2026届安徽省合肥市第六中学高考数学五模试卷含解析

这是一份2026届安徽省合肥市第六中学高考数学五模试卷含解析，共18页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知复数，已知等边△ABC内接于圆，已知集合，则=，设全集为R，集合，，则等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知符号函数sgnxf（x）是定义在R上的减函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（ ）
A．sgn[g（x）]＝sgn xB．sgn[g（x）]＝﹣sgnx
C．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）]D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）]
3．已知随机变量满足，，.若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．已知等边△ABC内接于圆：x2+ y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（ ）
A．B．1C．D．2
6．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知集合，则=
A．B．C．D．
8．设全集为R，集合，，则
A．B．C．D．
9．已知为定义在上的偶函数，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
10．若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．设a=lg73，，c=30.7，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数是定义域为的偶函数，且满足，当时，，则函数在区间上零点的个数为（ ）
A．9B．10C．18D．20
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在中，已知，，则A的值是______.
14．设全集，集合，，则集合______.
15．已知，则_____。
16．若函数与函数，在公共点处有共同的切线，则实数的值为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100 人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.
（1）估计这100人体重数据的平均值和样本方差；(结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
（2）从全校学生中随机抽取3名学生，记为体重在的人数，求的分布列和数学期望；
（3）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重近似服从正态分布.若，则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.
18．（12分）已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）已知，若对于任意恒成立，求的取值范围.
19．（12分）已知，函数，（是自然对数的底数）.
（Ⅰ）讨论函数极值点的个数；
（Ⅱ）若，且命题“，”是假命题，求实数的取值范围.
20．（12分）已知函数，其导函数为，
（1）若，求不等式的解集；
（2）证明：对任意的，恒有.
21．（12分）在多面体中，四边形是正方形，平面，，，为的中点.
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成角的正弦值.
22．（10分）（某工厂生产零件A，工人甲生产一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为，工人乙生产一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为．己知生产一件一等品、二等品、三等品零件A给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元.
（1）试根据生产一件零件A给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏；
（2）为鼓励工人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛．决赛规则是：每一轮比赛，甲乙各生产一件零件A，如果一方生产的零件A品级优干另一方生产的零件，则该方得分1分，另一方得分-1分，如果两人生产的零件A品级一样，则两方都不得分，当一方总分为4分时，比赛结束，该方获胜．Pi+4（i=4，3，2，…，4）表示甲总分为i时，最终甲获胜的概率．
①写出P0，P8的值；
②求决赛甲获胜的概率．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
由题意首先确定几何体的空间结构特征，然后结合空间结构特征即可求得其表面积.
【详解】
由三视图可知，该几何体为边长为正方体挖去一个以为球心以为半径球体的，
如图，故其表面积为，
故选：B.
【点睛】
(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
2、A
【解析】
根据符号函数的解析式，结合f（x）的单调性分析即可得解.
【详解】
根据题意，g（x）＝f（x）﹣f（ax），而f（x）是R上的减函数，
当x＞0时，x＜ax，则有f（x）＞f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＞0，此时sgn[g （ x）]＝1，
当x＝0时，x＝ax，则有f（x）＝f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＝0，此时sgn[g （ x）]＝0，
当x＜0时，x＞ax，则有f（x）＜f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＜0，此时sgn[g （ x）]＝﹣1，
综合有：sgn[g （ x）]＝sgn（x）；
故选：A．
【点睛】
此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论.
3、B
【解析】
根据二项分布的性质可得：，再根据和二次函数的性质求解.
【详解】
因为随机变量满足，，.
所以服从二项分布，
由二项分布的性质可得：，
因为，
所以，
由二次函数的性质可得：，在上单调递减，
所以.
故选：B
【点睛】
本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.
4、A
【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得的坐标得出答案.
【详解】
解：，
在复平面内对应的点的坐标是.
故选：A.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
5、D
【解析】
如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案.
【详解】
如图所示建立直角坐标系，则，，，设，
则
.
当，即时等号成立.
故选：.
【点睛】
本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.
6、A
【解析】
每个县区至少派一位专家，基本事件总数，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率.
【详解】
派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家
基本事件总数：
甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：
甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
7、C
【解析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】
由题意得，，则
．故选C．
【点睛】
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
8、B
【解析】
分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果.
详解：由题意可得：，
结合交集的定义可得：.
本题选择B选项.
点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9、D
【解析】
判断，利用函数的奇偶性代入计算得到答案.
【详解】
∵，∴．
故选：
【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
10、B
【解析】
复数，在复平面内对应的点在第二象限，可得关于a的不等式组，解得a的范围.
【详解】
，
由其在复平面对应的点在第二象限，
得，则.
故选：B.
【点睛】
本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11、D
【解析】
，，得解．
【详解】
，，，所以，故选D
【点睛】
比较不同数的大小，找中间量作比较是一种常见的方法．
12、B
【解析】
由已知可得函数f（x）的周期与对称轴，函数F（x）＝f（x）在区间上零点的个数等价于函数f（x）与g（x）图象在上交点的个数，作出函数f（x）与g（x）的图象如图，数形结合即可得到答案.
【详解】
函数F（x）＝f（x）在区间上零点的个数等价于函数f（x）与g（x）图象在上交点的个数，
由f（x）＝f （2﹣x），得函数f（x）图象关于x＝1对称，
∵f（x）为偶函数，取x＝x+2，可得f（x+2）＝f（﹣x）＝f（x），得函数周期为2.
又∵当x∈[0，1]时，f（x）＝x，且f（x）为偶函数，∴当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x，
g（x），
作出函数f（x）与g（x）的图象如图：
由图可知，两函数图象共10个交点，
即函数F（x）＝f（x）在区间上零点的个数为10.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据正弦定理，由可得，由可得，将代入求解即得.
【详解】
，，即，
，，则，
，，，则.
故答案为：
【点睛】
本题考查正弦定理和二倍角的正弦公式，是基础题.
14、
【解析】
分别解得集合A与集合B的补集，再由集合交集的运算法则计算求得答案.
【详解】
由题可知，集合A中
集合B的补集，则
故答案为：
【点睛】
本题考查集合的交集与补集运算，属于基础题.
15、
【解析】
由已知求，再利用和角正切公式，求得，
【详解】
因为所以cs
因此.
【点睛】
本题考查了同角三角函数基本关系式与和角的正切公式。
16、
【解析】
函数的定义域为，求出导函数，利用曲线与曲线公共点为由于在公共点处有共同的切线，解得，，联立解得的值．
【详解】
解：函数的定义域为，，，
设曲线与曲线公共点为，
由于在公共点处有共同的切线，∴，解得，．
由，可得．
联立，解得．
故答案为：．
【点睛】
本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）60；25（2）见解析，2.1（3）可以认为该校学生的体重是正常的.见解析
【解析】
（1）根据频率分布直方图可求出平均值和样本方差；
（2）由题意知服从二项分布，分别求出，，，，进而可求出分布列以及数学期望；
（3）由第一问可知服从正态分布，继而可求出的值，从而可判断.
【详解】
解：（1）
（2）由已知可得从全校学生中随机抽取1人，体重在的概率为0.7.
随机拍取3人，相当于3次独立重复实验，随机交量服从二项分布，
则，，
，，
所以的分布列为：
数学期望
（3）由题意知服从正态分布，
则，
所以可以认为该校学生的体重是正常的.
【点睛】
本题考查了由频率分布直方图求进行数据估计，考查了二项分布，考查了正态分布.注意，统计类问题，如果题目中没有特殊说明，则求出数据的精度和题目中数据的小数后位数相同.
18、（1）或；（2）.
【解析】
（1）时，分类讨论，去掉绝对值，分类讨论解不等式.
（2）时，分类讨论去绝对值，得到解析式，由函数的单调性可得的最小值，通过恒成立问题，得到关于的不等式，得到的取值范围.
【详解】
（1）因为，所以，
所以不等式等价于或或，
解得或.
所以不等式的解集为或.
（2）因为，所以，
根据函数的单调性可知函数的最小值为，
因为恒成立，所以，解得.
所以实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查分类讨论去绝对值，分段函数求最值，不等式恒成立问题，属于中档题.
19、（1）当时，没有极值点，当时，有一个极小值点.（2）
【解析】
试题分析 ：（1），分，讨论，当时，对，，当时，解得，在上是减函数，在上是增函数。所以，当时，没有极值点，当时，有一个极小值点.（2）原命题为假命题，则逆否命题为真命题。即不等式在区间内有解。设 ，所以 ，设 ，则，且是增函数，所以 。所以分和k>1讨论。
试题解析：（Ⅰ）因为，所以，
当时，对，，
所以在是减函数，此时函数不存在极值，
所以函数没有极值点；
当时，，令，解得，
若，则，所以在上是减函数，
若，则，所以在上是增函数，
当时，取得极小值为，
函数有且仅有一个极小值点，
所以当时，没有极值点，当时，有一个极小值点.
（Ⅱ）命题“，”是假命题，则“，”是真命题，即不等式在区间内有解.
若，则设 ，
所以 ，设 ，
则，且是增函数，所以
当时，，所以在上是增函数，
，即，所以在上是增函数，
所以，即在上恒成立.
当时，因为在是增函数，
因为， ，
所以在上存在唯一零点，
当时，，在上单调递减，
从而，即，所以在上单调递减，
所以当时，，即.
所以不等式在区间内有解
综上所述，实数的取值范围为.
20、（1） （2）证明见解析
【解析】
（1）求出的导数，根据导函数的性质判断函数的单调性，再利用函数单调性解函数型不等式；
（2）构造函数，利用导数判断在区间上单调递减，结合可得结果.
【详解】
（1）若，则.
设，则，
所以在上单调递减，在上单调递增.
又当时，；当时，；当时，，
所以
所以在上单调递增，
又，所以不等式的解集为.
（2）设，再令，
，
在上单调递减，
又，
，
，
，
，
.
即
【点睛】
本题考查利用函数的导数来判断函数的单调性，再利用函数的单调性来解决不等式问题，属于较难题.
21、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）首先证明，，，∴平面.即可得到平面，.
（2）以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，带入公式求解即可.
【详解】
（1）∵平面，平面，∴.
又∵四边形是正方形，∴.
∵，∴平面.
∵平面，∴.
又∵，为的中点，∴.
∵，∴平面.
∵平面，∴.
（2）∵平面，，∴平面.
以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
如图所示：
则，，，.
∴，，.
设为平面的法向量，
则，得，
令，则.
由题意知为平面的一个法向量，
∴，
∴平面与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
本题第一问考查线线垂直，先证线面垂直时解题关键，第二问考查二面角，建立空间直角坐标系是解题关键，属于中档题.
22、（1）乙的技术更好，见解析（2）①，；②
【解析】
（1）列出分布列，求出期望，比较大小即可；
（2）①直接根据概率的意义可得P0，P8；②设每轮比赛甲得分为，求出每轮比赛甲得1分的概率，甲得0分的概率，甲得分的概率，可的，可推出是等差数列，根据可得答案.
【详解】
（1）记甲乙各生产一件零件给工厂带来的效益分别为元、元，
随机变量，的分布列分别为
所以，，
所以，即乙的技术更好
（2）①表示的是甲得分时，甲最终获胜的概率，所以，
表示的是甲得4分时，甲最终获胜的概率，所以；
②设每轮比赛甲得分为，则
每轮比赛甲得1分的概率，
甲得0分的概率，
甲得分的概率，
所以甲得时，最终获胜有以下三种情况：
（1）下一轮得1分并最终获胜，概率为；
（2）下一轮得0分并最终获胜，概率为；
（3）下一轮得分并最终获胜，概率为；
所以，
所以是等差数列，
则，
即决赛甲获胜的概率是.
【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查数列递推关系的应用，是一道难度较大的题目.
0
1
2
3
0.027
0.189
0.441
0.343
10
5
2
10
5
2