2026届安徽省合肥市巢湖市汇文实验学校高考压轴卷数学试卷含解析

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1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在等差数列中，若，则（ ）
A．8B．12C．14D．10
2．已知双曲线的实轴长为，离心率为，、分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上运动，若为锐角三角形，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知直线过圆的圆心，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．若的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ）
A．85B．84C．57D．56
5．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则的取值范围是（ ）.

A．B．C．D．
6．已知复数满足（是虚数单位），则=（ ）
A．B．C．D．
7．已知是等差数列的前项和，，，则（ ）
A．85B．C．35D．
8．已知，，若，则实数的值是（ ）
A．-1B．7C．1D．1或7
9．抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，若点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（ ）．
A．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势
B．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义
C．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降
D．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5
11．已知数列 中， ，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
12．数列{an}，满足对任意的n∈N+，均有an+an+1+an+2为定值.若a7=2，a9=3，a98=4，则数列{an}的前100项的和S100=( )
A．132B．299C．68D．99
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设函数，若对于任意的，∈[2，，≠，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
14．平面向量与的夹角为，，，则__________．
15．在中，角，，的对边分别为，，.若；且，则周长的范围为__________.
16．已知，满足，则的展开式中的系数为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）.
（Ⅰ）证明：平面平面垂直；
（Ⅱ）是否存在点，使得二面角的余弦值？若存在，确定点位置；若不存在，说明理由.
18．（12分）已知函数
（1）若，求证：
（2）若，恒有，求实数的取值范围.
19．（12分）过点作倾斜角为的直线与曲线（为参数）相交于M、N两点．
（1）写出曲线C的一般方程；
（2）求的最小值．
20．（12分）已知集合，，，将的所有子集任意排列，得到一个有序集合组，其中.记集合中元素的个数为，，，规定空集中元素的个数为.
当时，求的值；
利用数学归纳法证明：不论为何值，总存在有序集合组，满足任意，，都有.
21．（12分）如图，直线与抛物线交于两点，直线与轴交于点，且直线恰好平分.
（1）求的值；
（2）设是直线上一点，直线交抛物线于另一点，直线交直线于点，求的值.
22．（10分）已知椭圆过点，设椭圆的上顶点为，右顶点和右焦点分别为，，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线交椭圆于，两点，设直线与直线的斜率分别为，，若，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
将，分别用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示.
【详解】
设等差数列的首项为，公差为，
则由，，得解得，，
所以．故选C．
【点睛】
本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建和的方程组求通项公式.
2、A
【解析】
由已知先确定出双曲线方程为，再分别找到为直角三角形的两种情况，最后再结合即可解决.
【详解】
由已知可得，，所以，从而双曲线方程为
，不妨设点在双曲线右支上运动，则，当时，
此时，所以，
，所以；
当轴时，，所以，又为锐角三
角形，所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线的性质及其应用，本题的关键是找到为锐角三角形的临界情况，即为直角三角形，是一道中档题.
3、D
【解析】
圆心坐标为，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值．
【详解】
圆的圆心为，
由题意可得，即，，，
则，当且仅当且即时取等号，
故选：．
【点睛】
本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．
4、A
【解析】
先求，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和.
【详解】
解：的展开式中二项式系数和为256
故，
要求展开式中的有理项，则
则二项式展开式中有理项系数之和为：
故选：A
【点睛】
考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题.
5、C
【解析】
框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n.
【详解】
第一次循环：；第二次循环：；
第三次循环：；第四次循环：；
此时满足输出结果，故.
故选：C.
【点睛】
本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题.
6、A
【解析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
解：由，得，
．
故选．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
7、B
【解析】
将已知条件转化为的形式，求得，由此求得.
【详解】
设公差为，则，所以，，，.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前项和的计算，属于基础题.
8、C
【解析】
根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得的值.
【详解】
由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得
.
∴解得.
故选：C.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.
9、B
【解析】
通过抛物线的定义，转化，要使有最小值，只需最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值．
【详解】
解：由题意可知，抛物线的准线方程为，，
过作垂直直线于，
由抛物线的定义可知，连结，当是抛物线的切线时，有最小值，则最大，即最大，就是直线的斜率最大，
设在的方程为：，所以，
解得：，
所以，解得，
所以，
．
故选：．
【点睛】
本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题．
10、B
【解析】
根据表格和折线统计图逐一判断即可.
【详解】
A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；
B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；
C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；
D. 统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为,不正确；
故选：B
【点睛】
此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.
11、B
【解析】
先根据题意，对原式进行化简可得，然后利用累加法求得，然后不等式恒成立转化为恒成立，再利用函数性质解不等式即可得出答案.
【详解】
由题，
即
由累加法可得：
即
对于任意的，不等式恒成立
即
令
可得且
即
可得或
故选B
【点睛】
本题主要考查了数列的通项的求法以及函数的性质的运用，属于综合性较强的题目，解题的关键是能够由递推数列求出通项公式和后面的转化函数，属于难题.
12、B
【解析】
由为定值，可得，则是以3为周期的数列，求出，即求.
【详解】
对任意的，均有为定值，
，
故，
是以3为周期的数列，
故，
.
故选：.
【点睛】
本题考查周期数列求和，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
试题分析：由题意得函数在[2，上单调递增，当时在[2，上单调递增；当时在上单调递增；在上单调递减，因此实数a的取值范围是
考点：函数单调性
14、
【解析】
由平面向量模的计算公式，直接计算即可.
【详解】
因为平面向量与的夹角为，所以，
所以;
故答案为
【点睛】
本题主要考查平面向量模的计算，只需先求出向量的数量积，进而即可求出结果，属于基础题型.
15、
【解析】
先求角，再用余弦定理找到边的关系，再用基本不等式求的范围即可.
【详解】
解：
所以三角形周长
故答案为：
【点睛】
考查正余弦定理、基本不等式的应用以及三条线段构成三角形的条件；基础题.
16、1
【解析】
根据二项式定理求出，然后再由二项式定理或多项式的乘法法则结合组合的知识求得系数．
【详解】
由题意，．
∴的展开式中的系数为．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查二项式定理，掌握二项式定理的应用是解题关键．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）存在，此时为的中点.
【解析】
（Ⅰ）证明平面，得到平面平面，故平面平面，平面，得到答案.
（Ⅱ）假设存在点满足题意，过作于，平面，过作于，连接，则，过作于，连接，是二面角的平面角，设，，计算得到答案.
【详解】
（Ⅰ）∵，，，∴平面.
又平面，∴平面平面，
而平面，，∴平面平面，
由，知，可知平面，
又平面，∴平面平面.
（Ⅱ）假设存在点满足题意，过作于，由知，
易证平面，所以平面，
过作于，连接，则（三垂线定理），
即是二面角的平面角，
不妨设，则，
在中，设（），由得，
即，得，∴，
依题意知，即，解得，
此时为的中点.
综上知，存在点，使得二面角的余弦值，此时为的中点.
【点睛】
本题考查了面面垂直，根据二面角确定点的位置，意在考查学生的空间想象能力和计算能力，也可以建立空间直角坐标系解得答案.
18、（1）见解析；（2）（﹣∞，0]
【解析】
（1）利用导数求x＜0时，f（x）的极大值为，即证（2）等价于k≤，x＞0，令g（x）＝，x＞0，再求函数g(x)的最小值得解.
【详解】
（1）∵函数f（x）＝x2e3x，∴f′（x）＝2xe3x+3x2e3x＝x（3x+2）e3x．
由f′（x）＞0，得x＜﹣或x＞0；由f′（x）＜0，得，
∴f（x）在（﹣∞，﹣）内递增，在（﹣，0）内递减，在（0，+∞）内递增，
∴f（x）的极大值为，
∴当x＜0时，f（x）≤
（2）∵x2e3x≥（k+3）x+2lnx+1，∴k≤，x＞0，
令g（x）＝，x＞0，则g′（x），
令h（x）＝x2（1+3x）e3x+2lnx﹣1，则h（x）在（0，+∞）上单调递增，
且x→0+时，h（x）→﹣∞，h（1）＝4e3﹣1＞0，
∴存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，
∴当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
∴g（x）在（0，+∞）上的最小值是g（x0）＝，
∵h（x0）＝+2lnx0﹣1=0，所以，
令，
令
所以=1，,
∴g（x0）
∴实数k的取值范围是（﹣∞，0]．
【点睛】
本题主要考查利用证明不等式，考查利用导数求最值和解答不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19、（1）；（2）．
【解析】
（1）将曲线的参数方程消参得到普通方程；
（2）写出直线MN的参数方程，将参数方程代入曲线方程，并将其化为一个关于的一元二次方程，根据，结合韦达定理和余弦函数的性质，即可求出的最小值.
【详解】
（1）由曲线C的参数方程（是参数），
可得，即曲线C的一般方程为．
（2）直线MN的参数方程为（t为参数），
将直线MN的参数方程代入曲线，
得，整理得，
设M，N对应的对数分别为，，则，
当时，取得最小值为．
【点睛】
该题考查的是有关参数方程的问题，涉及到的知识点有参数方程向普通方程的转化，直线的参数方程的应用，属于简单题目.
20、；证明见解析.
【解析】
当时，集合共有个子集，即可求出结果；
分类讨论，利用数学归纳法证明.
【详解】
当时，集合共有个子集，所以；
①当时，，由可知，，
此时令，，，，
满足对任意，都有，且；
②假设当时，存在有序集合组满足题意，且，
则当时，集合的子集个数为个，
因为是4的整数倍，所以令，，，，
且恒成立，
即满足对任意，都有，且，
综上，原命题得证.
【点睛】
本题考查集合的自己个数的研究，结合数学归纳法的应用，属于难题.
21、（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）联立直线的方程和抛物线的方程，化简写出根与系数关系，由于直线平分，所以，代入点的坐标化简得，结合跟鱼系数关系，可求得；（2）设，，，由三点共线得，再次代入点的坐标并化简得，同理由三点共线，可得，化简得，故.
试题解析：
（1）由，整理得，
设，，则，
因为直线平分，∴，
所以，即，
所以，得，满足，所以.
（2）由（1）知抛物线方程为，且，，，
设，，，由三点共线得，
所以，即，
整理得：，①
由三点共线，可得，②
②式两边同乘得：，
即：，③
由①得：，代入③得：，
即：，所以.
所以.
考点：直线与圆锥曲线的位置关系.
【方法点晴】本题考查直线与抛物线的位置关系.阅读题目后明显发现，所有的点都是由直线和抛物线相交或者直线与直线相交所得.故第一步先联立，相当于得到的坐标，但是设而不求.根据直线平分，有，这样我们根据斜率的计算公式，代入点的坐标，就可以计算出的值.第二问主要利用三点共线来求解.
22、（1） （2）直线过定点，该定点的坐标为．
【解析】
（1）因为椭圆过点，所以 ①，
设为坐标原点，因为，所以，又，所以 ②，
将①②联立解得（负值舍去），所以椭圆的标准方程为．
（2）由（1）可知，设，．
将代入，消去可得，
则，，，
所以
，
所以，此时，所以，
此时直线的方程为，即，
令，可得，所以直线过定点，该定点的坐标为．
金牌
（块）
银牌
（块）
铜牌
（块）
奖牌
总数
24
5
11
12
28
25
16
22
12
54
26
16
22
12
50
27
28
16
15
59
28
32
17
14
63
29
51
21
28
100
30
38
27
23
88