2026届安徽省蚌埠市第二中学高三压轴卷数学试卷含解析

这是一份2026届安徽省蚌埠市第二中学高三压轴卷数学试卷含解析，共12页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，偶函数关于点对称，当时，，求，已知复数满足，且，则等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．设，是方程的两个不等实数根，记（）.下列两个命题（ ）
①数列的任意一项都是正整数；
②数列存在某一项是5的倍数.
A．①正确，②错误B．①错误，②正确
C．①②都正确D．①②都错误
3．等差数列中，，，则数列前6项和为（）
A．18B．24C．36D．72
4．设为等差数列的前项和，若，则
A．B．
C．D．
5．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月）变化图表，则以下说法错误的是（ ）
（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）
A．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均
B．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102
C．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小
D．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势
6．偶函数关于点对称，当时，，求（ ）
A．B．C．D．
7．已知复数满足，且，则（ ）
A．3B．C．D．
8．如图，正三棱柱各条棱的长度均相等，为的中点，分别是线段和线段的动点（含端点），且满足，当运动时，下列结论中不正确的是
A．在内总存在与平面平行的线段
B．平面平面
C．三棱锥的体积为定值
D．可能为直角三角形
9．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若点在角的终边上，则（ ）
A．B．C．D．
10．在三棱锥中，，，，，点到底面的距离为2，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
11．一物体作变速直线运动，其曲线如图所示，则该物体在间的运动路程为（ ）m．
A．1B．C．D．2
12．设点，，不共线，则“”是“”（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，某市一学校位于该市火车站北偏东方向，且，已知是经过火车站的两条互相垂直的笔直公路，CE,DF及圆弧都是学校道路，其中，，以学校为圆心，半径为的四分之一圆弧分别与相切于点.当地政府欲投资开发区域发展经济，其中分别在公路上，且与圆弧相切，设，的面积为.
（1）求关于的函数解析式；
（2）当为何值时，面积为最小，政府投资最低？
14．已知函数若关于的不等式的解集为，则实数的所有可能值之和为_______.
15．运行下面的算法伪代码，输出的结果为_____．
16．数列的前项和为 ，则数列的前项和_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列满足，且，，成等比数列．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，，求数列的前n项和．
18．（12分）如图，已知正方形所在平面与梯形所在平面垂直，BM∥AN，，，．
（1）证明：平面；
（2）求点N到平面CDM的距离．
19．（12分）已知函数，,使得对任意两个不等的正实数，都有恒成立.
（1）求的解析式；
（2）若方程有两个实根，且，求证：.
20．（12分）已知点，且，满足条件的点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）是否存在过点的直线，直线与曲线相交于两点，直线与轴分别交于两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知函数.
（1）当时，求函数的值域.
（2）设函数，若，且的最小值为，求实数的取值范围.
22．（10分）已知数列的各项均为正数，且满足.
（1）求，及的通项公式；
（2）求数列的前项和.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
化简复数为、的形式，可以确定对应的点位于的象限．
【详解】
解：复数
故复数对应的坐标为位于第三象限
故选：．
【点睛】
本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题．
2、A
【解析】
利用韦达定理可得,,结合可推出,再计算出,,从而推出①正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误.
【详解】
因为,是方程的两个不等实数根,
所以,,
因为,
所以
,
即当时,数列中的任一项都等于其前两项之和,
又,,
所以,,,
以此类推,即可知数列的任意一项都是正整数,故①正确;
若数列存在某一项是5的倍数,则此项个位数字应当为0或5,
由,,依次计算可知,
数列中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期,
故数列中不存在个位数字为0或5的项,故②错误;
故选:A.
【点睛】
本题主要考查数列递推公式的推导,考查数列性质的应用,考查学生的综合分析以及计算能力.
3、C
【解析】
由等差数列的性质可得，根据等差数列的前项和公式可得结果.
【详解】
∵等差数列中，，∴，即，
∴，
故选C.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前项和公式的应用，属于基础题.
4、C
【解析】
根据等差数列的性质可得，即，
所以，故选C．
5、D
【解析】
采用逐一验证法，根据图表，可得结果.
【详解】
A正确，从图表二可知，
3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大
B正确，从图表二可知，
4月份只有北京市居民消费价格指数低于102
C正确，从图表一中可知，
只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大
D错误，从图表一可知
上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势
故选：D
【点睛】
本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题.
6、D
【解析】
推导出函数是以为周期的周期函数，由此可得出，代值计算即可.
【详解】
由于偶函数的图象关于点对称，则，，
，则，
所以，函数是以为周期的周期函数，
由于当时，，则.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
7、C
【解析】
设,则,利用和求得,即可.
【详解】
设,则,
因为,则,所以,
又,即,所以,
所以,
故选:C
【点睛】
本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用.
8、D
【解析】
A项用平行于平面ABC的平面与平面MDN相交，则交线与平面ABC平行；
B项利用线面垂直的判定定理；
C项三棱锥与三棱锥体积相等，三棱锥的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;
D项用反证法说明三角形DMN不可能是直角三角形.
【详解】
A项，用平行于平面ABC的平面截平面MND，则交线平行于平面ABC，故正确；
B项，如图：
当M、N分别在BB1、CC1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面，故正确；
C项,当M、N分别在BB1、CC1上运动时,△A1DM的面积不变,N到平面A1DM的距离不变,所以棱锥N-A1DM的体积不变,即三棱锥A1-DMN的体积为定值,故正确；
D项,若△DMN为直角三角形,则必是以∠MDN为直角的直角三角形,但MN的最大值为BC1,而此时DM,DN的长大于BB1,所以△DMN不可能为直角三角形,故错误.
故选D
【点睛】
本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题.
9、D
【解析】
由题知，又，代入计算可得.
【详解】
由题知，又.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用求值.
10、C
【解析】
首先根据垂直关系可确定，由此可知为三棱锥外接球的球心，在中，可以算出的一个表达式，在中，可以计算出的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积．
【详解】
取中点，由，可知：，
为三棱锥外接球球心，
过作平面，交平面于，连接交于，连接，，，
，，，为的中点
由球的性质可知：平面，，且．
设，
，，
，在中，，
即，解得：，
三棱锥的外接球的半径为：，
三棱锥外接球的表面积为．
故选：.
【点睛】
本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.
11、C
【解析】
由图像用分段函数表示，该物体在间的运动路程可用定积分表示，计算即得解
【详解】
由题中图像可得，
由变速直线运动的路程公式，可得
．
所以物体在间的运动路程是．
故选：C
【点睛】
本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.
12、C
【解析】
利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可.
【详解】
由于点，，不共线，则“”；
故“”是“”的充分必要条件.
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、（1）；（2）.
【解析】
（1）以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则，在中，设，又，故，，进而表示直线的方程，由直线与圆相切构建关系化简整理得，即可表示OA,OB，最后由三角形面积公式表示面积即可；
（2）令，则，由辅助角公式和三角函数值域可求得t的取值范围，进而对原面积的函数用含t的表达式换元，再令进行换元，并构建新的函数，由二次函数性质即可求得最小值.
【详解】
解：（1）以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则，在中，设，又，故，.
所以直线的方程为，即.
因为直线与圆相切，
所以.
因为点在直线的上方，
所以，
所以式可化为，解得.
所以，.
所以面积为.
（2）令，则，
且，
所以，.
令，，所以在上单调递减.
所以，当，即时，取得最大值，取最小值.
答：当时，面积为最小，政府投资最低.
【点睛】
本题考查三角函数的实际应用，应优先结合实际建立合适的数学模型，再按模型求最值，属于难题.
14、
【解析】
由分段函数可得不满足题意；时，，可得，即有，解方程可得，4，结合指数函数的图象和二次函数的图象即可得到所求和．
【详解】
解：由函数，可得
的增区间为，，
时，，，时，，
当关于的不等式的解集为，，
可得不成立，
时，时，不成立；
，即为，
可得，即有，
显然，4成立；由和的图象可得在仅有两个交点．
综上可得的所有值的和为1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查分段函数的图象和性质，考查不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查化简运算能力，属于中档题．
15、
【解析】
模拟程序的运行过程知该程序运行后计算并输出的值,用裂项相消法求和即可.
【详解】
模拟程序的运行过程知,该程序运行后执行：
.
故答案为:
【点睛】
本题考查算法语句中的循环语句和裂项相消法求和;掌握循环体执行的次数是求解本题的关键;属于基础题.
16、
【解析】
解： 两式作差，得 ，经过检验得出数列的通项公式，进而求得 的通项公式， 裂项相消求和即可．
【详解】
解：
两式作差，得
化简得 ，
检验：当n=1时， ，所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列； ，，
令

故填： ．
【点睛】
本题考查求数列的通项公式，裂项相消求数列的前n项和，解题过程中需要注意n的范围以及对特殊项的讨论，侧重考查运算能力．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）因为，所以，所以，
所以数列是等差数列，
设数列的公差为，由可得，
因为成等比数列，所以，所以，所以，
因为，所以，
解得（舍去）或，所以，所以．
（2）由（1）知，，
所以，
所以．
18、（1）证明见解析 （2）
【解析】
（1）因为正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，平面平面，，所以平面ABMN，
因为平面ABMN，平面ABMN，所以，，
因为，所以，
因为，所以，所以，
因为在直角梯形ABMN中，，所以，
所以，所以，因为，所以平面．
（2）如图，取BM的中点E，则，
又BM∥AN，所以四边形ABEN是平行四边形，所以NE∥AB，
又AB∥CD，所以NE∥CD，因为平面CDM，平面CDM，所以NE∥平面CDM，
所以点N到平面CDM的距离与点E到平面CDM的距离相等，
设点N到平面CDM的距离为h，由可得点B到平面CDM的距离为2h，
由题易得平面BCM，所以，且，
所以，
又，所以由可得，
解得，所以点N到平面CDM的距离为．
19、（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）根据题意，在上单调递减，求导得，分类讨论的单调性，结合题意，得出的解析式；
（2）由为方程的两个实根，得出，，两式相减，分别算出和，利用换元法令和构造函数，根据导数研究单调性，求出，即可证出结论.
【详解】
（1）根据题意，对任意两个不等的正实数，都有恒成立.
则在上单调递减，
因为，
当时，在内单调递减.，
当时，由，有，
此时，当时，单调递减，
当时，单调递增，
综上，，所以.
（2）由为方程的两个实根，
得，
两式相减，可得，
因此，
令，由，得，
则，
构造函数.
则，
所以函数在上单调递增，
故，
即， 可知，
故，命题得证.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性求函数的解析式、以及利用构造函数法证明不等式，考查转化思想、解题分析能力和计算能力.
20、（1）（2）存在， 或．
【解析】
（1）由得看成到两定点的和为定值，满足椭圆定义，用定义可解曲线的方程.
（2）先讨论斜率不存在情况是否符合题意，当直线的斜率存在时，设直线点斜式方程，由，可得，再直线与椭圆联解，利用根的判别式得到关于的一元二次方程求解.
【详解】
解：设，
由， ，
可得，即为，
由，可得的轨迹是以为焦点，且的椭圆，
由，可得，可得曲线的方程为；
假设存在过点的直线l符合题意．
当直线的斜率不存在，设方程为，可得为短轴的两个端点，
不成立；
当直线的斜率存在时，设方程为，
由，可得，即，
可得，化为，
由可得，
由在椭圆内，可得直线与椭圆相交，
，
则
化为，即为，解得，
所以存在直线符合题意，且方程为或．
【点睛】
本题考查求轨迹方程及直线与圆锥曲线位置关系问题. （1）定义法求轨迹方程的思路:应用定义法求轨迹方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解；（2）解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）令，求出的范围，再由指数函数的单调性，即可求出结论；
（2）对分类讨论，分别求出以及的最小值或范围，与的最小值建立方程关系，求出的值，进而求出的取值关系.
【详解】
（1）当时，，
令，
∵∴，
而是增函数，∴，
∴函数的值域是.
（2）当时，则在上单调递减，
在上单调递增，所以的最小值为，
在上单调递增，最小值为，
而的最小值为，所以这种情况不可能.
当时，则在上单调递减且没有最小值，
在上单调递增最小值为，
所以的最小值为，解得（满足题意），
所以，解得.
所以实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查复合函数的值域与分段函数的最值，熟练掌握二次函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.
22、（1）；.；（2）
【解析】
（1）根据题意，知，且，令和即可求出，，以及运用递推关系求出的通项公式；
（2）通过定义法证明出是首项为8，公比为4的等比数列，利用等比数列的前项和公式，即可求得的前项和.
【详解】
解：（1）由题可知，，且，
当时，，则，
当时，，，
由已知可得，且，
∴的通项公式：.
（2）设，则，
所以，，
得是首项为8，公比为4的等比数列，
所以数列的前项和为：
，
即，
所以数列的前项和：.
【点睛】
本题考查通过递推关系求数列的通项公式，以及等比数列的前项和公式，考查计算能力.