陕西省渭南市2026届高三下学期教学质量检测（Ⅱ）数学试卷（含解析）

这是一份陕西省渭南市2026届高三下学期教学质量检测（Ⅱ）数学试卷（含解析），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．样本数据，，，，的第百分位数是（ ）
A．B．C．D．
2．双曲线的焦距为（ ）
A．B．C．2D．4
3．已知复数，则（ ）
A．1B．C．D．
4．已知向量，，若，则（ ）
A．B．4C．9D．11
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．2
6．若直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点，则（ ）
A．B．8C．10D．
7．已知是圆上一动点，若直线上存在两点，，使得成立，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．D．
8．集合，集合，，则满足的集合对有（ ）个．
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则在上单调递增
B．若，则的图象关于点中心对称
C．若在上恰有三个零点，则
D．若将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为2
10．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（ ）
A．函数有三个零点
B．当时，
C．，，都有
D．若方程有三个解，则实数的取值范围是
11．在棱长为1的正方体中，为正方体内（含表面）的动点，为线段上的动点，若直线与的夹角为，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．点的轨迹形成图形的面积为
C．点的轨迹与正方体表面交线的长度为
D．当点在侧面上时，的最小值为1
三、填空题
12．不等式的解集为______．
13．若一个三角形的三条边长是三个连续正整数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的面积为______．
14．数列的前项和为，且满足，．设由，，，组成无重复数字的所有四位数的和为，则______．
四、解答题
15．数列为等差数列，是其前项和，且，．数列满足：，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：．
16．已知函数．
(1)若是的极值点，求的值，并讨论的单调性；
(2)当时，证明存在唯一的极小值点，且．
17．2026年被业界公认为“具身智能元年”．得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟．人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动．活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为,假设他们之间通过与否相互独立．
(1)求这3人中至多有2人通过第一轮的概率；
(2)从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率；
(3)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望．
18．如图所示，在四棱锥中，底面，四边形中，，，，．
(1)求证：平面平面．
(2)设．
①直线与平面所成的角为，求线段的长；
②线段上是否存在一个点，使得点到点，，，的距离都相等？说明理由．
19．已知椭圆的离心率为，短轴长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若圆可以将椭圆完全覆盖，求的最小值；
(3)设点为椭圆上在第一象限的点，直线，直线分别过的左、右焦点，与椭圆分别交于点，，记直线，，的斜率分别为，，，若，求点的坐标．
参考答案
1．B
【详解】因为，所以这组数据的第60百分位数是.
故选：B
2．D
【详解】因为双曲线方程为，所以，因为，所以，所以双曲线的焦距为4.
故选：D
3．A
【详解】由题知，
所以，
所以.
4．D
【详解】因为向量，，所以，
又因为，所以，
所以.
5．B
【详解】，
则，，
解得，得，
即，
故选：B.
6．C
【详解】由题意可知，抛物线的准线为，设，
则根据抛物线的定义可知.
因为直线与抛物线交于，两点，
所以联立方程可得，化简得.
根据韦达定理得，所以.
7．B
【详解】圆的圆心，半径，
由直线上存在两点，使得成立，
以为直径的圆与圆有公共点，当长度最小时，两圆外切，且两圆连心线与垂直，如图，

圆心到直线的距离，
所以.
8．D
【详解】对于中的任意一个元素，要满足，
分析在集合中的归属情况：且；且；且
这三种情况都能保证，而只有且这一种情况不满足条件.
因此，每个元素有种有效的归属方式.
因为中共有个元素，且每个元素的选择相互独立，
所以满足条件的集合对的个数为：.
9．BCD
【详解】对于A，若，可得，当，可得，
当时，即时，函数单调递增；
当时，即时，函数单调递减，
即在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以A错误；
对于B，若，可得，令，解得，
当时，，所以是函数的一个对称中心，
所以函数的图象关于点中心对称，所以B正确；
对于C，当，可得，
要使得函数在上恰有三个零点，则需要包含，
则满足，解得，所以C正确；
对于D，将的图象向左平移个单位长度后，可得，
要使得函数的图象关于轴对称，则满足，
解得，因为，所以的最小值为，所以D正确.
10．AC
【详解】对于A：当时，令，得，
又因为函数是定义在上的奇函数，所以，，
所以有三个零点，故A正确；
对于B： 当时，，则，
因为是定义在上的奇函数，所以，故B错误；
对于C：当时，，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以在取到极大值，极大值为，
且当时，；，，
所以根据是奇函数，可作出的大致图象如下：
由图可知，，，都有，
所以，故C正确；
对于D：若方程有三个解，则与有三个公共点，
所以，即，故D错误.
11．ACD
【详解】
建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，
设，则
因为为线段上的动点，所以，所以，
所以可设，
所以，
，
所以
所以，A正确；
因为直线与的夹角为，且，
所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆为底面，为高的圆锥的侧面的，
又母线，
所以点的轨迹形成图形的面积为，B错误；
点的轨迹与正方体表面交线的长度为，C正确；
当点在侧面上时，过点作垂直于平面于点，
则,
所以
所以当三点共线时，
有最小值为，D正确.
12．
【详解】当时，不等式变为，即，
解得，又，所以此时不等式的解集为；
当时，不等式变为，即，
解得，又，所以此时不等式的解集为；
所以不等式的解集为.
13．
【详解】根据题意，设三角形的三条边长分别为，
对应的三个角分别为，因为最大角是最小角的2倍，所以.
根据正弦定理得，而，
所以，化简得①.
根据余弦定理得②，
①②联立得，化简解得，所以三角形三条边长分别为.
又，所以，所以.
所以该三角形的面积为.
14．6666
【详解】由题意，当时，，
化简得，所以数列为常数列，所以，
所以，所以，所以.
用数字1，2，3，4组成无重复数字的四位数，共个，
每个数字在千位出现次，千位总和为；
每个数字在百位出现6次，百位总和为；
每个数字在十位出现6次，十位总和为；
每个数字在个位出现6次，个位总和为；
因此总和.
所以.
15．(1)；
(2)证明见解析
【详解】（1）因为数列为等差数列，是其前项和，且，．
设数列的首项为，公差为，则，
化简得，解得，所以数列的通项公式为.
因为数列满足：，，
所以数列是首项为1公比为的等比数列，所以数列的通项公式为.
（2）证明：因为，
所以数列是首项为公比为的等比数列，
由于数列的前项和为，所以，
因为对于恒成立，所以.
16．(1)；在上单调递减，在上单调递增.
(2)证明见解析
【详解】（1）对函数求导得，因为是的极值点，
所以，解得.
所以，定义域为.
当时，，此时在上单调递增；
当时，，此时在上单调递减；
所以在上单调递减，在上单调递增，满足题设.
（2）当时，，求导得.
令，求导得.
因为，所以，所以在上单调递增，
又，所以且唯一，使得.
即且唯一，使得，则，
当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，所以存在唯一的极小值点，
又，所以.
且，因此.
17．(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【详解】（1）记3人中通过第一轮的人数为，
由题意可知，
记“3人中至多有2人通过第一轮”为事件，
则.
（2）记随机选择小明、小华、小方的事件分别为，通过第二轮的事件记为，
则由题意可知，
则，
所以.
（3）记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为，
则，
，
，
由相互独立可知，
，
，
所以的分布列是
则的数学期望是．
18．(1)证明见解析
(2)①；②不存在，理由见解析
【详解】（1）平面，平面，
，
又，，平面，
平面，
又平面，
平面平面.
（2）①以为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），
在平面内，作交于点，
则
在中，，
设，则，，
由，得，
所以，，,
，
设平面的法向量为，
由，，得，
取得平面的一个法向量为，
又，
故由直线与平面所成的角为得，
即
解得或（舍去，因为），所以；
②解法一：如图所示，假设线段上存在一个点，使得点到点，，，的距离都相等．
设，则，，．
因此由，得，即，
又由，得，
联立两式，消去并化简，得，由
∵方程没有实数根，
∴在线段上不存在一个点，使得点到点，，，的距离都相等．
解法二：假设在线段上存在一个点到、、、的距离都相等，
由，得，
从而，即，
所以，
设，则，，
在中，
，
这与矛盾，
所以在线段上不存在一个点，使得点到、、的距离都相等，
从而，在线段上不存在一个点，使得点到点、、、的距离都相等．
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，短轴长为，
所以，所以.
又，所以，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）圆完全覆盖椭圆，意味着椭圆上任意一点到圆心的距离均不超过半径，
设椭圆上任意一点为，则该点与圆心的距离的平方为.
由椭圆方程知，
代入得，
对称轴为，椭圆中的取值范围为，所以当时，函数取最大值，
即，因此，的最小值为5.
（3）由题意可知，椭圆的左右焦点坐标为，设，
则且，易得，
所以.
设，
直线的方程为，直线的方程为，其中，
由，消去得，
则，
从而，
所以.
同理可得，
则
，
所以，
因为，所以，解得，所以.
因为，所以，
则的坐标为.
0
1
2
3