2026年梅州市高三压轴卷数学试卷（含答案解析）

这是一份2026年梅州市高三压轴卷数学试卷（含答案解析），共30页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，在中，，，，则在方向上的投影是，设是虚数单位，，，则等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在直角梯形中，，，，，点为上一点，且，当的值最大时，( )
A．B．2C．D．
2．已知平面向量满足，且，则所夹的锐角为（ ）
A．B．C．D．0
3．中，，为的中点，，，则（ ）
A．B．C．D．2
4．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是
A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点成中心对称
C．函数在单调递增
D．函数的图象向右平移后关于原点成中心对称
5．已知平面平面，且是正方形，在正方形内部有一点，满足与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．16C．D．
6．在中，，，，则在方向上的投影是（ ）
A．4B．3C．-4D．-3
7．在边长为的菱形中，，沿对角线折成二面角为的四面体（如图），则此四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．
C．D．
8．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的( )
A．9B．31C．15D．63
9．设是虚数单位，，，则（ ）
A．B．C．1D．2
10．已知函数，若,且 ，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
11．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则（ ）
A．170B．10C．172D．12
12．如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，、分别是、的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A．，B．存在点，使得平面平面
C．平面D．三棱锥的体积为定值
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列递增的等比数列，若，，则______.
14．若向量与向量垂直，则______.
15．已知，满足不等式组，则的取值范围为________．
16．春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派2名医生，6名护士到湖北、两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3名护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共有__________种选派方法.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．
（1）求图中的值；
（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关？
（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望．
（参考公式：，其中）
18．（12分）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出曲线的极坐标方程；
（2）点是曲线上的一点，试判断点与曲线的位置关系．
19．（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为，，为其右焦点，，且该椭圆的离心率为；
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点作斜率为的直线交椭圆于轴上方的点，交直线于点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与直线交于点．若，求取值范围．
20．（12分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），直线经过点且倾斜角为.
（1）求曲线的极坐标方程和直线的参数方程；
（2）已知直线与曲线交于，满足为的中点，求.
21．（12分）已知函数.
（Ⅰ）已知是的一个极值点，求曲线在处的切线方程
（Ⅱ）讨论关于的方程根的个数.
22．（10分）在平面直角坐标系中，已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设点的极坐标为，直线与曲线的交点为，求的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
由题，可求出，所以，根据共线定理，设，利用向量三角形法则求出，结合题给，得出，进而得出，最后利用二次函数求出的最大值，即可求出.
【详解】
由题意，直角梯形中，，，，，
可求得，所以·
∵点在线段上， 设 ，
则
，
即，
又因为
所以，
所以，
当时，等号成立.
所以.
故选：B.
本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理，以及运用二次函数求最值，考查转化思想和解题能力.
2．B
【解析】
根据题意可得，利用向量的数量积即可求解夹角.
【详解】
因为
即
而
所以夹角为
故选：B
本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题.
3．D
【解析】
在中，由正弦定理得；进而得，在中，由余弦定理可得.
【详解】
在中，由正弦定理得，得，又，所以为锐角，所以，，
在中，由余弦定理可得，
.
故选：D
本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力.
4．B
【解析】
根据函数的图象，求得函数，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案．
【详解】
根据给定函数的图象，可得点的横坐标为，所以，解得，
所以的最小正周期， 不妨令，，由周期，所以，
又，所以，所以，
令，解得，当时，，即函数的一个对称中心为，即函数的图象关于点成中心对称．故选B．
本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．
5．C
【解析】
根据与平面所成的角相等，判断出，建立平面直角坐标系，求得点的轨迹方程，由此求得点的轨迹长度.
【详解】
由于平面平面，且交线为，，所以平面，平面.所以和分别是直线与平面所成的角，所以，所以，即，所以.以为原点建立平面直角坐标系如下图所示，则，，设（点在第一象限内），由得，即，化简得，由于点在第一象限内，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分.令代入原的方程，解得，故，由于，所以，所以点的轨迹长度为.
故选：C
本小题主要考查线面角的概念和运用，考查动点轨迹方程的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.
6．D
【解析】
分析：根据平面向量的数量积可得，再结合图形求出与方向上的投影即可.
详解：如图所示：
，
，
，
又，，
在方向上的投影是：，
故选D.
点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题.
7．A
【解析】
画图取的中点M，法一：四边形的外接圆直径为OM，即可求半径从而求外接球表面积；法二：根据，即可求半径从而求外接球表面积；法三：作出的外接圆直径，求出和，即可求半径从而求外接球表面积；
【详解】
如图，取的中点M，和的外接圆半径为，和的外心，到弦的距离（弦心距）为.
法一：四边形的外接圆直径，，
；
法二：，，；
法三：作出的外接圆直径，则，，，
，，，
，，，.
故选：A
此题考查三棱锥的外接球表面积，关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径，方法较多，属于较易题目.
8．B
【解析】
根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果.
【详解】
执行程序框；；；
；；，
满足，退出循环，因此输出，
故选:B.
本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.
9．C
【解析】
由，可得，通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出的值.
【详解】
解：，
，解得：.
故选:C.
本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把 当成进行运算.
10．A
【解析】
分析：作出函数的图象，利用消元法转化为关于的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.
详解：作出函数的图象，如图所示，若，且，
则当时，得，即，
则满足，
则，即，则，
设，则，
当，解得，当，解得，
当时，函数取得最小值，
当时，；
当时，，
所以，即的取值范围是，故选A.
点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.
11．D
【解析】
中位数指一串数据按从小（大）到大（小）排列后，处在最中间的那个数，平均数指一串数据的算术平均数.
【详解】
由茎叶图知，甲的中位数为，故；
乙的平均数为，
解得，所以.
故选：D.
本题考查茎叶图的应用，涉及到中位数、平均数的知识，是一道容易题.
12．B
【解析】
根据平行的传递性判断A；根据面面平行的定义判断B；根据线面垂直的判定定理判断C；由三棱锥以三角形为底，则高和底面积都为定值，判断D.
【详解】
在A中，因为分别是中点，所以，故A正确；
在B中，由于直线与平面有交点，所以不存在点，使得平面平面，故B错误；
在C中，由平面几何得，根据线面垂直的性质得出，结合线面垂直的判定定理得出平面，故C正确；
在D中，三棱锥以三角形为底，则高和底面积都为定值，即三棱锥的体积为定值，故D正确；
故选：B
本题主要考查了判断面面平行，线面垂直等，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
，建立方程组，且，求出，进而求出的公比，即可求出结论.
【详解】
数列递增的等比数列，，
，解得，
所以的公比为，.
故答案为:.
本题考查等比数列的性质、通项公式，属于基础题.
14．0
【解析】
直接根据向量垂直计算得到答案.
【详解】
向量与向量垂直，则，故.
故答案为：.
本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力.
15．
【解析】
画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，易知在点处取得最小值，即，所以由图可知的取值范围为．
16．24
【解析】
先求出每地一名医生，3名护士的选派方法的种数，再减去甲乙两名护士到同一地的种数即可.
【详解】
解：每地一名医生，3名护士的选派方法的种数有，
若甲乙两名护士到同一地的种数有，
则甲乙两名护士不到同一地的种数有.
故答案为：.
本题考查利用间接法求排列组合问题，正难则反，是基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． (1) ；(2)列联表见解析，有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；(3)分布列见解析，=3
【解析】
（1）由频率和为1，列出方程求的值；
（2）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，
填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，
知随机变量服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望.
【详解】
解：（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，
可知，
解得；
（2）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，
所以晋级成功的人数为（人），
填表如下：
假设“晋级成功”与性别无关，
根据上表数据代入公式可得，
所以有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；
（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率为，
将频率视为概率，
则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，
所以可视为服从二项分布，即，
，
故，
，
，
，
.
所以的分布列为：
数学期望为.或（）．
本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，属于中档题．若离散型随机变量，则.
18．（1）（2）点在曲线外．
【解析】
（1）先消参化曲线的参数方程为普通方程,再化为极坐标方程；
（2）由点是曲线上的一点,利用的范围判断的范围,即可判断位置关系.
【详解】
（1）由曲线的参数方程为可得曲线的普通方程为,则曲线的极坐标方程为,即
（2）由题,点是曲线上的一点,
因为,所以,即,
所以点在曲线外.
本题考查参数方程与普通方程的转化,考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查点与圆的位置关系.
19．（Ⅰ）；（Ⅱ），．
【解析】
（Ⅰ）由题意可得，的坐标，结合椭圆离心率，及隐含条件列式求得，的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设直线，求得的坐标，再设直线，求出点的坐标，写出的方程，联立与，可求出的坐标，由，可得关于的函数式，由单调性可得取值范围．
【详解】
（Ⅰ），，，
，，
由，得，又，，
解得：，，．
椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）设直线，则与直线的交点，
又，设直线，
联立，消可得．
解得，，
联立，得，，
直线，
联立，解得，，
，
，，，
，
，
函数在上单调递增，
，．
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力．
20．（1），；（2）.
【解析】
（1）由曲线的参数方程消去参数可得曲线的普通方程，由此可求曲线的极坐标方程；直接利用直线的倾斜角以及经过的点求出直线的参数方程即可；
（2）将直线的参数方程，代入曲线的普通方程，整理得，利用韦达定理，根据为的中点，解出即可.
【详解】
（1）由（为参数）消去参数，
可得，即，
已知曲线的普通方程为，
，，
，即，
曲线的极坐标方程为，
直线经过点，且倾斜角为，
直线的参数方程：（为参数，）.
（2）设对应的参数分别为，.
将直线的参数方程代入并整理，
得，
，.
又为的中点，
，
，，
，即，
，
，
，即，
.
本题考查了圆的参数方程与极坐标方程之间的互化以及直线参数方程的应用，考查了计算能力，属于中档题.
21．（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）求函数的导数，利用x=2是f (x)的一个极值点，得f' (2) =0建立方程求出a的值，结合导数的几何意义进行求解即可；
（Ⅱ）利用参数法分离法得到，构造函数求出函数的导数研究函数的单调性和最值，利用数形结合转化为图象交点个数进行求解即可.
【详解】
（Ⅰ）因为，则，
因为是的一个极值点，所以，即，
所以，
因为，，
则直线方程为，即；
（Ⅱ）因为，所以，
所以，设，则，
所以在上是增函数，在上是减函数，
故，
所以，所以，
设，则，
所以在上是减函数，上是增函数，
所以，
所以当时，，函数在是减函数，
当时，，函数在是增函数，
因为时，，，，
所以当时，方程无实数根，
当时，方程有两个不相等实数根，
当或时，方程有1个实根.
本题考查函数中由极值点求参，导数的几何意义，还考查了利用导数研究方程根的个数问题，属于难题.
22．（1）（2）
【解析】
（1）由公式可化极坐标方程为直角坐标方程；
（2）把点极坐标化为直角坐标，直线的参数方程是过定点的标准形式，因此直接把参数方程代入曲线的方程，利用参数的几何意义求解．
【详解】
解：（1），则，∴，
所以曲线的直角坐标方程为，即
（2）点的直角坐标为，易知.设对应参数分别为
将与联立得
本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程，解题时可利用利用参数方程的几何意义求直线上两点间距离问题．
晋级成功
晋级失败
合计
男
16
女
50
合计
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.780
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
晋级成功
晋级失败
合计
男
16
34
50
女
9
41
50
合计
25
75
100
0
1
2
3
4