问谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细.
21、证明见解析；1.
【解析】
由题意可得椭圆的方程为，由点在直线上，且知的斜率必定存在，分类讨论当的斜率为时和斜率不为时的情况列出相应式子，即可得出直线与圆相切；
由知，的面积为
【详解】
解：由题意，椭圆的焦点在轴上，且，所以．
所以椭圆的方程为．
由点在直线上，且知的斜率必定存在，
当的斜率为时，，，
于是，到的距离为，直线与圆相切．
当的斜率不为时，设的方程为，与联立得，
所以，，从而．
而，故的方程为，而在上，故，
从而，于是．
此时，到的距离为，直线与圆相切．
综上，直线与圆相切．
由知，的面积为
，
上式中，当且仅当等号成立，
所以面积的最小值为1．
【点睛】
本题主要考查直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查化归与转化思想，属于难题．
22、（1）（2）的最小值为1，此时直线：
【解析】
（1）用直接法求轨迹方程，即设动点为，把已知用坐标表示并整理即得．注意取值范围；
（2）设：，将其与曲线的方程联立，消元并整理得，
设，，则可得，，由求出，
将直线方程与联立，得，求得，计算，设.显然，构造，由导数的知识求得其最小值，同时可得直线的方程.
【详解】
（1）设，则，即
整理得
（2）设：，将其与曲线的方程联立，得
即
设，，则，
将直线：与联立，得
∴
∴
设.显然
构造
在上恒成立
所以在上单调递增
所以，当且仅当，即时取“=”
即的最小值为1，此时直线：.
（注：1.如果按函数的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.）
【点睛】
本题考查求轨迹方程，考查直线与椭圆相交中的最值．直线与椭圆相交问题中常采用“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为，设直线方程，直线方程与椭圆方程联立并消元，然后用韦达定理得（或），把这个代入其他条件变形计算化简得出结论，本题属于难题，对学生的逻辑推理、运算求解能力有一定的要求．
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481