2026孝感高三下学期第二次统一考试数学试题含答案

这是一份2026孝感高三下学期第二次统一考试数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答
题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在
试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．集合 ， |，则 （ ）
A． B． C． D．
2．方程 的一个复数根是（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．若 ， 是夹角为 的两个单位向量，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．设一个圆台的侧面积、体积分别为 、 ，将它的高扩大到原来的 2 倍（上、下底面圆的半径均不变），
得到的圆台的侧面积、体积分别为 、 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
6．在 中， ， 边上的高等于 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 为偶函数，且 ，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．以 、 为焦点的椭圆与直线 有且仅有一个公共点，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．如图，四面体 中， 平面 ， ，垂足为 ， ，垂足为 F ，则下
列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 平面 D．若 ，则
10．数列 满足 ），且 ，数列 的前 项和为 ，从 的前 项
中任取不同的两项，它们的和为偶数的概率为 ，数列 的前 项积为 ，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数 的定义域是 ，满足 ，且 ，
若存在实数 ，使函数 在区间 上恰好有 2026 个零点，则实数 的值可能为（ ）
A． B．0 C． D．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则点 的坐标为________．
13．已知抛物线 的焦点为 ，点 是抛物线上一点，且满足 ，过点 作抛物线准线的垂线，
垂足为 ，则 的内切圆半径为________．
14．在一组数 2，2，7，12，27 中插入两个整数 ， ，使得新的一组数极差为原来极差的两倍，且众数和中
位数保持不变，则 的最小值为________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分 13 分）如图，正方形 所在的平面与平面 垂直，且 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）当 时，求直线 与平面 所成角的正弦值．
16．（本小题满分 15 分）已知函数 在区间 单调，其中 为正整数， ，
且图象关于点 对称．
（1）求 的最小正周期；
（2）在 中， ， ， 边上的中线长为 ，求 的面积．
17．（本小题满分 15 分）甲、乙两支球队参加某球类比赛，如果每局比赛甲队获胜的概率为 ，乙
队获胜的概率为 ，且每局比赛的结果相互独立．比赛有两种方案，方案一：采用“三局两胜”制，即累
计先胜两局的队最终获胜；方案二：采用“五局三胜”制，即累计先胜三局的队最终获胜．
（1）当 时，采用方案一还是方案二对乙更有利（不用说明理由），并求该方案下乙队最终获胜的概率；
（2）当 时，若比赛采用方案二．
（ⅰ）求在甲队最终获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率；
（ⅱ）若比赛结果为 或者 时，胜方得 3 分，负方得 0 分，比赛结果为 时，胜方得 2 分，负方得 1
分，求甲队本次比赛的得分 的分布列及均值．
18．（本小题满分 17 分）已知函数 ， ．
（1）函数 ，讨论其单调性；
（2）若 对 恒成立，求 的值；
（3）函数 ，若该函数有且仅有三个极值点 ， ， ，且 ，若 ，
求证： ．
19．（本小题满分 17 分） 是一个动点， 与直线 垂直，垂足 位于第一象限， 与直线 垂
直，垂足 位于第四象限，若四边形 （ 为原点）的面积为 1，设 的轨迹为 ．
（1）求轨迹 的方程；
（2）已知 ， ，在 中，试确定 是否为
定值，若是，请求出此定值，若不是，请说明理由；
（3）记坐标原点为 ，过 的直线 交曲线 于点 ，将 绕点 旋转，与直线
在第一象限交于点 ，即点 满足 ，以此类推，过点 作斜率为 的直线交曲线
于点 ，将 绕点 旋转，与直线 在第一象限交于点 ，即点 满足 ．在
中，设底边 上的高为 ，求 ．
参考答案
1．C 2．A 3．D 4．C 5．C 6．A 7．B 8．B 9．BC 10．ABD 11．AB
1．C[解析] ， ， ．
2．A[解析]由 可得 ， ， ．
3．D[解析]设公差为 ，则 ， ，联立解得 ， ，
．
4．C[解析] ，又 ，则 ．
5．C[解析]设原圆台底面半径分别为 、 ，高为 ，母线长为 ，则 ， ，
扩大后圆台母线长为 ， ，可得 ；由台
体体积公式 可知 ．
6．A[解析]设 边上的高为 ， ，设 ，则 ， ，从而点 在
线段 上， ．故 ， ， ，
．
7． B[解 析 ]由 函 数 为 偶 函 数 可 知 函 数 是 二 次 函 数 且 关 于 轴 对 称 ， 则
，由 可知 ．
， ，解得 ，或 ．
故不等式 的解集为 ．
8．B[解析]依题意，直线 与椭圆相切，直线 上除切点外任意一点均在椭圆外．由椭圆的定义可知
切点是直线 上与 、 两点距离和最小的点． 关于直线 对称的点为 ，
，故椭圆的长轴长为 7，焦距 ，离心率 ．
9．BC[解析]A： 与 异面，显然不正确；
B：若 ，易得 ，
又 ， ，则 ，所以 ，故 B 正确；
对于选项 C 与 D，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， ， 是平面 内两条相交直线，
所以 平面 ，又 平面 ，故 ．
又 ，且 ， 是平面 内两条相交直线，所以 平面 ．
又 平面 ，故 ．
又 ，且 ， 是平面 内两条相交直线，所以 平面 ．故选项 C 正确；
又 平面 ，故 ．
若 与 也垂直，由 、 与 共面，则 与 重合，故选项 D 不正确．
10．ABD[解析]A：当 时， ，又 ，故 ．
∵ ，∴ ，
∴ ，
所以 为偶数时， ； 为奇数时， ．
∴ 的奇数项所成的数列是首项为 ，公差为 的等差数列，偶数项所成的数列是首项为 3，公差为 2
的等差数列．故 ，选项 A 正确；
B： ，选项 B 正确；
C：由于 的奇数项都是偶数，偶数项都是奇数，
∴ ，故选项 C 错误；（或由 可知选项 C 错误）
D：
，
又 ，所以 ，故选项 D 正确．
11．AB[解析]（1）当 时，显然成立；
（2）若 ，则 ，即 ，解得 ；
（3）若 ，则 ，即 ，解得 ；
综上，得 ．
12． [解析]设切点 ，则有 ，由题意得 ，
∴ ， ，
∴点 的坐标为 ．
13． [解 析 ]如 图 ， 不 妨 设 点 在 第 一 象 限 ， 则 ， ，
，所以 ，此时 ，所以 ．易知点 ，
，所以 ．
的面积为 ．
设 的内切圆的半径为 ，内心为点 ，则由 ，
得 ，解得 ．
14．31[解析]若插入两个整数后众数不变，则插入的数可以是“两个都是 2”，或是“一个为 2，另一个不是 2”，
或是“两个不相等的且不是 2，7，12，27”．
①因为新的一组数极差加倍，所以插入的两个数不可能都是 2；
②因为中位数保持不变，若插入的数“一个为 2，另一个不是 2”，则一个为 2，另一个数不小于 7，又因为极
差加倍，则另一个数为 52，此时 ；
③若插入的两个数是不相等的且不是 2，7，12，27，且极差为 50，中位数保持不变，
则两个数可以为： ， ， ， ，
， ， ，……， ， ，
所以， 的最小值为 ．
15．解：（1）∵平面 平面 ，交线为 ， ， 平面 ，
∴ 平面 ．又 平面 ，故 ．
∵ ，且 ， 是平面 内两条相交直线
∴ 平面
∵ 平面
故平面 平面
（2）解法一：以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ．
因为 ，设 ，由题设得，
， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
设 是平面 的法向量，则
，即 ，令 ，可得
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值是
解法二：由（1）得 平面 ，由 平面 可知 、 到平面 的距离相等，设 到
平面 的距离为 ，则
设 ，由 得 ， ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值是
16．解：（1）由题意， 的最小正周期 ，所以 ，
由 为正整数可得 ，
又因为图象关于点 对称，所以 ，即 ．
由 ，若 ， ，无解；
若 ， ， ；
若 ， ，无解．
所以 ， ， 的最小正周期为 ．
（2）由 可得 ，又 ， ，
从而 ，故 ．
设 边上的中线为 ， ，则
， ， ，
解得 ．
所以 的面积 ．
17．解：（1）采用方案一对乙对更有利
当 时，乙队每局获胜的概率为： ．
（乙队最终获胜） ．
所以乙队最终获胜的概率为 ．
（根据“比赛局数越多，对实力较强者越有利”可知，采用方案一，乙队最终获胜概率较大．也可以算出两种
方案乙最终获胜的概率，对比可知采用方案一，乙队最终获胜概率较大．）
（2）（ⅰ）记“甲队最终获胜”为事件 ，“比赛恰好进行了四局”为事件 ．
三局甲队最终获胜的概率为： ．
四局甲队最终获胜的概率为： ．
五局甲队最终获胜的概率为： ．
∴甲队最终获胜的概率
∵甲队最终获胜且比赛恰好进行了四局的概率
∴在甲队最终获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率
（甲队乙队每局获胜的概率相等，因此最终获胜的概率也相等，从而 ，酌情给分）
（ⅱ） 的可能取值为 0，1，2，3．
，
，
，
∴ 的分布列为：
0 1 2 3
∴
18．解：（1）∵ ．
∴ ， ．
∴ ．
当 时， 恒成立，因此 在 上单调递增．
当 时，由 ，∴ ，∴ ，因此 在 上单调递增，在
上单调递减．
综上可知：当 时， 在 上单调递增．
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）∵ ， ．
设 ，∴ ．
又 ，所以 为 的极小值点，故 ．
， ，∴ ．
下面证明，当 时， ， ．
．
当 ，即 时， 恒成立．
当 ，即 时，由 可知：
，∴ ．
∴ ．
当且仅当 时等号成立，故 满足条件．
综上可知：
（3）∵ ，∴ ．
∴ ．
∵ ，∴ ，设 ．
，∴ ，∴ ．
在 ， 上单调递减，在 上单调递增．
因为函数 有且仅有三个极值点，即 ， ， 为方程 的三个实根，
由图象知方程 最多有三个实根，且 ．∴ ．
注意到 ，假设 ，则 ，从而 ，与已知矛盾，故 ．
即有： ．
（本题用其它解法，过程详细、推理清晰可得全分，过程不全的可酌情给分）
19．解：（1）设 ，由题意可知四边形 的面积 ．
∴ ．
因为点 位于第一象限，点 位于第四象限．
∴ ，且 ．
所以动点 的轨迹 的方程为： ， ．
（未限定 的范围的扣 1 分）
（2）不妨设点 位于第一象限，设直线 的斜率为 ，则 ，直线 的斜率为 ，
则： ，∴
∴ ．
综上可知： 为定值 0．
（3）问题可以转化为曲线 ， 与坐标轴之间的各等腰三角形底边上高的和，如图所示
设 ， ，过 作 轴于
由 可知， ，
记 ，则各等腰三角形底角的正切值
即
由题意可知： ，∴
联立 与 可解得 ， ，从而 ，
所以数列 是以为首项， 为公差的等差数列，∴ ，∴
∴ ，∴
（不转化直接研究也可以得出答案，酌情给分）