2026届安徽省阜阳市临泉县一中高三第二次调研数学试卷含解析

这是一份2026届安徽省阜阳市临泉县一中高三第二次调研数学试卷含解析，共7页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设正项等差数列的前项和为，且满足，则的最小值为
A．8B．16C．24D．36
2．已知实数满足约束条件，则的最小值是
A．B．C．1D．4
3．已知点，若点在曲线上运动，则面积的最小值为（ ）
A．6B．3C．D．
4．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）
A．且
B．且
C．且
D．且
5．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x，y进行回归分析，设u= lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为=0.5v+2，则变量y的最大值的估计值是（ ）
A．eB．e2C．ln2D．2ln2
6．若表示不超过的最大整数(如，，)，已知，，，则（ ）
A．2B．5C．7D．8
7．宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“—”表示一根阳线，“——”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
9．若实数满足不等式组，则的最大值为（ ）
A．B．C．3D．2
10．设双曲线的左右焦点分别为，点.已知动点在双曲线的右支上，且点不共线.若的周长的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．已知集合，则( )
A．B．C．D．
12．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）
A．20B．27C．54D．64
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，则关于的不等式的解集为_______．
14．戊戌年结束，己亥年伊始，小康，小梁，小谭，小杨，小刘，小林六人分成四组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分别奔赴四所不同的学校参加演讲，则不同的分配方案有_________种（用数字作答），
15．平面区域的外接圆的方程是____________.
16．若函数为偶函数，则 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心为坐标原点焦点在轴上，右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上关于轴对称的任意两点，设，连接交椭圆于另一点．求证：直线过定点并求出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点的直线交椭圆于两点，求的取值范围．
18．（12分）如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形, 底面 ,是的中点.
（1）.求证:平面平面;
（2）.若二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值.
19．（12分）已知椭圆的离心率为是椭圆的一个焦点，点，直线的斜率为1．
（1）求椭圆的方程；
（1）若过点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，是否存在直线使得？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．
20．（12分）如图，在直角中，，，，点在线段上.
（1）若，求的长；
（2）点是线段上一点，，且，求的值.
21．（12分）已知函数.
（1）解不等式；
（2）若函数最小值为，且，求的最小值.
22．（10分）已知函数.
（1）若在上是减函数，求实数的最大值；
（2）若，求证：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
方法一：由题意得，根据等差数列的性质，得成等差数列，设，则，，则，当且仅当时等号成立，从而的最小值为16，故选B．
方法二：设正项等差数列的公差为d，由等差数列的前项和公式及，化简可得，即，则，当且仅当，即时等号成立，从而的最小值为16，故选B．
2、B
【解析】
作出该不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，
设，则，易知当直线经过点时，z取得最小值，
由，解得，所以，所以，故选B．
3、B
【解析】
求得直线的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得位于，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.
【详解】
解：曲线表示以原点为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图，
直线的方程为，
可得，由圆与直线的位置关系知在时，到直线距离最短，即为，
则的面积的最小值为.
故选：B.
【点睛】
本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．
4、A
【解析】
试题分析：由题意得，，
∴，，
∵，∴，∴，
∴若：，，∴，
若：，，∴，
若：，，∴，
综上可知，同理可知，故选A.
考点：1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想.
【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致与大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上.
5、B
【解析】
将u= lny，v=(x-4)2代入线性回归方程=-0.5v+2，利用指数函数和二次函数的性质可得最大估计值.
【详解】
解：将u= lny，v=(x4)2代入线性回归方程=0.5v+2得：
，即，
当时，取到最大值2，
因为在上单调递增，则取到最大值.
故选：B.
【点睛】
本题考查了非线性相关的二次拟合问题，考查复合型指数函数的最值，是基础题,.
6、B
【解析】
求出，，，，，，判断出是一个以周期为6的周期数列，求出即可．
【详解】
解：.，
∴，，
，
同理可得：；；.；，，…….
∴.
故是一个以周期为6的周期数列，
则.
故选：B.
【点睛】
本题考查周期数列的判断和取整函数的应用．
7、B
【解析】
根据古典概型的概率求法，先得到从八卦中任取两卦基本事件的总数，再找出这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数，代入公式求解.
【详解】
从八卦中任取两卦基本事件的总数种，
这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数有6种，
分别是（巽，坤），（兑，坤），（离，坤），（震，艮），（震，坎），（坎，艮），
所以这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率是.
故选：B
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
8、A
【解析】
将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可．
【详解】
解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同，
∵四面体所有棱长都是4，
∴正方体的棱长为，
设球的半径为，
则，解得，
所以，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题．
9、C
【解析】
作出可行域，直线目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．
【详解】
作出可行域，如图由射线，线段，射线围成的阴影部分（含边界），作直线，平移直线，当过点时，取得最大值1．
故选：C．
【点睛】
本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形．
10、A
【解析】
依题意可得
即可得到，从而求出双曲线的离心率的取值范围；
【详解】
解：依题意可得如下图象，
所以
则
所以
所以
所以，即
故选：A
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.
11、C
【解析】
解不等式得出集合A，根据交集的定义写出A∩B．
【详解】
集合A＝{x|x2﹣2x﹣30}＝{x|﹣1x3}，
，
故选C．
【点睛】
本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．
12、B
【解析】
设大正方体的边长为，从而求得小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，利用概率模拟列方程即可求解。
【详解】
设大正方体的边长为，则小正方体的边长为，
设落在小正方形内的米粒数大约为，
则，解得：
故选：B
【点睛】
本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
判断的奇偶性和单调性，原不等式转化为，运用单调性，可得到所求解集．
【详解】
令，易知函数为奇函数，在R上单调递增，
，
即，
∴
∴，即x＞
故答案为：
【点睛】
本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
14、1080
【解析】
按照先分组，再分配的分式，先将六人分成四组，其中两个组各2人，另两个组各1人有种，再分别奔赴四所不同的学校参加演讲有种，然后用分步计数原理求解.
【详解】
将六人分成四组，其中两个组各2人，另两个组各1人有种，
再分别奔赴四所不同的学校参加演讲有种，
则不同的分配方案有种.
故答案为：1080
【点睛】
本题主要考查分组分配问题，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.
15、
【解析】
作出平面区域，可知平面区域为三角形，求出三角形的三个顶点坐标，设三角形的外接圆方程为，将三角形三个顶点坐标代入圆的一般方程，求出、、的值，即可得出所求圆的方程.
【详解】
作出不等式组所表示的平面区域如下图所示：
由图可知，平面区域为，联立，解得，则点，
同理可得点、，
设的外接圆方程为，
由题意可得，解得，，，
因此，所求圆的方程为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查三角形外接圆方程的求解，同时也考查了一元二次不等式组所表示的平面区域的求作，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中等题.
16、1
【解析】
试题分析：由函数为偶函数函数为奇函数，
．
考点：函数的奇偶性．
【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数为偶函数转化为 函数为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）证明详见解析，；（3）.
【解析】
(1)根据题意列出关于的等式求解即可.
(2)先根据对称性,直线过的定点一定在轴上,再设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程, 进而求得的方程,并代入,化简分析即可.
(3)先分析过点的直线斜率不存在时的值,再分析存在时,设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程,得出韦达定理再代入求解出关于的解析式,再求解范围即可.
【详解】
解：设椭圆的标准方程焦距为,
由题意得,
由,可得
则,
所以椭圆的标准方程为；
证明：根据对称性,直线过的定点一定在轴上,
由题意可知直线的斜率存在,
设直线的方程为,
联立,消去得到,
设点,
则．
所以,
所以的方程为,
令得,
将,代入上式并整理,
,
整理得,
所以,直线与轴相交于定点．
当过点的直线的斜率不存在时,直线的方程为,
此时,
当过点的直线斜率存在时,
设直线的方程为,且在椭圆上,
联立方程组,
消去,整理得,
则．
所以
所以,
所以,
由得,
综上可得,的取值范围是．
【点睛】
本题主要考查了椭圆的基本量求解以及定值和范围的问题,需要分析直线的斜率是否存在的情况,再联立直线与椭圆的方程,根据韦达定理以及所求的解析式,结合参数的范围进行求解.属于难题.
18、（1）见解析；（2）.
【解析】试题分析：（1）根据平面有，利用勾股定理可证明，故平面，再由面面垂直的判定定理可证得结论；（2）在点建立空间直角坐标系，利用二面角的余弦值为建立方程求得，在利用法向量求得和平面所成角的正弦值.
试题解析：（Ⅰ） 平面平面
因为,所以,所以,所以,又，所以平面.因为平面，所以平面平面．
（Ⅱ）如图，
以点为原点， 分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，则.设，则
取，则为面法向量．
设为面的法向量，则，
即，取，则
依题意，则．于是．
设直线与平面所成角为，则
即直线与平面所成角的正弦值为．
19、（1） （1）不存在，理由见解析
【解析】
（1）利用离心率和过点，列出等式，即得解
（1）设的方程为，与椭圆联立，利用韦达定理表示中点N的坐标，用点坐标表示，利用韦达关系代入，得到关于k的等式，即可得解.
【详解】
（1）由题意，可得解得
则，
故椭圆的方程为．
（1）当直线的斜率不存在时，
，不符合题意．
当的斜率存在时，
设的方程为，
联立得，
设，
则，，
，即．
设，则，
，
，
则，
即，
整理得，此方程无解，故的方程不存在．
综上所述，不存在直线使得．
【点睛】
本题考查了直线和椭圆综合，考查了弦长和中点问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
20、（1）3；（2）.
【解析】
（1）在中，利用正弦定理即可得到答案；
（2）由可得，在中，利用及余弦定理得，解方程组即可.
【详解】
（1）在中，已知，，，由正弦定理，
得，解得.
（2）因为，所以，解得.
在中，由余弦定理得，
，
即，
，
故.
【点睛】
本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的计算能力，是一道中档题.
21、（1）（2）
【解析】
（1）利用零点分段法，求得不等式的解集.
（2）先求得，即，再根据“的代换”的方法，结合基本不等式，求得的最小值.
【详解】
（1）当时，，即，无解；
当时，，即，得；
当时，，即，得.
故所求不等式的解集为.
（2）因为，
所以，则，
.
当且仅当即时取等号.
故的最小值为.
【点睛】
本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
22、（1）（2）详见解析
【解析】
（1），
在上，因为是减函数，所以恒成立，
即恒成立，只需.
令，，则，因为，所以.
所以在上是增函数，所以，
所以，解得.
所以实数的最大值为.
（2），.
令，则，
根据题意知，所以在上是增函数.
又因为，
当从正方向趋近于0时，趋近于，趋近于1，所以，
所以存在，使，
即，，
所以对任意，，即，所以在上是减函数；
对任意，，即，所以在上是增函数，
所以当时，取得最小值，最小值为.
由于，，
则
，当且仅当 ，即时取等号，
所以当时，．