安徽省铜陵市2025_2026学年高三数学上学期期末联考试题含解析

这是一份安徽省铜陵市2025_2026学年高三数学上学期期末联考试题含解析
1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹等字笔书写，字体工整，
笔迹清晰．
3．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形
码粘贴区．
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
5．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草
稿纸、试卷上答题无效．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法，求得 ，结合基本交集的定义与运算，即可求解.
【详解】由不等式 ，可得 ，解得 ，即 ，
又由 ，可得 ．
故选：B
2. 在 的展开式中 的系数为（ ）
A. 32 B. 24 C. 16 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】写出展开式的通项，令 的指数为 ，求出相应参数的值，代回通项即可求得 的系数.
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【详解】依题意， 展开式的通项为：
.
令 ，得 ；
则 ，所以 的系数为 24．
故选：B.
3. 如图，在四面体 中，点 为 的重心，设 ， ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的线性运算及重心的性质即可求解.
【详解】如图，连接 并延长与 相交，
点 为 重心， ，
．
故选：A.
4. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
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A. 3 B. 0 C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由等差数列前 项和性质，和等差数列通项公式列出等式求解即可.
【详解】由等差数列性质得： ，
所以 ，
， ，
．
故选：C
5. 已知等轴双曲线与椭圆 有相同的焦点，则该双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先算出椭圆的焦点，再根据等轴双曲线的特点求出虚半轴长，而焦点到渐近线的距离就是这个虚
半轴长.
【详解】 椭圆： ， ，由 ，则 ，焦点坐标为 ；
双曲线 ， ，
又 ， ，
双曲线焦点为 ，渐近线为 ，取焦点 ，渐近线为 计算距离，
双曲线的焦点到渐近线的距离 ．
故选：D
6. 已知定义在 上的奇函数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
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A. 关于 对称 B. 关于点 对称
C. 的一个周期为 4 D. 为奇函数
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数对称性、奇偶性、周期性的定义逐项判断即可.
【详解】 为奇函数， ，所以 .
， ，即 .
， 是周期为 的函数.所以 C 正确.
为奇函数， ，
所以 ，所以 关于 对称，所以 A 错误.
，
关于 对称.所以 B 错误.
函数 的图象可由 的图象向右平移 1 个单位得到，
关于 轴对称，即 为偶函数.所以 D 错误.
故选：C.
7. 在某次期中考试中，从 800 名考生中随机抽取 100 名考生的物理成绩进行统计分析，绘制如图所示的频
率分布直方图（满分 100 分）．则下列说法正确的是（ ）
A. B. 众数小于平均数
C. 中位数超过 75 分 D. 估计全校有 640 名考生及格
【答案】D
【解析】
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【分析】根据频率分布直方图的性质，列出方程，求得 的值，可判断 A 不正确；求得数据的众数和平均
数的值，可判定 B 不正确；根据中位数的计算方法，求得数据的中位数，可判定 C 错误；求得落在
中的人数为 ，结合分层抽样，列出方程，求得及格的人数，可判定 D 正确.
【详解】对于 A，根据频率分布直方图 性质，可得 ，
解得 ，所以 A 不正确；
对于 B，由频率分布直方图，可得数据的众数为 ，
平均数 ，
众数大于平均数，所以 B 错误；
对于 C，由频率分布直方图，可得中位数为 ，所以 C 错误；
对于 D，由频率分布直方图，可得落在 中的人数为 ，
设全校有 人及格，则 ，解得 ，即估计全校有 640 名考生及格，所以 D 正确.
故选：D.
8. 已知 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令 ， ， ，得到
设 和 ， 利 用 导 数 求 得
和 的单调性，结合函数的单调性，比较大小，即可得到答案.
【详解】令 ， ， ，
可得 ，
设 ，其中 ，
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可得 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，即 ，即 ，
故 ，所以 ；
设 ，其中 ，
可得 ，令 ，
可得 ，故 在 上单调递增，
所以 ，可得 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，可得 ，
故 ，所以 ，所以 .
故选：A.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知正数 ， ，满足 ，则（ ）
A. 的最大值为 2 B. 的最小值为 3
C. 的最小值为 D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于 ABC，利用基本不等式即可判断；对于 D，根据 消元，结合二次函数的最值即可判
断.
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【详解】对于 A， ，
当且仅当 时，等号成立，故 A 错误；
对于 B， ，
当且仅当 时，等号成立，故 B 正确．
对于 C， ，
，
当且仅当 即 时，等号成立，故 C 正确．
对于 D， ，
， ，
当 时有最小值 ，故 D 正确．
故选：BCD.
10. 已知函数 （ ），则（ ）
A. 当 时， 在区间 上的值域为
B. 当 时， 在区间 上单调
C. 若 是 的一条对称轴，则 的值为偶数
D. 若 在区间 上恰有 3 个零点，则
【答案】ACD
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【解析】
【分析】对于 A，由 ，得到 ，进而可判断，对于 B，由 ， 得到
，结合正弦函数性质即可判断，对于 C，由 求解即可；对
于 D，由 ，得到 ，结合正弦函数图象得到 ，
求解即可.
【详解】对于 A，当 时， ，
， ， ，故 A 正确．
对于 B，当 时， ，
， 令 ，
在 不单调，故 B 错误．
对于 C，若 是 的一条对称轴，
则 ，
取值为偶数，故 C 正确．
对于 D， ， 令 ，
在 恰有 3 个零点，
则 ，故 D 正确．
故选：ACD
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11. 如图，在棱长为 1 的正方体 中，点 为 中点，动点 在正方形 内（含
边界），则（ ）
A. 若 ，则点 的轨迹长度为
B. 若点 在线段 上，则 定值
C. 若点 与点 重合，则三棱锥 的外接球表面积为
D. 若 与 的夹角为 ， 为线段 上的动点，则 的最小值为 1
【答案】BCD
【解析】
【分析】选项 A，先用勾股定理计算，再可知点 的轨迹，计算即可；选项 B，利用向量的运算即可求解；
选项 C，法一，利用几何法找出球心即可计算出，法二，利用空间坐标系结合球面的定义即可计算出；选
项 D，由题意知点 在以 为圆心，1 为半径的圆弧上，再利用对称性结合平面几何知识即可判断 D.
【详解】对于 A， ，则 在以 为圆心，半径为 1 的四分之一圆周上，如图（1）
轨迹长度为 ，故 A 错误；
对于 B，如图（2）所示，
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设 ， ，
，
又 ，
，故 B 正确．
对于 C，方法一，如图（3）所示， ，
取 中点 ，连接 ，则等腰 的外接圆圆心 在 上，
外接圆半径 ，依题意易知， ，
根据正弦定理可知， ，在 中，外心 为 中点，
连接 并延长交 于点 ，易知 平面 ，
过点 作平行于 的垂线交 于点 ，
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即 为三棱锥 的外接球球心， ，
外接球半径 ， ，故 C 正确．
方法二，以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
设球心 ， ，
，解得 ，
， ，故 C 正确．
对于 ，
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由 知，点 在以 为圆心，1 为半径的圆弧上，
连接 ，由对称性可知，当点 位于 上时， 最小，过 作 于 ，
在 中， ， ，
故 ，如图在平面 中，过点 作 于点 ，
则 ，故 D 正确．
故选：BCD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知复数 满足 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】设 ，利用复数乘法法则和复数相等的条件求得 ，然后代入复数模的运算求解即
可.
【详解】设 ，则 ，
， ，
， ．
故答案为：
13. 芡实俗称“鸡头米”，是一种不可多得的养生良品，其通过开发可以产出芡实酒．已知 ， ， 三家酒
厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的 20%，35%，45%，不合格率分别为 0.01，0.015，0.02．现从
这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为______；若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是
厂生产的概率为______．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】由全概率公式求得该瓶酒是不合格的概率；由条件概率公式求得若该瓶芡实酒是不合格品，则该
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瓶酒是 厂生产的概率.
【详解】记事件 ：任取一瓶芡实酒，该瓶酒不合格.
：任取一瓶芡实酒，该瓶酒由 厂生产， ， ；
：任取一瓶芡实酒，该瓶酒由 厂生产， ， ；
：任取一瓶芡实酒，该瓶酒由 厂生产， ， .
则
.
所以 .
故答案为：① ；② .
14. 已知圆 ： （圆心为点 ），动点 在直线 ： 上，过点 向圆
作两条切线，切点分别为 ， ；直线 和 相交于点 ，则点 到直线 的距离的最小值为______
．
【答案】
【解析】
【分析】设 ，得出直线 方程，通过分析得出直线 过定点 ,
点 在以 为直径的圆 上，点 到直线 的距离等于点 到直线 的距离
减去圆 的半径.
【详解】依题意，将圆 化为标准式： ，
， ，设 ，
则直线 为：
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直线 恒过点
， 点 在以 为直径的圆 上，
， ， ： ，
点 到直线 的距离为 ，
点 到直线 的距离 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，点 在 上，且 ，求 的长度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理得 ，且 ，即
，整理得 ，进而求得 的值；
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（2）根据题设条件和正弦定理求出 的值，再结合（1）的结论求出 的值，进而得到 ， ， 的值，由
得 的值，在 中，由余弦定理可得 的长度.
【小问 1 详解】
依题意， ，
由正弦定理得， ，
因为 ，所以 ，
即 ，
化简可得 ，
又因为 ，所以 ，
所以 且 ，解得 .
【小问 2 详解】
由题意知 ， ， ，
又因为 ，所以 ，
由（1）知 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
在 中，由余弦定理 ，
可得 ，解得 .
16. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ， ， 与 相交于
点 ，点 在棱 上且 ．
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（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，证得 ，再由 ，得到 ，利用线面垂直的判
定定理，证得 平面 ，得到 ，进而证得 平面 ；
（ 2） 以 点 为 坐 标 原 点 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 分 别 求 得 平 面 和 平 面 的 法 向 量
和 ，结合向量的夹角公式，即可求解.
【小问 1 详解】
证明：在直三棱柱 中，
因为 ，且点 在棱 上且 ，
在直角 中，可得 ，所以 ，
在直角 中，可得 ，所以 ，所以 .
又因为 ， ， ，可得 ，所以 ，
因为 ， ，且 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
因为 ，且 平面 ，
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所以 平面 ．
【小问 2 详解】
以点 为坐标原点，以 所在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得 ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，可得 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ， ，
令 ，可得 ，所以 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ．
17. 已知椭圆 ： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，且经过点
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．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知点 ，过点 的直线交椭圆于 ， 两点，求 面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，列式求出 即可.
（2）设出直线 的方程，与椭圆方程联立，借助韦达定理求出 纵坐标差的绝对值的最大值即可求得
三角形面积的最大值.
【小问 1 详解】
由椭圆 ： 的离心率为 ，得 ，则 ，
由椭圆 过点 ，则 ，联立解得 ，
所以椭圆 的标准方程为： .
【小问 2 详解】
显然直线 斜率不为 0，设其方程为： ， ，
由 ，消去 得 ， ，
则 ，
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，
当且仅当 ，即 时取等号，而 ，
因此 ，
所以 面积的最大值为 .
18. 近些年人工智能（AI）经历了爆炸式发展，技术性能显著提升，应用场景深度渗透．现有 ， ， 三
台机器人进行象棋比赛，比赛规则：每一局由两台机器人进行比赛，剩余的一台机器人进行“调试”，每局比
赛结束时，负方在下一局进行“调试”，胜方继续进行下一局比赛．设每一局比赛中的两台机器人获胜的概率
均相等，各局比赛结果相互独立且没有平局，首局比赛由 和 对弈， 进行“调试”， 表示第 局 进
行“调试”的概率（ ）．
（1）求前 3 局中， 不“调试”的概率；
（2）求 ；
（3）若 表示前 5 局比赛中 “调试”的次数，求随机变量 的分布列和数学期望 ．
【答案】（1）
（2） （ ）
（3）分布列见详解，
【解析】
【分析】（1）由第 1 局和第 2 局 均要获胜，结合独立事件概率乘法公式即可求解；
（2）由题意得到 ，构造等比数列 ，进而可求解；
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（3）确定 的可能取值，求得相应概率，即可求解.
【小问 1 详解】
记 为前 3 局中， 不“调试”，
开始比赛由 和 对弈，
第 1 局和第 2 局 均要获胜， ；
【小问 2 详解】
若第 局 进行“调试”，则第 局 负，
（ ）， ，
，又 ，
（ ）；
【小问 3 详解】
记：“ ”为“比赛”，“ ”为“调试” ，
， ， ，
分布列如下：
第 20页/共 23页
0 1 2
．
19. 已知函数 （ ）．
（1）若 ，求函数 在 处的切线方程；
（2）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若 ，求证：函数 在 上有且仅有 2 个极值点．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程；
（2）参变分离可得 在 上恒成立，令 ， ，利用
导数说明函数的单调性，即可求出参数的取值范围；
（3）求出函数的导函数，利用隐零点的思想说明函数的极值点，即可证明.
【小问 1 详解】
依题意，当 时， ，
， ， ，
切线方程为： ，整理得： ．
【小问 2 详解】
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在 上恒成立，
在 上恒成立，
在 上恒成立，
在 上恒成立，
令 ， ，
则 ， ，
， ，
， 在 上单调递减，
，
，即实数 的取值范围为 ．
【小问 3 详解】
依题意，当 时， ， ，
则 ，
令 ， ， ，
①当 时， ， ，
， 单调递增， ， ，
存在 ，使得 ，
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， 即 ， 单调递减，
， 即 ， 单调递增，
在 上 存在一个极小值点 ；
②当 时，令 ， ，
， ， 单调递增，
又 ， ，
存在 ，使得 ，
， 即 ， 单调递减，
， 即 ， 单调递增，
又 ， ，
存在 ，使得 ，
， 即 ， 单调递增，
， 即 ， 单调递减，
在 上 存在一个极大值点 ，
综上所述，得证 在 上有且仅有 2 个极值点．