2026届安徽省合肥市合肥一中、合肥六中高考适应性考试数学试卷含解析

这是一份2026届安徽省合肥市合肥一中、合肥六中高考适应性考试数学试卷含解析，共42页。试卷主要包含了已知向量，等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为，阴阳太极图的半径为，则每块八卦田的面积约为（ ）
A．B．
C．D．
2．若x，y满足约束条件则z=的取值范围为（ ）
A．[]B．[，3]C．[，2]D．[，2]
3．已知向量，（其中为实数），则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知整数满足，记点的坐标为，则点满足的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ）
A．B．C．D．
6．已知是等差数列的前项和，若，设，则数列的前项和取最大值时的值为( )
A．2020B．20l9C．2018D．2017
7．已知定义在上的可导函数满足，若是奇函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若,且 ，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．设函数的导函数，且满足，若在中，，则（ ）
A．B．C．D．
10．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（ ）
A．B．C．D．
11．若，则（ ）
A．B．C．D．
12．函数在上为增函数，则的值可以是( )
A．0B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在平面直角坐标系中，已知圆及点，设点是圆上的动点，在中，若的角平分线与相交于点，则的取值范围是_______.
14．若，则的展开式中含的项的系数为_______.
15．在的展开式中，各项系数之和为，则展开式中的常数项为__________________.
16．已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为和，则该圆锥的体积为________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）若函数，求的极值；
（2）证明：.
（参考数据： ）
18．（12分）图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.
19．（12分）记数列的前项和为，已知成等差数列.
（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求.
20．（12分）为了实现中华民族伟大复兴之梦，把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国，党和国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台.借此“东风”，某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案.为比较两种方案下产量的区别，该农场选取了40间大棚（每间一亩），分成两组，每组20间进行试点.第一组采用延长光照时间的方案，第二组采用降低夜间温度的方案.同时种植该蔬菜一季，得到各间大棚产量数据信息如下图：
（1）如果你是该农场的负责人，在只考虑亩产量的情况下，请根据图中的数据信息，对于下一季大棚蔬菜的种植，说出你的决策方案并说明理由；
（2）已知种植该蔬菜每年固定的成本为6千元/亩.若采用延长光照时间的方案，光照设备每年的成本为0.22千元/亩；若采用夜间降温的方案，降温设备的每年成本为0.2千元/亩.已知该农场共有大棚100间（每间1亩），农场种植的该蔬菜每年产出两次，且该蔬菜市场的收购均价为1千元/千斤.根据题中所给数据，用样本估计总体，请计算在两种不同的方案下，种植该蔬菜一年的平均利润；
（3）农场根据以往该蔬菜的种植经验，认为一间大棚亩产量超过5.25千斤为增产明显.在进行夜间降温试点的20间大棚中随机抽取3间，记增产明显的大棚间数为，求的分布列及期望.
21．（12分）某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利50元，未售出的产品，每盒亏损30元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示.该同学为这个开学季进了160盒该产品，以（单位：盒，）表示这个开学季内的市场需求量，（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润.
（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量的平均数和众数；
（2）将表示为的函数；
（3）以需求量的频率作为各需求量的概率，求开学季利润不少于4800元的概率.
22．（10分）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程是（为参数，常数），曲线的极坐标方程是.
（1）写出的普通方程及的直角坐标方程，并指出是什么曲线；
（2）若直线与曲线，均相切且相切于同一点，求直线的极坐标方程.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积，再计算出圆面积的，两面积作差即可求解.
【详解】
由图，正八边形分割成个等腰三角形，顶角为，
设三角形的腰为，
由正弦定理可得，解得，
所以三角形的面积为：
，
所以每块八卦田的面积约为：.
故选：B
【点睛】
本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式，需熟记定理与面积公式，属于基础题.
2、D
【解析】
由题意作出可行域，转化目标函数为连接点和可行域内的点的直线斜率的倒数，数形结合即可得解.
【详解】
由题意作出可行域，如图，
目标函数可表示连接点和可行域内的点的直线斜率的倒数，
由图可知，直线的斜率最小，直线的斜率最大，
由可得，由可得，
所以，，所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查了非线性规划的应用，属于基础题.
3、A
【解析】
结合向量垂直的坐标表示，将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.
【详解】
由，则，所以；而
当，则，解得或.所以
“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】
本小题考查平面向量的运算，向量垂直，充要条件等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.
4、D
【解析】
列出所有圆内的整数点共有37个，满足条件的有7个，相除得到概率.
【详解】
因为是整数，所以所有满足条件的点是位于圆（含边界）内的整数点，满足条件的整数点有
共37个，
满足的整数点有7个，则所求概率为.
故选：.
【点睛】
本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的应用能力.
5、D
【解析】
根据等差数列公式直接计算得到答案.
【详解】
依题意，，故，故，故，故选：D．
【点睛】
本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.
6、B
【解析】
根据题意计算，，，计算，，，得到答案.
【详解】
是等差数列的前项和，若，
故，，，，故，
当时，，，，
，
当时，，故前项和最大.
故选：.
【点睛】
本题考查了数列和的最值问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
7、A
【解析】
构造函数，根据已知条件判断出的单调性.根据是奇函数，求得的值，由此化简不等式求得不等式的解集.
【详解】
构造函数，依题意可知，所以在上递增.由于是奇函数，所以当时，，所以，所以.
由得，所以，故不等式的解集为.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
8、A
【解析】
分析：作出函数的图象，利用消元法转化为关于的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.
详解：作出函数的图象，如图所示，若，且，
则当时，得，即，
则满足，
则，即，则，
设，则，
当，解得，当，解得，
当时，函数取得最小值，
当时，；
当时，，
所以，即的取值范围是，故选A.
点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.
9、D
【解析】
根据的结构形式，设，求导，则，在上是增函数，再根据在中，，得到，，利用余弦函数的单调性，得到，再利用的单调性求解.
【详解】
设，
所以 ，
因为当时，，
即，
所以，在上是增函数，
在中，因为，所以，，
因为，且，
所以，
即，
所以，
即
故选：D
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
10、C
【解析】
利用诱导公式以及二倍角公式，将化简为关于的形式，结合终边所在的直线可知的值，从而可求的值.
【详解】
因为，且，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般.求解值的两种方法：（1）分别求解出的值，再求出结果；（2）将变形为，利用的值求出结果.
11、B
【解析】
由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.
【详解】
因为，由诱导公式得，所以 .
故选B
【点睛】
本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.
12、D
【解析】
依次将选项中的代入，结合正弦、余弦函数的图象即可得到答案.
【详解】
当时，在上不单调，故A不正确；
当时，在上单调递减，故B不正确；
当时，在上不单调，故C不正确；
当时，在上单调递增，故D正确.
故选：D
【点睛】
本题考查正弦、余弦函数的单调性，涉及到诱导公式的应用，是一道容易题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由角平分线成比例定理推理可得，进而设点表示向量构建方程组表示点P坐标，代入圆C方程即可表示动点Q的轨迹方程，再由将所求视为该圆上的点与原点间的距离，所以其最值为圆心到原点的距离加减半径.
【详解】
由题可构建如图所示的图形，因为AQ是的角平分线，由角平分线成比例定理可知,所以.
设点，点，即，
则，
所以.
又因为点是圆上的动点，
则，
故点Q的运功轨迹是以为圆心为半径的圆，
又即为该圆上的点与原点间的距离，
因为，所以
故答案为：
【点睛】
本题考查与圆有关的距离的最值问题，常常转化到圆心的距离加减半径，还考查了求动点的轨迹方程，属于中档题.
14、
【解析】
首先根据定积分的应用求出的值,进一步利用二项式的展开式的应用求出结果.
【详解】
，
根据二项式展开式通项：，
令，解得，
所以含的项的系数.
故答案为：
【点睛】
本题考查定积分，二项式的展开式的应用,主要考查学生的运算求解能力,属于基础题.
15、
【解析】
利用展开式各项系数之和求得的值，由此写出展开式的通项，令指数为零求得参数的值，代入通项计算即可得解.
【详解】
的展开式各项系数和为，得，
所以，的展开式通项为，
令，得，因此，展开式中的常数项为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查二项展开式中常数项的计算，涉及二项展开式中各项系数和的计算，考查计算能力，属于基础题.
16、
【解析】
依据圆锥的底面积和侧面积公式，求出底面半径和母线长，再根据勾股定理求出圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式求出体积。
【详解】
设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，所以有
解得，
故该圆锥的体积为。
【点睛】
本题主要考查圆锥的底面积、侧面积和体积公式的应用。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（1）见证明
【解析】
（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（1）问题转化为证ex﹣x1﹣xlnx﹣1＞0，根据xlnx≤x（x﹣1），问题转化为只需证明当x＞0时，ex﹣1x1+x﹣1＞0恒成立，令k（x）＝ex﹣1x1+x﹣1，（x≥0），根据函数的单调性证明即可．
【详解】
（1），，当，，
当，，在上递增，在上递减，在取得极大值，极大值为，无极大值.
（1）要证f（x）+1＜ex﹣x1．
即证ex﹣x1﹣xlnx﹣1＞0，
先证明lnx≤x﹣1，取h（x）＝lnx﹣x+1，则h′（x）＝，
易知h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
故h（x）≤h（1）＝0，即lnx≤x﹣1，当且仅当x＝1时取“＝”，
故xlnx≤x（x﹣1），ex﹣x1﹣xlnx≥ex﹣1x1+x﹣1，
故只需证明当x＞0时，ex﹣1x1+x﹣1＞0恒成立，
令k（x）＝ex﹣1x1+x﹣1，（x≥0），则k′（x）＝ex﹣4x+1，
令F（x）＝k′（x），则F′（x）＝ex﹣4，令F′（x）＝0，解得：x＝1ln1，
∵F′（x）递增，故x∈（0，1ln1]时，F′（x）≤0，F（x）递减，即k′（x）递减，
x∈（1ln1，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，即k′（x）递增，
且k′（1ln1）＝5﹣8ln1＜0，k′（0）＝1＞0，k′（1）＝e1﹣8+1＞0，
由零点存在定理，可知∃x1∈（0，1ln1），∃x1∈（1ln1，1），使得k′（x1）＝k′（x1）＝0，
故0＜x＜x1或x＞x1时，k′（x）＞0，k（x）递增，当x1＜x＜x1时，k′（x）＜0，k（x）递减，故k（x）的最小值是k（0）＝0或k（x1），由k′（x1）＝0，得＝4x1﹣1，
k（x1）＝﹣1+x1﹣1＝﹣（x1﹣1）（1x1﹣1），∵x1∈（1ln1，1），∴k（x1）＞0，
故x＞0时，k（x）＞0，原不等式成立．
【点睛】
本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，属于中档题．
18、 (1)见详解；(2) .
【解析】
(1)因为折纸和粘合不改变矩形，和菱形内部的夹角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得证.因为是平面垂线，所以易证.(2)在图中找到对应的平面角，再求此平面角即可.于是考虑关于的垂线，发现此垂足与的连线也垂直于.按照此思路即证.
【详解】
(1)证：，，又因为和粘在一起.
，A，C，G，D四点共面.
又.
平面BCGE，平面ABC，平面ABC平面BCGE，得证.
(2)过B作延长线于H，连结AH，因为AB平面BCGE，所以
而又，故平面，所以.又因为所以是二面角的平面角，而在中，又因为故，所以.
而在中,，即二面角的度数为.
【点睛】
很新颖的立体几何考题．首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的．再者粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法．最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力．
19、（1）证明见解析，；（2）
【解析】
（1）由成等差数列，可得到，再结合公式，消去，得到，再给等式两边同时加1，整理可证明结果；
（2）将（1）得到的代入中化简后再裂项，然后求其前项和.
【详解】
（1）由成等差数列，则，
即，①
当时，，
又，②
由①②可得：，
即，
时，.
所以是以3为首项，3为公比的等比数列，
，所以.
（2），
所以.
【点睛】
此题考查了数列递推式，等比数列的证明，裂列相消求和，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.
20、（1）见解析；（2）（i）该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；（ii）若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元；（3）分布列见解析，.
【解析】
（1）估计第一组数据平均数和第二组数据平均数来选择.
（2）对于两种方法，先计算出每亩平均产量，再算农场一年的利润.
（3）估计频率分布直方图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，的可能取值有0，1，2，3，再算出相应的概率，写出分布列，再求期望.
【详解】
（1）第一组数据平均数为千斤/亩，
第二组数据平均数为千斤/亩，
可知第一组方法较好，所以采用延长光照时间的方法；（
（2）（i）对于采用延长光照时间的方法：
每亩平均产量为千斤.
∴该农场一年的利润为千元.
（ii）对于采用降低夜间温度的方法：
每亩平均产量为千斤，
∴该农场一年的利润为千元.
因此，该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元.
（3）由图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，
的可能取值有0，1，2，3，
；
；
；
.
所以的分布列为
所以.
【点睛】
本题主要考查样本估计总体和离散型随机变量的分布列，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.
21、（1），众数为150；（2） ；（3）
【解析】
（1）由频率直方图分别求出各组距内的频率，由此能求出这个开学季内市场需求量的众数和平均数；（2）由已知条件推导出当时，，当时，，由此能将表示为的函数；（3）利用频率分布直方图能求出利润不少于4800元的概率．
【详解】
（1）由直方图可估计需求量的众数为150 ，
由直方图可知的频率为：
由直方图可知的频率为：
由直方图可知的频率为：
由直方图可知的频率为：
由直方图可知的频率为：
∴估计需求量的平均数为：
（2）当时，
当时，
∴
（3）由（2）知 当时，
当时，得
∴开学季利润不少于4800元的需求量为
由频率分布直方图可所求概率
【点睛】
本题考查频率分布直方图的应用，考查函数解析式的求法，考查概率的估计，是中档题，解题时要注意频率分布直方图的合理运用．
22、（1），，表示以为圆心为半径的圆；为抛物线；（2）
【解析】
（1）消去参数的直角坐标方程，利用，即得的直角坐标方程；
（2）由直线与抛物线相切，求导可得切线斜率，再由直线与圆相切，故切线与圆心与切点连线垂直，可求解得到切点坐标，即得解.
【详解】
（1）消去参数的直角坐标方程为：
.
的极坐标方程.
∵，
.
当时表示以为圆心为半径的圆；为抛物线.
（2）设切点为，
由于，则切线斜率为，
由于直线与圆相切，故切线与圆心与切点连线垂直，
故有
，
直线的直角坐标方程为，
所以的极坐标方程为.
【点睛】
本题考查了极坐标，参数方程综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
0
1
2
3