2026届安徽省庐江县六校联盟高三第三次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届安徽省庐江县六校联盟高三第三次模拟考试数学试卷含解析，共20页。试卷主要包含了设函数，若函数有三个零点，则，已知函数为奇函数，且，则，若2m＞2n＞1，则等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数在上单调递减的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
2．是边长为的等边三角形，、分别为、的中点，沿把折起，使点翻折到点的位置，连接、，当四棱锥的外接球的表面积最小时，四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则|FA| =（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．设函数，若函数有三个零点，则（ ）
A．12B．11C．6D．3
5．已知函数为奇函数，且，则（ ）
A．2B．5C．1D．3
6．在区间上随机取一个数，使得成立的概率为等差数列的公差，且，若，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
7．若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）
①绕着轴上一点旋转;
②沿轴正方向平移;
③以轴为轴作轴对称;
④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.
A．①③B．③④C．②③D．②④
9．等差数列中，，，则数列前6项和为（）
A．18B．24C．36D．72
10．若2m＞2n＞1，则（ ）
A．B．πm﹣n＞1
C．ln（m﹣n）＞0D．
11．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
12．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．
14．设向量，，且，则_________.
15．双曲线的焦距为__________，渐近线方程为________．
16．能说明“在数列中，若对于任意的，，则为递增数列”为假命题的一个等差数列是______.（写出数列的通项公式）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数
（1）求f(x)的单调递增区间；
（2）△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且A为锐角，a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面积.
18．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为，，，M是椭圆E上的一个动点，且的面积的最大值为.
（1）求椭圆E的标准方程，
（2）若，，四边形ABCD内接于椭圆E，，记直线AD，BC的斜率分别为，，求证:为定值.
19．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的普通方程；
（2）设射线与曲线交于不同于极点的点，与曲线交于不同于极点的点，求线段的长．
20．（12分）已知函数.
（Ⅰ）若是第二象限角，且，求的值；
（Ⅱ）求函数的定义域和值域.
21．（12分）已知函数u（x）＝xlnx，v（x）x﹣1，m∈R．
（1）令m＝2，求函数h（x）的单调区间；
（2）令f（x）＝u（x）﹣v（x），若函数f（x）恰有两个极值点x1，x2，且满足1e（e为自然对数的底数）求x1•x2的最大值．
22．（10分）已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）若函数的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
先求导函数，函数在上单调递减则恒成立，对导函数不等式换元成二次函数，结合二次函数的性质和图象，列不等式组求解可得.
【详解】
依题意，，
令，则，故在上恒成立；
结合图象可知，，解得
故.
故选：C.
【点睛】
本题考查求三角函数单调区间. 求三角函数单调区间的两种方法:
(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角(或)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解；
(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.
2、D
【解析】
首先由题意得，当梯形的外接圆圆心为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现，的中点即为梯形的外接圆圆心，也即四棱锥的外接球球心，则可得到，进而可根据四棱锥的体积公式求出体积.
【详解】
如图，四边形为等腰梯形，则其必有外接圆，设为梯形的外接圆圆心，
当也为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过作的垂线交于点，交于点，连接，点必在上，
、分别为、的中点，则必有，
，即为直角三角形.
对于等腰梯形，如图：
因为是等边三角形，、、分别为、、的中点，
必有，
所以点为等腰梯形的外接圆圆心，即点与点重合，如图
，，
所以四棱锥底面的高为，
.
故选：D.
【点睛】
本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力和分析能力，是一道难度较大的题目.
3、C
【解析】
方法一：设，利用抛物线的定义判断出是的中点，结合等腰三角形的性质求得点的横坐标，根据抛物线的定义求得，进而求得.
方法二：设出两点的横坐标，由抛物线的定义，结合求得的关系式，联立直线的方程和抛物线方程，写出韦达定理，由此求得，进而求得.
【详解】
方法一：由题意得抛物线的准线方程为，直线恒过定点，过分别作于，于，连接，由，则，所以点为的中点，又点是的中点，
则，所以，又
所以由等腰三角形三线合一得点的横坐标为，
所以，所以．
方法二：抛物线的准线方程为，直线
由题意设两点横坐标分别为，
则由抛物线定义得
又 ①
②
由①②得.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.
4、B
【解析】
画出函数的图象，利用函数的图象判断函数的零点个数，然后转化求解，即可得出结果．
【详解】
作出函数的图象如图所示，
令，
由图可得关于的方程的解有两个或三个（时有三个，时有两个），
所以关于的方程只能有一个根（若有两个根，则关于的方程有四个或五个根），
由，可得的值分别为，
则
故选B．
【点睛】
本题考查数形结合以及函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于常考题型.
5、B
【解析】
由函数为奇函数,则有,代入已知即可求得.
【详解】
.
故选:.
【点睛】
本题考查奇偶性在抽象函数中的应用,考查学生分析问题的能力,难度较易.
6、D
【解析】
由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的的范围区间长度，利用几何概型公式可得概率，即等差数列的公差，利用条件，求得，从而求得，解不等式求得结果.
【详解】
由题意，本题符合几何概型，区间长度为6，
使得成立的的范围为，区间长度为2，
故使得成立的概率为，
又，，，
令，则有，故的最小值为11，
故选：D.
【点睛】
该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题，涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式，等差数列的通项公式，属于基础题目.
7、A
【解析】
由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果.
【详解】
对于选项B, 为 奇函数可判断B错误;
对于选项C,当时, ,可判断C错误;
对于选项D, ,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D错误;
故选:A.
【点睛】
本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.
8、D
【解析】
计算得到，，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案.
【详解】
，，，
当沿轴正方向平移个单位时，重合，故②正确；
，，
故，函数关于对称，故④正确；
根据图像知：①③不正确；
故选：.
【点睛】
本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.
9、C
【解析】
由等差数列的性质可得，根据等差数列的前项和公式可得结果.
【详解】
∵等差数列中，，∴，即，
∴，
故选C.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前项和公式的应用，属于基础题.
10、B
【解析】
根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析.
【详解】
若2m＞2n＞1＝20，∴m＞n＞0，∴πm﹣n＞π0＝1，故B正确；
而当m，n时，检验可得，A、C、D都不正确，
故选：B．
【点睛】
此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系，需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.
11、A
【解析】
由计算出的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数的值域.
【详解】
，，，
因此，函数的值域为.
故选：A.
【点睛】
本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解，解答的关键就是求出对象角的取值范围，考查计算能力，属于基础题.
12、B
【解析】
化简圆到直线的距离 ，
又 两圆相交. 选B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
(1)先算出正四面体的体积，六面体的体积是正四面体体积的倍，即可得出该六面体的体积；(2)由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时，求出球的半径，再代入球的体积公式可得答案.
【详解】
(1)每个三角形面积是，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的，
可求出该四面体的高为，故四面体体积为，
因此该六面体体积是正四面体的2倍， 所以六面体体积是；
(2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，
连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为，
所以， 所以球的体积.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查由平面图形折成空间几何体、考查空间几何体的的表面积、体积计算，考查逻辑推理能力和空间想象能力求解球的体积关键是判断在什么情况下，其体积达到最大，考查运算求解能力.
14、
【解析】
根据向量的数量积的计算，以及向量的平方，简单计算，可得结果.
【详解】
由题可知：
且
由
所以
故答案为：
【点睛】
本题考查向量的坐标计算，主要考查计算，属基础题.
15、6
【解析】
由题得 所以焦距,故第一个空填6.
由题得渐近线方程为.故第二个空填.
16、答案不唯一，如
【解析】
根据等差数列的性质可得到满足条件的数列.
【详解】
由题意知，不妨设，
则，
很明显为递减数列，说明原命题是假命题.
所以，答案不唯一，符合条件即可.
【点睛】
本题考查对等差数列的概念和性质的理解，关键是假设出一个递减的数列，还需检验是否满足命题中的条件，属基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）利用降次公式、辅助角公式化简解析式，根据三角函数单调区间的求法，求得的单调递增区间.
（2）先由求得，利用正弦定理得到，结合余弦定理列方程，求得，由此求得三角形的面积.
【详解】
（1）函数，
，
由，
得.
所以的单调递增区间为 .
（2）因为且为锐角，所以.
由及正弦定理可得，又，
由余弦定理可得，
解得， .
【点睛】
本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.
18、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）设椭圆E的半焦距为c，由题意可知，当M为椭圆E的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值，求出，即可得答案；
（2）根据题意可知，，因为，所以可设直线CD的方程为，将直线代入曲线的方程，利用韦达定理得到的关系，再代入斜率公式可证得为定值.
【详解】
（1）设椭圆E的半焦距为c，由题意可知，
当M为椭圆E的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值.
所以，所以，，
故椭圆E的标准方程为.
（2）根据题意可知，，因为，
所以可设直线CD的方程为.
由，消去y可得，
所以，即.
直线AD的斜率，
直线BC的斜率，
所以
，故为定值.
【点睛】
本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中的定值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的运用.
19、（1）；（2）
【解析】
曲线的参数方程转换为直角坐标方程为．再用极直互化公式求解，曲线的极坐标方程用极直互化公式转换为直角坐标方程．
射线与曲线的极坐标方程联解求出，射线与曲线的极坐标方程联解求出， 再用 得解
【详解】
解：曲线的参数方程为（为参数，转换为直角坐标方程为．把，代入得：
曲线的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为．
设射线与曲线交于不同于极点的点，
所以，解得．
与曲线交于不同于极点的点，
所以，解得，
所以
【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程直角坐标方程相互转换及极坐标下利用和的几何意义求线段的长.（1）直角坐标方程化为极坐标方程只需将直角坐标方程中的分别用，代替即可得到相应极坐标方程．参数方程化为极坐标方程必须先化成直角坐标方程再转化为极坐标方程.（2）直接求解，能达到化繁为简的解题目的；如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.
20、（Ⅰ）（Ⅱ）函数的定义域为，值域为
【解析】
（1）由为第二象限角及的值，利用同角三角函数间的基本关系求出及的值，再代入中即可得到结果.
（2）函数解析式利用二倍角和辅助角公式将化为一个角的正弦函数，根据的范围，即可得到函数值域.
【详解】
解：（1）因为是第二象限角，且，
所以.
所以，
所以.
（2）函数的定义域为.
化简，得
，
因为，且，，
所以，
所以.
所以函数的值域为.
（注：或许有人会认为“因为，所以”，其实不然，因为.）
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系式，三角函数函数值求解以及定义域和值域的求解问题，涉及到利用二倍角公式和辅助角公式整理三角函数关系式的问题，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于常考题型.
21、（1）单调递增区间是（0，e），单调递减区间是（e，+∞）（2）
【解析】
（1）化简函数h（x），求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出
（2）函数f（x）恰有两个极值点x1，x2，则f′（x）＝lnx﹣mx＝0有两个正根，由此得到m（x2﹣x1）＝lnx2﹣lnx1，m（x2+x1）＝lnx2+lnx1，消参数m化简整理可得ln（x1x2）＝ln•，设t，构造函数g（t）＝（）lnt，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最大值即可求出x1•x2的最大值．
【详解】
（1）令m＝2，函数h（x），∴h′（x），
令h′（x）＝0，解得x＝e，
∴当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，
∴函数h（x）单调递增区间是（0，e），单调递减区间是（e，+∞）
（2）f（x）＝u（x）﹣v（x）＝xlnxx+1，
∴f′（x）＝1+lnx﹣mx﹣1＝lnx﹣mx，
∵函数f（x）恰有两个极值点x1，x2，
∴f′（x）＝lnx﹣mx＝0有两个不等正根，
∴lnx1﹣mx1＝0，lnx2﹣mx2＝0，
两式相减可得lnx2﹣lnx1＝m（x2﹣x1），
两式相加可得m（x2+x1）＝lnx2+lnx1，
∴
∴ln（x1x2）＝ln•，
设t，∵1e，∴1＜t≤e，
设g（t）＝（）lnt，∴g′（t），
令φ（t）＝t2﹣1﹣2tlnt，∴φ′（t）＝2t﹣2（1+lnt）＝2（t﹣1﹣lnt），
再令p（t）＝t﹣1﹣lnt，∴p′（t）＝10恒成立，
∴p（t）在（1，e]单调递增，∴φ′（t）＝p（t）＞p（1）＝1﹣1﹣ln1＝0，
∴φ（t）在（1，e]单调递增，∴g′（t）＝φ（t）＞φ（1）＝1﹣1﹣2ln1＝0，
∴g（t）在（1，e]单调递增，∴g（t）max＝g（e），
∴ln（x1x2），∴x1x2
故x1•x2的最大值为．
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的最值和最值，考查了函数与方程的思想，转化与化归思想，属于难题
22、（1）（2）
【解析】
（1）零点分段法分，，三种情况讨论即可；
（2）只需找到的最小值即可.
【详解】
（1）由.
若时，，解得；
若时，，解得；
若时，，解得；
故不等式的解集为.
（2）由，有，得，
故实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题，考查学生的运算能力，是一道基础题.