2026届安徽省阜阳一中高考数学四模试卷含解析

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1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．复数满足，则复数等于（）
A．B．C．2D．-2
3．已知复数满足，则（ ）
A．B．2C．4D．3
4．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB的面积为，则p=（ ）．
A．1B．C．2D．3
5．已知复数z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，则实数a＝（ ）
A．B．C．2D．﹣2
6．是正四面体的面内一动点，为棱中点，记与平面成角为定值，若点的轨迹为一段抛物线，则（ ）
A．B．C．D．
7．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为，设地球半径为，该卫星近地点离地面的距离为，则该卫星远地点离地面的距离为（ ）
A．B．
C．D．
9．在中，分别为所对的边，若函数
有极值点，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知数列为等差数列，为其前项和，，则（ ）
A．7B．14C．28D．84
11．如图，正三棱柱各条棱的长度均相等，为的中点，分别是线段和线段的动点（含端点），且满足，当运动时，下列结论中不正确的是
A．在内总存在与平面平行的线段
B．平面平面
C．三棱锥的体积为定值
D．可能为直角三角形
12．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在，内的学生人数为（ ）
A．800B．1000C．1200D．1600
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知实数，且由的最大值是_________
14．在三棱锥中，已知，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为______.
15．在的展开式中，常数项为________.(用数字作答)
16．已知直角坐标系中起点为坐标原点的向量满足，且，，，存在，对于任意的实数，不等式，则实数的取值范围是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜（FAST）是目前世界上最大单口径射电望远镜.使用三年来，已发现132颗优质的脉冲星候选体，其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星，脉冲星是上世纪60年代天文学的四大发现之一，脉冲星就是正在快速自转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间（脉冲星的自转周期）是-定的，最小小到0.0014秒，最长的也不过11.765735秒.某-天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期，绘制了如图的频率分布直方图.
（1）在93颗新发现的脉冲星中，自转周期在2至10秒的大约有多少颗？
（2）根据频率分布直方图，求新发现脉冲星自转周期的平均值.
18．（12分）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.
19．（12分）在极坐标系中，已知曲线，．
（1）求曲线、的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；
（2）若曲线、交于、两点，求两交点间的距离．
20．（12分）如图，⊙的直径的延长线与弦的延长线相交于点，为⊙上一点，，交于点．求证：~．
21．（12分）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）设的最小值为，正数，满足，证明：.
22．（10分）团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式，不少商家同时加入多家团购网.现恰有三个团购网站在市开展了团购业务，市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如下图所示.
（1）从所调查的50家商家中任选两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率；
（2）从所调查的50家商家中任取两家，用表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望；
（3）将频率视为概率，现从市随机抽取3家已加入团购网站的商家，记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为，试求事件“”的概率.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
试题分析：由题意知，当时，由，当且仅当时，即等号是成立，所以函数的最小值为，当时，为单调递增函数，所以，又因为，使得，即在的最小值不小于在上的最小值，即，解得，故选C．
考点：函数的综合问题．
【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函数的单调性及其应用、全称命题与存在命题的应用等知识点的综合考查，试题思维量大，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，其中解答中转化为在的最小值不小于在上的最小值是解答的关键．
2、B
【解析】
通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可.
【详解】
复数满足，
∴，
故选B.
【点睛】
本题主要考查复数的基本运算，复数模长的概念，属于基础题．
3、A
【解析】
由复数除法求出，再由模的定义计算出模．
【详解】
．
故选：A．
【点睛】
本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题．
4、C
【解析】
试题分析：抛物线的准线为，双曲线的离心率为2，则，
，渐近线方程为，求出交点，，
，则；选C
考点：1.双曲线的渐近线和离心率；2.抛物线的准线方程；
5、D
【解析】
化简z＝（1+2i）（1+ai）=，再根据z∈R求解.
【详解】
因为z＝（1+2i）（1+ai）=，
又因为z∈R，
所以，
解得a＝-2.
故选：D
【点睛】
本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
6、B
【解析】
设正四面体的棱长为，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面的法向量，设的坐标，求出向量，求出线面所成角的正弦值，再由角的范围，结合为定值，得出为定值，且的轨迹为一段抛物线，所以求出坐标的关系，进而求出正切值．
【详解】
由题意设四面体的棱长为，设为的中点，
以为坐标原点，以为轴，以为轴，过垂直于面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则可得，，取的三等分点、如图，
则，，，，
所以、、、、，
由题意设，，
和都是等边三角形，为的中点，，，
，平面，为平面的一个法向量，
因为与平面所成角为定值，则，
由题意可得，
因为的轨迹为一段抛物线且为定值，则也为定值，
，可得，此时，则，.
故选：B.
【点睛】
考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题．
7、C
【解析】
分情况讨论，由间接法得到“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开的事件个数，不考虑限制因素，总数有种，进而得到结果.
【详解】
当“数”位于第一位时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有种情况，由间接法得到满足条件的情况有
当“数”在第二位时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有种，
由间接法得到满足条件的情况有
共有：种情况，不考虑限制因素，总数有种，
故满足条件的事件的概率为：
故答案为：C.
【点睛】
解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
8、A
【解析】
由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离.
【详解】
椭圆的离心率：，（ c为半焦距; a为长半轴），
设卫星近地点，远地点离地面距离分别为r，n，如图：
则
所以,,
故选：A
【点睛】
本题主要考查了椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法,是解题的关键，属于中档题.
9、D
【解析】
试题分析：由已知可得有两个不等实根.
考点：1、余弦定理；2、函数的极值.
【方法点晴】本题考查余弦定理，函数的极值，涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用转化化归思想将原命题转化为有两个不等实根，从而可得.
10、D
【解析】
利用等差数列的通项公式，可求解得到，利用求和公式和等差中项的性质，即得解
【详解】
，
解得．
．
故选：D
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
11、D
【解析】
A项用平行于平面ABC的平面与平面MDN相交，则交线与平面ABC平行；
B项利用线面垂直的判定定理；
C项三棱锥与三棱锥体积相等，三棱锥的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;
D项用反证法说明三角形DMN不可能是直角三角形.
【详解】
A项，用平行于平面ABC的平面截平面MND，则交线平行于平面ABC，故正确；
B项，如图：
当M、N分别在BB1、CC1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面，故正确；
C项,当M、N分别在BB1、CC1上运动时,△A1DM的面积不变,N到平面A1DM的距离不变,所以棱锥N-A1DM的体积不变,即三棱锥A1-DMN的体积为定值,故正确；
D项,若△DMN为直角三角形,则必是以∠MDN为直角的直角三角形,但MN的最大值为BC1,而此时DM,DN的长大于BB1,所以△DMN不可能为直角三角形,故错误.
故选D
【点睛】
本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题.
12、B
【解析】
由图可列方程算得a，然后求出成绩在内的频率，最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在内的学生人数.
【详解】
由频率和为1，得，解得，
所以成绩在内的频率，
所以成绩在内的学生人数.
故选：B
【点睛】
本题主要考查频率直方图的应用，属基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
将其转化为几何意义，然后根据最值的条件求出最大值
【详解】
由化简得，又实数，图形为圆，如图:
，可得，
则
由几何意义得，则，为求最大值则当过点或点时取最小值，可得
所以的最大值是
【点睛】
本题考查了二元最值问题，将其转化为几何意义，得到圆的方程及斜率问题，对要求的二元二次表达式进行化简，然后求出最值问题，本题有一定难度。
14、
【解析】
取的中点，设等边三角形的中心为，连接.根据等边三角形的性质可求得，， 由等腰直角三角形的性质，得，根据面面垂直的性质得平面，，由勾股定理求得，可得为三棱锥外接球的球心，根据球体的表面积公式可求得此外接球的表面积.
【详解】
在等边三角形中，取的中点，设等边三角形的中心为，
连接.由，得，，
由已知可得是以为斜边的等腰直角三角形，,
又由已知可得平面平面，平面，，
，所以，为三棱锥外接球的球心，外接球半径，
三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：
【点睛】
本题考查三棱锥的外接球的表面积，关键在于根据三棱锥的面的关系、棱的关系和长度求得外接球的球心的位置，球的半径，属于中档题.
15、
【解析】
的展开式的通项为，取计算得到答案.
【详解】
的展开式的通项为：，取得到常数项.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.
16、
【解析】
由题意可设，，，由向量的坐标运算，以及恒成立思想可设，的最小值即为点，到直线的距离，求得，可得不大于．
【详解】
解：，且，
可设，，
，，
可得，
可得的终点均在直线上，
由于为任意实数，可得时，的最小值即为点到直线的距离，
可得，
对于任意的实数，不等式，可得，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查向量的模的求法，以及两点的距离的运用，考查直线方程的运用，以及点到直线的距离，考查运算能力，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）79颗；（2）5.5秒.
【解析】
（1）利用各小矩形的面积和为1可得，进而得到脉冲星自转周期在2至10秒的频率，从而得到频数；
（2）平均值的估计值为各小矩形组中值与频率的乘积的和得到.
【详解】
（1）第一到第六组的频率依次为
0.1，0.2，0.3，0.2，，0.05，其和为1
所以，，
所以，自转周期在2至10秒的大约有（颗）.
（2）新发现的脉冲星自转周期平均值为
（秒）.
故新发现的脉冲星自转周期平均值为5.5秒.
【点睛】
本题考查频率分布直方图的应用，涉及到平均数的估计值等知识，是一道容易题.
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）将函数的解析式表示为分段函数，然后分、、三段求解不等式，综合可得出不等式的解集；
（2）求出函数的最大值，由题意得出，解此不等式即可得出实数的取值范围.
【详解】
.
（1）当时，由，解得，此时；
当时，由，解得，此时；
当时，由，解得，此时.
综上所述，不等式的解集；
（2）当时，函数单调递增，则；
当时，函数单调递减，则，即；
当时，函数单调递减，则.
综上所述，函数的最大值为，
由题知，，解得.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了绝对值不等式中的参数问题，考查分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
19、（1）表示一条直线，是圆心为，半径为的圆；（2）.
【解析】
（1）直接利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可将曲线的方程化为直角坐标方程，进而可判断出曲线的形状，在曲线的方程两边同时乘以得，由可将曲线的方程化为直角坐标方程，由此可判断出曲线的形状；
（2）由直线过圆的圆心，可得出为圆的一条直径，进而可得出.
【详解】
（1），则曲线的普通方程为，
曲线表示一条直线；
由，得，则曲线的直角坐标方程为，即．
所以，曲线是圆心为，半径为的圆；
（2）由（1）知，点在直线上，直线过圆的圆心．
因此，是圆的直径，．
【点睛】
本题考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算，考查计算能力，属于基础题.
20、证明见解析
【解析】
根据相似三角形的判定定理,已知两个三角形有公共角,题中未给出线段比例关系,故可根据判定定理一需找到另外一组相等角,结合平面几何的知识证得即可.
【详解】
证明：∵，所以，
又因为，
所以．
在与中，，，
故~.
【点睛】
本题考查平面几何中同弧所对的圆心角与圆周角的关系、相似三角形的判定定理;考查逻辑推理能力和数形结合思想;分析图形，找出角与角之间的关系是证明本题的关键;属于基础题.
21、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.
（2）利用绝对值三角不等式求得的最小值，利用分析法，结合基本不等式，证得不等式成立.
【详解】
（1），
不等式，即或或，
即有或或，
所以所求不等式的解集为.
（2），，
因为，，
所以要证，只需证，
即证，
因为，所以只要证，
即证，
即证，因为，所以只需证，
因为，所以成立，
所以.
【点睛】
本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查分析法证明不等式，考查基本不等式的运用，属于中档题.
22、（1）;（2）从而的分布列为
;（3）.
【解析】
（1）运用概率的计算公式求概率分布，再运用数学期望公式进行求解；（2）借助题设条件运用贝努力公式进行分析求解：
（1）记所选取额两家商家加入团购网站的数量相等为事件，则
，所以他们加入团购网站的数量不相等的概率为.
（2）由题，知的可能取值分别为0，1，2
，
，
，
从而的分布列为
.
（3）所调查的50家商家中加入了两个团购网站的商家有25家，将频率视为概率，则从市中任取一家加入团购网站的商家，他同时加入了两个团购网站的概率为，所以，所以事件“”的概率为
.
0
1
2
0
1
2