2026届安徽省巢湖市汇文实验学校高三下学期联考数学试题含解析

这是一份2026届安徽省巢湖市汇文实验学校高三下学期联考数学试题含解析，共7页。试卷主要包含了设，则关于的方程所表示的曲线是，已知变量的几组取值如下表等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．若函数，在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．若实数x，y满足条件，目标函数，则z 的最大值为( )
A．B．1C．2D．0
4．设，则关于的方程所表示的曲线是（ ）
A．长轴在轴上的椭圆B．长轴在轴上的椭圆
C．实轴在轴上的双曲线D．实轴在轴上的双曲线
5．已知函数在上单调递增，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
6．已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若为线段中点且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A．B．3C．D．
7．一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（ ）
A．6 海里B．6海里C．8海里D．8海里
8．若实数满足的约束条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知变量的几组取值如下表：
若与线性相关，且，则实数（ ）
A．B．C．D．
10．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（ ）
A．B．C．D．
11．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（ ）
A．甲的数据分析素养高于乙
B．甲的数学建模素养优于数学抽象素养
C．乙的六大素养中逻辑推理最差
D．乙的六大素养整体平均水平优于甲
12．已知抛物线经过点，焦点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某高校组织学生辩论赛，六位评委为选手成绩打出分数的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则所剩数据的平均数与中位数的差为______.
14．从集合中随机取一个元素，记为，从集合中随机取一个元素，记为，则的概率为_______．
15．已知数列满足,且,则______.
16．已知多项式的各项系数之和为32，则展开式中含项的系数为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知抛物线:，点为抛物线的焦点，焦点到直线的距离为，焦点到抛物线的准线的距离为，且.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若轴上存在点，过点的直线与抛物线相交于、两点，且为定值，求点的坐标.
18．（12分）某单位准备购买三台设备，型号分别为已知这三台设备均使用同一种易耗品，提供设备的商家规定：可以在购买设备的同时购买该易耗品，每件易耗品的价格为100元，也可以在设备使用过程中，随时单独购买易耗品，每件易耗品的价格为200元.为了决策在购买设备时应购买的易耗品的件数.该单位调查了这三种型号的设备各60台，调査每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如下所示.
将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立.
（1）求该单位一个月中三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率；
（2）以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时应同时购买20件还是21件易耗品？
19．（12分）已知抛物线，焦点为，直线交抛物线于两点，交抛物线的准线于点，如图所示，当直线经过焦点时，点恰好是的中点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）点是原点，设直线的斜率分别是，当直线的纵截距为1时，有数列满足，设数列的前n项和为，已知存在正整数使得，求m的值.
20．（12分）在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若射线的极坐标方程为（）.设与相交于点，与相交于点，求.
21．（12分）某公园有一块边长为3百米的正三角形空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉.方案是：先建造一条直道将分成面积之比为的两部分（点D，E分别在边，上）；再取的中点M，建造直道（如图）.设，，（单位：百米）.
（1）分别求，关于x的函数关系式；
（2）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.
22．（10分）如图，在直角中，，，，点在线段上.
（1）若，求的长；
（2）点是线段上一点，，且，求的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
画出函数图像，根据图像知：，，，计算得到答案.
【详解】
，画出函数图像，如图所示：
根据图像知：，，故，且.
故.
故选：.
【点睛】
本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.
2、D
【解析】
利用导数求得在区间上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】
的定义域为，，
所以在上递减，在上递增，在处取得极小值也即是最小值，，，，，
所以在区间上的最大值为.
要使在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形，
则需恒成立，且，
也即，也即当、时，成立，
即，且，解得.所以的取值范围是.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.
3、C
【解析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值.
【详解】
若实数x，y满足条件，目标函数
如图：
当时函数取最大值为
故答案选C
【点睛】
求线性目标函数的最值:
当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，z值最小；
当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.
4、C
【解析】
根据条件，方程．即，结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型．
【详解】
解：∵k＞1，∴1+k>0，k2-1＞0，
方程，即，表示实轴在y轴上的双曲线，
故选C．
【点睛】
本题考查双曲线的标准方程的特征，依据条件把已知的曲线方程化为是关键．
5、B
【解析】
由,可得,结合在上单调递增,易得,即可求出的范围.
【详解】
由,可得,
时,,而,
又在上单调递增,且,
所以,则,即,故.
故选:B.
【点睛】
本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.
6、B
【解析】
设，代入双曲线方程相减可得到直线的斜率与中点坐标之间的关系，从而得到的等式，求出离心率．
【详解】
，
设，则，
两式相减得，
∴，．
故选：B．
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，解题方法是点差法，即出现双曲线的弦中点坐标时，可设弦两端点坐标代入双曲线方程相减后得出弦所在直线斜率与中点坐标之间的关系．
7、A
【解析】
先根据给的条件求出三角形ABC的三个内角，再结合AB可求，应用正弦定理即可求解.
【详解】
由题意可知：∠BAC＝70°﹣40°＝30°.∠ACD＝110°，∴∠ACB＝110°﹣65°＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣30°﹣45°＝105°.又AB＝24×0.5＝12.
在△ABC中，由正弦定理得，
即，∴.
故选：A.
【点睛】
本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解.属于中档题.
8、B
【解析】
根据所给不等式组，画出不等式表示的可行域，将目标函数化为直线方程，平移后即可确定取值范围.
【详解】
实数满足的约束条件，画出可行域如下图所示：
将线性目标函数化为，
则将平移，平移后结合图像可知，当经过原点时截距最小，；
当经过时，截距最大值，，
所以线性目标函数的取值范围为，
故选：B.
【点睛】
本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数取值范围的求法，属于基础题.
9、B
【解析】
求出，把坐标代入方程可求得．
【详解】
据题意，得，所以，所以．
故选：B．
【点睛】
本题考查线性回归直线方程，由性质线性回归直线一定过中心点可计算参数值．
10、C
【解析】
分情况讨论，由间接法得到“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开的事件个数，不考虑限制因素，总数有种，进而得到结果.
【详解】
当“数”位于第一位时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有种情况，由间接法得到满足条件的情况有
当“数”在第二位时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有种，
由间接法得到满足条件的情况有
共有：种情况，不考虑限制因素，总数有种，
故满足条件的事件的概率为：
故答案为：C.
【点睛】
解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
11、D
【解析】
根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项.
【详解】
对于A选项，甲的数据分析分，乙的数据分析分，甲低于乙，故A选项错误.
对于B选项，甲的建模素养分，乙的建模素养分，甲低于乙，故B选项错误.
对于C选项，乙的六大素养中，逻辑推理分，不是最差，故C选项错误.
对于D选项，甲的总得分分，乙的总得分分，所以乙的六大素养整体平均水平优于甲，故D选项正确.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查图表分析和数据处理，属于基础题.
12、A
【解析】
先求出，再求焦点坐标，最后求的斜率
【详解】
解：抛物线经过点
，，
，，
故选：A
【点睛】
考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
先根据茎叶图求出平均数和中位数，然后可得结果.
【详解】
剩下的四个数为83，85，87，95，且这四个数的平均数，这四个数的中位数为，则所剩数据的平均数与中位数的差为.
【点睛】
本题主要考查茎叶图的识别和统计量的计算，侧重考查数据分析和数学运算的核心素养.
14、
【解析】
先求出随机抽取a,b的所有事件数，再求出满足的事件数，根据古典概型公式求出结果.
【详解】
解：从集合中随机取一个元素，记为，从集合中随机取一个元素，记为，
则的事件数为9个，即为，，，
其中满足的有，，，共有8个，
故的概率为.
【点睛】
本题考查了古典概型的计算，解题的关键是准确列举出所有事件数.
15、
【解析】
数列满足知，数列以3为公比的等比数列，再由已知结合等比数列的性质求得的值即可.
【详解】
，
数列是以3为公比的等比数列，
又，
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等比数列定义，考查了对数的运算性质，考查了等比数列的通项公式，是中档题．
16、
【解析】
令可得各项系数和为，得出,根据第一个因式展开式的常数项与第二个因式的展开式含一次项的积与第一个因式展开式含x的一次项与第二个因式常数项的积的和即为展开式中含项，可得解.
【详解】
令，
则得，
解得，
所以展开式中含项为：，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了二项展开式的系数和，二项展开式特定项，赋值法，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】
（1）先分别表示出，然后根据求解出的值，则的标准方程可求；
（2）设出直线的方程并联立抛物线方程得到韦达定理形式，然后根据距离公式表示出并代入韦达定理形式，由此判断出为定值时的坐标.
【详解】
（1）由题意可得，焦点，，则
，，
∴解得.
抛物线的标准方程为
（2）设，设点，，显然直线的斜率不为0.
设直线的方程为
联立方程，整理可得
，，
∴，
∴
要使为定值，必有，解得，
∴为定值时，点的坐标为
【点睛】
本题考查抛物线方程的求解以及抛物线中的定值问题，难度一般.（1）处理直线与抛物线相交对应的定值问题，联立直线方程借助韦达定理形式是常用方法；（2）直线与圆锥曲线的问题中，直线方程的设法有时能很大程度上起到简化运算的作用。
18、（1）（2）应该购买21件易耗品
【解析】
（1）由统计表中数据可得型号分别为在一个月使用易耗品的件数为6,7,8时的概率,设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X,则,利用独立事件概率公式进而求解即可；
（2）由题可得X所有可能的取值为,即可求得对应的概率,再分别讨论该单位在购买设备时应同时购买20件易耗品和21件易耗品时总费用的可能取值及期望,即可分析求解.
【详解】
（1）由题中的表格可知
A型号的设备一个月使用易耗品的件数为6和7的频率均为；
B型号的设备一个月使用易耗品的件数为6,7,8的频率分别为；
C型号的设备一个月使用易耗品的件数为7和8的频率分别为；
设该单位一个月中三台设备使用易耗品的件数分别为,则
,,,
设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X,
则
而
,
,
故,
即该单位一个月中三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率为.
（2）以题意知,X所有可能的取值为
；
；
；
由（1）知,,
若该单位在购买设备的同时购买了20件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为元,则的所有可能取值为,
；
；
；
；
；
若该单位在肋买设备的同时购买了21件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为元,则的所有可能取值为,
；
；
；
；
,所以该单位在购买设备时应该购买21件易耗品
【点睛】
本题考查独立事件的概率,考查离散型随机变量的分布列和期望,考查数据处理能力.
19、（1）（2）
【解析】
(1) 设出直线的方程，再与抛物线联立方程组，进而求得点的坐标，结合弦长即可求得抛物线的方程；
(2) 设直线的方程，运用韦达定理可得，可得之间的关系，再运用进行裂项，可求得，解不等式求得的值.
【详解】
解：（1）设过抛物线焦点的直线方程为，
与抛物线方程联立得：，
设，
所以，
，
，
所以抛物线方程为
（2）设直线方程为，
，
，
，
，
，
由得.
【点睛】
本题考查了直线与抛物线的关系，考查了韦达定理和运用裂项法求数列的和，考查了运算能力，属于中档题.
20、（1）曲线的普通方程为；直线的直角坐标方程为（2）
【解析】
（1）利用消去参数，将曲线的参数方程化成普通方程，利用互化公式，
将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）根据（1）求出曲线的极坐标方程，分别联立射线与曲线以及射线与直线的极坐标方程，求出和，即可求出.
【详解】
解：（1）因为（为参数），所以消去参数，得，
所以曲线的普通方程为.
因为所以直线的直角坐标方程为.
（2）曲线的极坐标方程为.
设的极径分别为和，
将（）代入，解得，
将（）代入，解得.
故.
【点睛】
本题考查利用消参法将参数方程化成普通方程以及利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程，还考查极径的运用和两点间距离，属于中档题.
21、（1），.，.
（2）当百米时，两条直道的长度之和取得最小值百米.
【解析】
（1）由，可解得.方法一：再在中，利用余弦定理，可得关于x的函数关系式；在和中，利用余弦定理，可得关于x的函数关系式.方法二：在中，可得，则有，化简整理即得；同理，化简整理即得.（2）由（1）和基本不等式，计算即得.
【详解】
解：（1），是边长为3的等边三角形，又，
，.
由，得.
法1：在中，由余弦定理，得
.
故直道长度关于x的函数关系式为，.
在和中，由余弦定理，得
①
②
因为M为的中点，所以.
由①②，得，
所以，所以.
所以，直道长度关于x的函数关系式为
，.
法2：因为在中，，
所以.
所以，直道长度关于x的函数关系式为，.
在中，因为M为的中点，所以.
所以.
所以，直道长度关于x的函数关系式为，.
（2）由（1）得，两条直道的长度之和为
（当且仅当即时取“”）.
故当百米时，两条直道的长度之和取得最小值百米.
【点睛】
本题考查了余弦定理和基本不等式，第一问也可以利用三角形中的向量关系进行求解，属于中档题.
22、（1）3；（2）.
【解析】
（1）在中，利用正弦定理即可得到答案；
（2）由可得，在中，利用及余弦定理得，解方程组即可.
【详解】
（1）在中，已知，，，由正弦定理，
得，解得.
（2）因为，所以，解得.
在中，由余弦定理得，
，
即，
，
故.
【点睛】
本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的计算能力，是一道中档题.
1
2
3
4
7
每台设备一个月中使用的易耗品的件数
6
7
8
型号A
30
30
0
频数
型号B
20
30
10
型号C
0
45
15