广东省梅州市2026年高考冲刺数学模拟试题（含答案解析）

这是一份广东省梅州市2026年高考冲刺数学模拟试题（含答案解析），共3页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知为等比数列，，，则，已知函，，则的最小值为，已知集合A，B=,则A∩B=等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．己知抛物线的焦点为，准线为，点分别在抛物线上，且，直线交于点，，垂足为，若的面积为，则到的距离为（ ）
A．B．C．8D．6
2．若函数（）的图象过点，则（ ）
A．函数的值域是B．点是的一个对称中心
C．函数的最小正周期是D．直线是的一条对称轴
3．是定义在上的增函数，且满足：的导函数存在，且，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
141 432 341 342 234 142 243 331 112 322
342 241 244 431 233 214 344 142 134 412
由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知为等比数列，，，则（ ）
A．9B．－9C．D．
6．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
8．已知函，，则的最小值为（ ）
A．B．1C．0D．
9．已知集合A，B=,则A∩B=
A．B．C．D．
10．从抛物线上一点 (点在轴上方)引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
11．执行下面的程序框图，如果输入，，则计算机输出的数是（ ）
A．B．C．D．
12．如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知等边三角形的边长为1．,点、分别为线段、上的动点,则取值的集合为__________．
14．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则________．
15．已知函数是偶函数，直线与函数的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D．若AB＝BC，则实数t的值为_________．
16．某校为了解家长对学校食堂的满意情况，分别从高一、高二年级随机抽取了20位家长的满意度评分，其频数分布表如下：
根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级：
假设两个年级家长的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从高一、高二年级各随机抽取1名家长，记事件：“高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级”，则事件发生的概率为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数.以下茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：
若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”.
（1）从这20人中任取3人，求恰有1人成绩“优秀”的概率；
（2）根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图解决下面的问题.
①估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
②若从所有员工中任选3人，记表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，求的分布列和数学期望.
18．（12分）在等比数列中，已知，.设数列的前n项和为，且，（，）.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：数列是等差数列；
（3）是否存在等差数列，使得对任意，都有？若存在，求出所有符合题意的等差数列；若不存在，请说明理由.
19．（12分）已知在等比数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列前项的和.
20．（12分）已知数列{an}的各项均为正，Sn为数列{an}的前n项和，an2+2an＝4Sn+1．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn，求数列{bn}的前n项和．
21．（12分）已知向量， .
（1）求的最小正周期；
（2）若的内角的对边分别为，且，求的面积.
22．（10分）如图中，为的中点，，，.
（1）求边的长；
（2）点在边上，若是的角平分线，求的面积.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
作，垂足为，过点N作，垂足为G，设，则，结合图形可得，，从而可求出，进而可求得，，由的面积即可求出，再结合为线段的中点，即可求出到的距离．
【详解】
如图所示，
作，垂足为，设，由，得，则，.
过点N作，垂足为G，则，，
所以在中，，，所以，
所以，在中，，所以，
所以，，
所以 ．解得，
因为，所以为线段的中点，
所以F到l的距离为．
故选：D
本题主要考查抛物线的几何性质及平面几何的有关知识，属于中档题．
2．A
【解析】
根据函数的图像过点，求出，可得，再利用余弦函数的图像与性质，得出结论.
【详解】
由函数（）的图象过点，
可得，即，
，，
故，
对于A，由，则，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，当时，，故D错误；
故选：A
本题主要考查了二倍角的余弦公式、三角函数的图像与性质，需熟记性质与公式，属于基础题.
3．D
【解析】
根据是定义在上的增函数及有意义可得，构建新函数，利用导数可得为上的增函数，从而可得正确的选项.
【详解】
因为是定义在上的增函数，故.
又有意义，故，故，所以.
令，则，
故在上为增函数，所以即，
整理得到.
故选：D.
本题考查导数在函数单调性中的应用，一般地，数的大小比较，可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系构建新函数，本题属于中档题.
4．A
【解析】
由题意找出满足恰好第三次就停止摸球的情况，用满足恰好第三次就停止摸球的情况数比20即可得解.
【详解】
由题意可知当1，2同时出现时即停止摸球，则满足恰好第三次就停止摸球的情况共有五种：142，112，241，142，412.
则恰好第三次就停止摸球的概率为.
故选：A.
本题考查了简单随机抽样中随机数的应用和古典概型概率的计算，属于基础题.
5．C
【解析】
根据等比数列的下标和性质可求出,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出.
【详解】
∵,∴,又,可解得或
设等比数列的公比为,则
当时,, ∴；
当时, ,∴.
故选：C．
本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.
6．C
【解析】
将函数解析式化简，并求得，根据当时可得的值域；由函数在上单调递减可得的值域，结合存在性成立问题满足的集合关系，即可求得的取值范围.
【详解】
依题意
，
则，
当时，，故函数在上单调递增，
当时，；
而函数在上单调递减，
故，
则只需，
故，解得，
故实数的取值范围为.
故选：C.
本题考查了导数在判断函数单调性中的应用，恒成立与存在性成立问题的综合应用，属于中档题.
7．B
【解析】
由题中垂直关系，可得渐近线的方程，结合，构造齐次关系即得解
【详解】
双曲线的一条渐近线与直线垂直．
∴双曲线的渐近线方程为．
，得．
则离心率．
故选：B
本题考查了双曲线的渐近线和离心率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
8．B
【解析】
，利用整体换元法求最小值.
【详解】
由已知，
又，，故当，即时，.
故选：B.
本题考查整体换元法求正弦型函数的最值，涉及到二倍角公式的应用，是一道中档题.
9．A
【解析】
先解A、B集合，再取交集。
【详解】
,所以B集合与A集合的交集为，故选A
一般地，把不等式组放在数轴中得出解集。
10．A
【解析】
根据抛物线的性质求出点坐标和焦点坐标，进而求出点的坐标，代入斜率公式即可求解.
【详解】
设点的坐标为，
由题意知，焦点,准线方程，
所以，解得，
把点代入抛物线方程可得，
，因为，所以，
所以点坐标为，
代入斜率公式可得，.
故选：A
本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力；属于基础题.
11．B
【解析】
先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可.
【详解】
本程序框图的功能是计算，中的最大公约数，所以，
，，故当输入，，则计算机输出的数
是57.
故选：B.
本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题.
12．D
【解析】
先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离，再加上侧面三角形的高，即可求解.
【详解】
设四个支点所在球的小圆的圆心为，球心为，
由题意，球的体积为，即可得球的半径为1，
又由边长为的正方形硬纸，可得圆的半径为，
利用球的性质可得，
又由到底面的距离即为侧面三角形的高，其中高为，
所以球心到底面的距离为.
故选：D.
本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的性质的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据题意建立平面直角坐标系,设三角形各点的坐标,依题意求出,,,的表达式,再进行数量积的运算,最后求和即可得出结果.
【详解】
解: 以的中点为坐标原点,所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系,如图所示,
则,,,,
则,,,
设, ,
,
即点的坐标为,
则,,,
所以
故答案为:
本题考查平面向量的坐标表示和线性运算,以及平面向量基本定理和数量积的运算,是中档题.
14．
【解析】
由题意可知：，且，从而可得值．
【详解】
由题意可知：
∴，即,
∴
故答案为：
本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．
15．
【解析】
由是偶函数可得时恒有，根据该恒等式即可求得，，的值，从而得到，令，可解得，，三点的横坐标，根据可列关于的方程，解出即可．
【详解】
解：因为是偶函数，所以时恒有，即，
所以，
所以，解得，，；
所以；
由，即，解得；
故，．
由，即，解得．
故，．
因为，所以，即，解得，
故答案为：．
本题考查函数奇偶性的性质及二次函数的图象、性质，考查学生的计算能力，属中档题．
16．0.42
【解析】
高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级有三种情况，分别求出三种情况的概率，再利用加法公式即可.
【详解】
由已知，高一家长满意等级为不满意的概率为，满意的概率为，非常满意的概率为，
高二家长满意等级为不满意的概率为，满意的概率为，非常满意的概率为，
高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级有三种情况：
1.高一家长满意，高二家长不满意，其概率为；
2.高一家长非常满意，高二家长不满意，其概率为；
3.高一家长非常满意，高二家长满意，其概率为.
由加法公式，知事件发生的概率为.
故答案为：
本题考查独立事件的概率，涉及到概率的加法公式，是一道中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）①82，②分布列见解析，
【解析】
（1）从20人中任取3人共有种结果，恰有1人成绩“优秀”共有种结果，利用古典概型的概率计算公式计算即可；
（2）①平均数的估计值为各小矩形的组中值与其面积乘积的和；②要注意服从的是二项分布，不是超几何分布，利用二项分布的分布列及期望公式求解即可.
【详解】
（1）设从20人中任取3人恰有1人成绩“优秀”为事件，
则，所以，恰有1人“优秀”的概率为.
（2）
①，
估计所有员工的平均分为82
②的可能取值为0、1、2、3，随机选取1人是“优秀”的概率为，
∴；
；
；
；
∴的分布列为
∵，∴数学期望.
本题考查古典概型的概率计算以及二项分布期望的问题，涉及到频率分布直方图、平均数的估计值等知识，是一道容易题.
18．（1）（2）见解析（3）存在唯一的等差数列，其通项公式为，满足题设
【解析】
（1）由，可得公比，即得；（2）由（1）和可得数列的递推公式，即可知结果为常数，即得证；（3）由（2）可得数列的通项公式，，设出等差数列，再根据不等关系来算出的首项和公差即可.
【详解】
（1）设等比数列的公比为q，因为，，所以，解得.
所以数列的通项公式为：.
（2）由（1）得，当，时，可得①，
②
②①得，，
则有，即，，.
因为，由①得，，所以，
所以，.
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.
（3）由（2）得，所以，.
假设存在等差数列，其通项，
使得对任意，都有，
即对任意，都有.③
首先证明满足③的.若不然，，则，或.
（i）若，则当，时，，
这与矛盾.
（ii）若，则当，时，.
而，，所以.
故，这与矛盾.所以.
其次证明：当时，.
因为，所以在上单调递增，
所以，当时，.
所以当，时，.
再次证明.
（iii）若时，则当，，，，这与③矛盾.
（iv）若时，同（i）可得矛盾.所以.
当时，因为，，
所以对任意，都有.所以，.
综上，存在唯一的等差数列，其通项公式为，满足题设.
本题考查求等比数列通项公式，证明等差数列，以及数列中的探索性问题，是一道数列综合题，考查学生的分析，推理能力.
19．（1）（2）
【解析】
（1）由基本量法，求出公比后可得通项公式；
（2）求出，用裂项相消法求和．
【详解】
解：（1）设等比数列的公比为
又因为，所以
解得（舍）或
所以，即
（2）据（1）求解知，，
所以
所以
本题考查求等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和．解题方法是基本量法．基本量法是解决等差数列和等比数列的基本方法，务必掌握．
20．（1）an＝2n+1；（2）2．
【解析】
（1）根据题意求出首项，再由（an+12+2an+1）﹣（an2+2an）＝4an+1，求得该数列为等差数列即可求得通项公式；
（2）利用错位相减法进行数列求和.
【详解】
（1）∵an2+2an＝4Sn+1，
∴a12+2a1＝4S1+1，即，
解得：a1＝1或a1＝﹣1（舍），
又∵an+12+2an+1＝4Sn+1+1，
∴（an+12+2an+1）﹣（an2+2an）＝4an+1，
整理得：（an+1﹣an）（an+1+an）＝2（an+1+an），
又∵数列{an}的各项均为正，
∴an+1﹣an＝2，
∴数列{an}是首项为1、公差为2的等差数列，
∴数列{an}的通项公式an＝1+2（n﹣1）＝2n+1；
（2）由（1）可知bn，
记数列{bn}的前n项和为Tn，则
Tn＝1•5•（2n+1）•，
Tn＝1•5••…+（2n﹣1）•（2n+1）•，
错位相减得：Tn＝1+2（•）﹣（2n+1）•
＝1+2
，
∴Tn（）＝2．
此题考查求等差数列的基本量，根据递推关系判定等差数列，根据错位相减进行数列求和，关键在于熟记方法准确计算.
21．（1）；（2）或
【解析】
（1）利用平面向量数量积的坐标运算可得，利用正弦函数的周期性即可求解；（2）由（1）可求，结合范围，可求的值，由余弦定理可求的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】
（1）
∴最小正周期 .
（2）由（1）知， ∴
∴， 又
∴或. 解得或
当时，由余弦定理得
即， 解得.
此时.
当时，由余弦定理得.
即，解得.
此时.
本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算、正弦函数的周期性，考查余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于基础题．
22．（1）10；（2）.
【解析】
（1）由题意可得cs∠ADB＝﹣cs∠ADC，由已知利用余弦定理可得：9+BD2﹣52+9+BD2﹣16＝0，进而解得BC的值．（2）由（1）可知△ADC为直角三角形，可求S△ADC6，S△ABC＝2S△ADC＝12，利用角平分线的性质可得，根据S△ABC＝S△BCE+S△ACE可求S△BCE的值．
【详解】
（1）因为在边上，所以，
在和中由余弦定理，得，
因为，，，，
所以，所以，.
所以边的长为10.
（2）由（1）知为直角三角形，所以，.
因为是的角平分线，
所以.
所以，所以.
即的面积为.
本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，角平分线的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．
满意度评分分组
合计
高一
1
3
6
6
4
20
高二
2
6
5
5
2
20
满意度评分
评分70分
70评分90
评分90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
组别
分组
频数
频率
1
2
3
4
组别
分组
频数
频率
1
2
0.01
2
6
0.03
3
8
0.04
4
4
0.02
0
1
2
3