2026届安徽省铜陵五中高三第二次联考数学试卷含解析

这是一份2026届安徽省铜陵五中高三第二次联考数学试卷含解析，共8页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，给出以下四个命题等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知,则 ( )
A．B．C．D．
2．定义在上函数满足，且对任意的不相等的实数有成立，若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．若双曲线的焦距为，则的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知复数，为的共轭复数，则（ ）
A．B．C．D．
6．记集合和集合表示的平面区域分别是和,若在区域内任取一点,则该点落在区域的概率为( )
A．B．C．D．
7．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A．B．3C．D．4
8．已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是
A．关于直线对称B．关于点对称
C．周期为D．在上是增函数
9．给出以下四个命题：
①依次首尾相接的四条线段必共面；
②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；
③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；
④垂直于同一直线的两条直线必平行.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
10．若样本的平均数是10，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是（ ）
A．平均数为20，方差为4B．平均数为11，方差为4
C．平均数为21，方差为8D．平均数为20，方差为8
11．某四棱锥的三视图如图所示，记为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）.
A．，且B．，且
C．，且D．，且
12．已知实数，满足约束条件，则目标函数的最小值为
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在的展开式中，常数项为________.(用数字作答)
14．已知双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为___________.
15．如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1，若向量、、满足，则实数的值为_______．

16．如图,在梯形中，∥，分别是的中点，若，则的值为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设数列是等差数列，其前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
18．（12分）已知实数x，y，z满足，证明：.
19．（12分）已知函数，．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若，当时，函数，求函数的最小值．
20．（12分）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，且过点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过左焦点的直线l与椭圆C交于不同的A，B两点，若，求直线l的斜率k.
21．（12分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组个人的血总共需要化验次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立.
（1）设方案②中，某组个人的每个人的血化验次数为，求的分布列；
（2）设，试比较方案②中，分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）
22．（10分）已知函数，.
（1）若不等式对恒成立，求的最小值；
（2）证明：.
（3）设方程的实根为.令若存在，，，使得，证明：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．
【详解】
，
本题正确选项：
【点睛】
本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．
2、B
【解析】
结合题意可知是偶函数,且在单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数,计算最值,即可.
【详解】
结合题意可知为偶函数,且在单调递减,故
可以转换为
对应于恒成立,即
即对恒成立
即对恒成立
令,则上递增,在上递减,
所以
令,在上递减
所以.故,故选B.
【点睛】
本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案.
3、B
【解析】
根据焦距即可求得参数，再根据点到直线的距离公式即可求得结果.
【详解】
因为双曲线的焦距为，
故可得，解得，不妨取；
又焦点，其中一条渐近线为，
由点到直线的距离公式即可求的.
故选：B.
【点睛】
本题考查由双曲线的焦距求方程，以及双曲线的几何性质，属综合基础题.
4、B
【解析】
直接利用向量的坐标运算得到向量的坐标，利用求得参数m，再用计算即可.
【详解】
依题意，， 而， 即， 解得， 则.
故选：B.
【点睛】
本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想.
5、C
【解析】
求出，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.
【详解】
.
故选：C
【点睛】
本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题.
6、C
【解析】
据题意可知，是与面积有关的几何概率，要求落在区域内的概率，只要求、所表示区域的面积，然后代入概率公式，计算即可得答案．
【详解】
根据题意可得集合所表示的区域即为如图所表示：
的圆及内部的平面区域，面积为，
集合，，表示的平面区域即为图中的，，
根据几何概率的计算公式可得，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了几何概率的计算，本题是与面积有关的几何概率模型．解决本题的关键是要准确求出两区域的面积．
7、B
【解析】
由正弦定理及条件可得，
即.
，
∴，
由余弦定理得。
∴.选B。
8、D
【解析】
当时,,∴f(x)不关于直线对称；
当时, ,∴f(x)关于点对称；
f(x)得周期，
当时, ,∴f(x)在上是增函数．
本题选择D选项.
9、B
【解析】
用空间四边形对①进行判断；根据公理2对②进行判断；根据空间角的定义对③进行判断；根据空间直线位置关系对④进行判断.
【详解】
①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误.
②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确.
③中，由空间角的定义知道，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么
这两个角相等或互补，故③错误.
④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误.
故选：B
【点睛】
本小题考查空间点，线，面的位置关系及其相关公理，定理及其推论的理解和认识；考查空间想象能力，推理论证能力，考查数形结合思想，化归与转化思想.
10、D
【解析】
由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案.
【详解】
样本的平均数是10，方差为2，
所以样本的平均数为,方差为.
故选:D.
【点睛】
样本的平均数是，方差为，则的平均数为,方差为.
11、D
【解析】
首先把三视图转换为几何体，根据三视图的长度，进一步求出个各棱长.
【详解】
根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，
如图所示：
所以：，
，.
故选：D.
.
【点睛】
本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.
12、B
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义为动点到定点的斜率，利用数形结合即可得到的最小值．
【详解】
解：作出不等式组对应的平面区域如图：
目标函数的几何意义为动点到定点的斜率，
当位于时，此时的斜率最小，此时．
故选B．
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
的展开式的通项为，取计算得到答案.
【详解】
的展开式的通项为：，取得到常数项.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.
14、
【解析】
求出双曲线的渐近线方程，右准线方程，得到交点坐标代入抛物线方程求解即可．
【详解】
解：双曲线的右准线，渐近线，
双曲线的右准线与渐近线的交点，
交点在抛物线上，
可得：，
解得．
故答案为．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．
15、
【解析】
根据图示分析出、、的坐标表示，然后根据坐标形式下向量的数量积为零计算出的取值.
【详解】
由图可知：，所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查向量的坐标表示以及坐标形式下向量的数量积运算，难度较易.已知，若，则有.
16、
【解析】
建系，设设，由可得，进一步得到的坐标，再利用数量积的坐标运算即可得到答案.
【详解】
以A为坐标原点，AD为x轴建立如图所示的直角坐标系，设，则
，
所以，，由，
得，即，又，所以
，故,,
所以.
故答案为：2
【点睛】
本题考查利用坐标法求向量的数量积，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）见解析
【解析】
（1）设数列的公差为，由，得到，再结合题干所给数据得到公差，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，再利用放缩法证明不等式即可；
【详解】
解：（1）设数列的公差为，∵，∴，
∴，∴.
（2）∵，
∴
，
∴.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式的计算，放缩法证明数列不等式，属于中档题.
18、见解析
【解析】
已知条件，需要证明的是，要想利用柯西不等式，需要的值，发现，则可以用柯西不等式.
【详解】
，
.
由柯西不等式得，
.
.
.
【点睛】
本题考查柯西不等式的应用，属于基础题.
19、（1）见解析 （2）的最小值为
【解析】
（1）由题可得函数的定义域为，
，
当时，，令，可得；令，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，令，可得；令，可得或，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，所以函数在上单调递增．
综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增．
（2）方法一：当时，，，
设，，则，
所以函数在上单调递减，所以，当且仅当时取等号．当时，设，则，所以，
设，，则，
所以函数在上单调递减，且，，
所以存在，使得，所以当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，，所以，所以，当且仅当时取等号．所以当时，函数取得最小值，且，
故函数的最小值为．
方法二：当时，，，
则，
令，，则，
所以函数在上单调递增，
又，所以存在，使得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以当时，恒成立，
所以当时，恒成立，所以函数在上单调递减，
所以函数的最小值为．
20、（1）（2）直线l的斜率为或
【解析】
(1)根据已知列出方程组即可解得椭圆方程;
(2)设直线方程,与椭圆方程联立, 转化为,借助向量的数量积的坐标表示,及韦达定理即可求得结果.
【详解】
（1）由题意得
解得
故椭圆C的方程为.
（2）直线l的方程为，
设，，
则由方程组消去y得，
，
所以，，
由，得，
所以，
又
所以，
即
所以，
因此，直线l的斜率为或.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程,考查直线和椭圆的位置关系,考查学生的计算求解能力,难度一般.
21、（1）分布列见解析；（2）406.
【解析】
（1）计算个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为，得到分布列.
（2）计算，代入数据计算比较大小得到答案.
【详解】
（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，则.
所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为.
依题意可知，，所以的分布列为：
（2）方案②中.
结合（1）知每个人的平均化验次数为：
时，，此时1000人需要化验的总次数为690次，
时，，此时1000人需要化验的总次数为604次，
时，，此时1000人需要化验的次数总为594次，
即时化验次数最多，时次数居中，时化验次数最少，而采用方案①则需化验1000次，
故在这三种分组情况下，相比方案①，
当时化验次数最多可以平均减少次.
【点睛】
本题考查了分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.
22、（1）（2）证明见解析（3）证明见解析
【解析】
（1）由题意可得，，令，利用导数得在上单调递减，进而可得结论；
（2）不等式转化为，令，，利用导数得单调性即可得到答案；
（3）由题意可得，进而可将不等式转化为，再利用单调性可得，记，，再利用导数研究单调性可得在上单调递增，即，即，即可得到结论.
【详解】
（1），即，化简可得.
令，，因为，所以，.
所以，在上单调递减，.
所以的最小值为.
（2）要证，即.
两边同除以可得.
设，则.
在上，，所以在上单调递减.
在上，，所以在上单调递增，所以.
设，因为在上是减函数，所以.
所以，即.
（3）证明：方程在区间上的实根为，即，要证
，由可知，即要证.
当时，，，因而在上单调递增.
当时，，，因而在上单调递减.
因为，所以，要证.
即要证.
记，.
因为，所以，则.
.
设，，当时，.
时，，故.
且，故，因为，所以.
因此，即在上单调递增.
所以，即.
故得证.
【点睛】
本题考查函数的单调性、最值、函数恒成立问题，考查导数的应用，转化思想，构造函数研究单调性，属于难题.