2026届安徽阜阳市临泉县第一中学高三第五次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届安徽阜阳市临泉县第一中学高三第五次模拟考试数学试卷含解析，共20页。试卷主要包含了的展开式中的一次项系数为，复数的虚部为，已知复数，则的虚部是， “角谷猜想”的内容是，若直线的倾斜角为，则的值为等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．设命题p:>1,n2>2n,则p为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．下列四个结论中正确的个数是
（1）对于命题使得，则都有；
（2）已知，则
（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为；
（4）“”是“”的充分不必要条件.
A．1B．2C．3D．4
5．的展开式中的一次项系数为（ ）
A．B．C．D．
6．复数的虚部为（ ）
A．—1B．—3C．1D．2
7．已知复数，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．1
8．已知双曲线的左、右顶点分别是，双曲线的右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
9． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数，如果为偶数就除以2，如果是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的（ ）
A．6B．7C．8D．9
10．若直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
11．已知等差数列{an}，则“a2＞a1”是“数列{an}为单调递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
12．如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数，则的值为______.
14．已知函数，（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程恰有5个相异的实根，则实数a的取值范围为________.
15．已知数列的前项和且，设，则的值等于_______________ .
16．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为、，点P是第一象限内双曲线上的点，且，tan∠PF2F1＝﹣2，则双曲线的离心率为_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列满足：对任意，都有.
（1）若，求的值；
（2）若是等比数列，求的通项公式；
（3）设，，求证：若成等差数列，则也成等差数列.
18．（12分）某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①，②，其中均为常数，为自然对数的底数．
现该公司收集了近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令，经计算得如下数据：
（1）设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；
（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；
（ii）若下一年销售额需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？
附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；
② 参考数据：，，．
19．（12分）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm），得到如下的频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，求这个零件尺寸的中位数（结果精确到）；
（2）若从这个零件中尺寸位于之外的零件中随机抽取个，设表示尺寸在上的零件个数，求的分布列及数学期望；
（3）已知尺寸在上的零件为一等品，否则为二等品，将这个零件尺寸的样本频率视为概率. 现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱个. 企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为元. 若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中，企业要向买家对每个二等品支付元的赔偿费用. 现对一箱零件随机抽检了个，结果有个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.
20．（12分）已知点P在抛物线上，且点P的横坐标为2，以P为圆心，为半径的圆（O为原点），与抛物线C的准线交于M，N两点，且．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若抛物线的准线与y轴的交点为H．过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A，B，且，求的值．
21．（12分）已知函数.
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，对，恒有成立，求实数的最小值.
22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为.
（1）求的直角坐标方程和的直角坐标；
（2）设与交于，两点，线段的中点为，求.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误.
【详解】
对于，，，错误；
对于，在上单调递减，，错误；
对于，，，，错误；
对于，在上单调递增，，正确.
故选：.
【点睛】
本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性.
2、C
【解析】
根据命题的否定，可以写出：，所以选C.
3、C
【解析】
分析：根据复数的运算，求得复数，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案．
详解：由题意，复数，则
所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于复平面内的第三象限，故选C．
点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中根据复数的四则运算求解复数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
4、C
【解析】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定．
【详解】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题使得，则都有，是错误的；
（2）中，已知，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为，所以 是正确的；
（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为是正确；
（4）中，当时，可得成立，当时，只需满足，所以“”是“”成立的充分不必要条件．
【点睛】
本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
5、B
【解析】
根据多项式乘法法则得出的一次项系数，然后由等差数列的前项和公式和组合数公式得出结论．
【详解】
由题意展开式中的一次项系数为．
故选：B．
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式．
6、B
【解析】
对复数进行化简计算，得到答案.
【详解】
所以的虚部为
故选B项.
【点睛】
本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.
7、C
【解析】
化简复数，分子分母同时乘以，进而求得复数，再求出，由此得到虚部.
【详解】
，，所以的虚部为.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查共轭复数的虚部，属于基础题.
8、A
【解析】
点的坐标为，，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.
【详解】
不妨设点的坐标为，由于为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于取得最大值，
因为，，
所以，
当且仅当，即当时，等号成立，
此时最大，此时的外接圆面积取最小值，
点的坐标为，代入可得，．
所以双曲线的方程为．
故选：
【点睛】
本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.
9、B
【解析】
模拟程序运行，观察变量值可得结论．
【详解】
循环前，循环时：，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，满足条件，退出循环，输出．
故选：B．
【点睛】
本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论．
10、B
【解析】
根据题意可得：，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将代入计算即可求出值．
【详解】
由于直线的倾斜角为，所以，
则
故答案选B
【点睛】
本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
11、C
【解析】
试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解：在等差数列{an}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{an}为单调递增数列，
若数列{an}为单调递增数列，则a2＞a1，成立，
即“a2＞a1”是“数列{an}为单调递增数列”充分必要条件，
故选C．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
12、C
【解析】
由题意，可根据向量运算法则得到（1﹣m），从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值.
【详解】
由题意及图，，
又，，所以，∴（1﹣m），
又t，所以，解得m，t，
故选C．
【点睛】
本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据题意，由函数的解析式求出的值，进而计算可得答案．
【详解】
根据题意，函数，
则，
则；
故答案为：.
【点睛】
本题考查分段函数的性质、对数运算法则的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力．
14、
【解析】
作出图象，求出方程的根，分类讨论的正负，数形结合即可.
【详解】
当时，令，解得，
所以当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，
当时，单调递减，且，
作出函数的图象如图：
（1）当时，方程整理得，只有2个根，不满足条件；
（2）若，则当时，方程整理得，
则，，此时各有1解，
故当时，方程整理得，
有1解同时有2解，即需，，因为（2），故此时满足题意；
或有2解同时有1解，则需，由（1）可知不成立；
或有3解同时有0解，根据图象不存在此种情况，
或有0解同时有3解，则，解得，
故，
（3）若，显然当时，和均无解，
当时，和无解，不符合题意．
综上：的范围是，
故答案为：，
【点睛】
本题主要考查了函数零点与函数图象的关系，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题．
15、7
【解析】
根据题意，当时，，可得，进而得数列为等比数列，再计算可得，进而可得结论.
【详解】
由题意，当时，，又，解得，
当时，由，
所以，，即，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，故，
又，，
所以，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了数列递推关系、函数求值，考查了推理能力与计算能力，计算得是解决本题的关键，属于中档题.
16、
【解析】
根据正弦定理得，根据余弦定理得2PF1•PF2cs∠F1PF23，联立方程得到，计算得到答案.
【详解】
∵△PF1F2中，sin∠PF1F2═，sin∠PF1F2═，∴由正弦定理得，①
又∵，tan∠PF2F1＝﹣2，
∴tan∠F1PF2＝﹣tan（∠PF2F1+∠PF1F2），可得cs∠F1PF2，
△PF1F2中用余弦定理，得2PF1•PF2cs∠F1PF23，②
①②联解，得，可得，
∴双曲线的，结合，得离心率.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）3；（2）；（3）见解析.
【解析】
（1）依据下标的关系，有，，两式相加，即可求出；（2）依据等比数列的通项公式知，求出首项和公比即可。利用关系式，列出方程，可以解出首项和公比；（3）利用等差数列的定义，即可证出。
【详解】
（1）因为对任意，都有，所以，，两式相加，，解得；
（2）设等比数列的首项为，公比为，因为对任意，都有，
所以有，解得，又 ，
即有，化简得，，即，
或，因为，化简得，所以
故。
（3）因为对任意，都有，所以有
，成等差数列，设公差为，
，， ，
，由等差数列的定义知，
也成等差数列。
【点睛】
本题主要考查等差、等比数列的定义以及赋值法的应用，意在考查学生的逻辑推理，数学建模，综合运用数列知识的能力。
18、（1）模型的拟合程度更好；（2）（i）；（ii）亿元.
【解析】
（1）由相关系数求出两个系数，比较大小可得；
（2）（i）先建立关于的线性回归方程，从而得出关于的回归方程；
（ii）把代入（i）中的回归方程可得值．
【详解】
本小题主要考查回归分析等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、抽象概括能力及应用意识,考查统计与概率思想、分类与整合思想,考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养,体现基础性、综合性与应用性．
解：（1），
，
则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好
（2）（i）先建立关于的线性回归方程.
由，得，即．
由于，
所以关于的线性回归方程为，
所以，则
（ii）下一年销售额需达到90亿元，即，
代入得，，
又，所以，
所以，
所以预测下一年的研发资金投入量约是亿元
【点睛】
本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性与应用性
19、（1）；（2）分布列见详解，期望为；（3）余下所有零件不用检验，理由见详解.
【解析】
（1）计算的频率，并且与进行比较，判断中位数落在的区间，然后根据频率的计算方法，可得结果.
（2）计算位于之外的零件中随机抽取个的总数，写出所有可能取值，并计算相对应的概率，列出分布列，计算期望，可得结果.
（3）计算整箱的费用，根据余下零件个数服从二项分布，可得余下零件个数的期望值，然后计算整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值，进行比较，可得结果.
【详解】
（1）尺寸在的频率：
尺寸在的频率：
且
所以可知尺寸的中位数落在
假设尺寸中位数为
所以
所以这个零件尺寸的中位数
（2）尺寸在的个数为
尺寸在的个数为
的所有可能取值为1，2，3，4
则，
，
所以的分布列为
（3）二等品的概率为
如果对余下的零件进行检验则整箱的检验费用为
（元）
余下二等品的个数期望值为
如果不对余下的零件进行检验，
整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值为
（元）
所以，所以可以不对余下的零件进行检验.
【点睛】
本题考查频率分布直方图的应用，掌握中位数，平均数，众数的计算方法，中位数的理解应该从中位数开始左右两边的频率各为0.5，考验分析能力以及数据处理，属中档题.
20、 (1) (2)4
【解析】
（1）将点P横坐标代入抛物线中求得点P的坐标，利用点P到准线的距离d和勾股定理列方程求出p的值即可；（2）设A、B点坐标以及直线AB的方程，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，以及垂直关系，得出关系式，计算的值即可．
【详解】
（1）将点P横坐标代入中，求得，
∴P（2，），，
点P到准线的距离为，
∴，
∴，
解得，∴，
∴抛物线C的方程为：；
（2）抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为，；
设，
直线AB的方程为，代入抛物线方程可得，
∴，…①
由，可得，
又，，
∴，
∴，
即，
∴，…②
把①代入②得，，
则．
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线与圆的方程应用问题，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
21、（1）（2）
【解析】
（1）求得，根据已知条件得到在恒成立，由此得到在恒成立，利用分离常数法求得的取值范围.
（2）构造函数设，利用求二阶导数的方法，结合恒成立，求得的取值范围，由此求得的最小值.
【详解】
（1）
因为在上单调递增，所以在恒成立，
即在恒成立，
当时，上式成立，
当，有，需，
而，，，，故
综上，实数的取值范围是
（2）设，，则，
令，
，在单调递增，也就是在单调递增，
所以.
当即时，，不符合；
当即时，，符合
当即时，根据零点存在定理，，使，有时，，在单调递减，时，，在单调递增，成立，故只需即可，有，得，符合
综上得，，实数的最小值为
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
22、（1），（2）
【解析】
（1）利用互化公式把曲线C化成直角坐标方程，把点P的极坐标化成直角坐标；
（2）把直线l的参数方程的标准形式代入曲线C的直角坐标方程，根据韦达定理以及参数t的几何意义可得．
【详解】
（1）由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ＝2，将ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入上式并整理得曲线C的直角坐标方程为y2＝1，
设点P的直角坐标为（x，y），因为P的极坐标为（，），
所以x＝ρcsθcs1，y＝ρsinθsin1，
所以点P的直角坐标为（1，1）．
（2）将代入y2＝1，并整理得41t2+110t+25＝0，
因为△＝1102﹣4×41×25＝8000＞0，故可设方程的两根为t1，t2，
则t1，t2为A，B对应的参数，且t1+t2，
依题意，点M对应的参数为，
所以|PM|＝||．
【点睛】
本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．