2026届安徽省安庆市第十中学高三（最后冲刺）数学试卷含解析

这是一份2026届安徽省安庆市第十中学高三（最后冲刺）数学试卷含解析，共17页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，双曲线的渐近线方程是等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在等差数列中，若为前项和，，则的值是（ ）
A．156B．124C．136D．180
2．若P是的充分不必要条件，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知命题，那么为（ ）
A．B．
C．D．
4．圆锥底面半径为，高为，是一条母线，点是底面圆周上一点，则点到所在直线的距离的最大值是（ ）
A．B．C．D．
5．已知P是双曲线渐近线上一点，，是双曲线的左、右焦点，，记，PO，的斜率为，k，，若，-2k，成等差数列，则此双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为( )
A．B．C．D．
7．已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )
A．B．C．6D．与点O的位置有关
10．单位正方体ABCD-，黑、白两蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA1→A1D1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（iN*）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ）
A．1B．C．D．0
11．已知若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a的值为 （ ）
A．B．C．D．
12．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的-一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的关系为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设数列的前项和为，且对任意正整数，都有，则___
14．在矩形中，，为的中点，将和分别沿，翻折，使点与重合于点.若，则三棱锥的外接球的表面积为_____.
15．若，则____.
16．一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动，则容器体积的最小值为_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的右焦点为，离心率为.
（1）若，求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于、两点，、分别为线段、的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.
18．（12分）以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，已知曲线，曲线（为参数），求曲线交点的直角坐标.
19．（12分）设椭圆：的右焦点为，右顶点为，已知椭圆离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线斜率的取值范围.
20．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距为2，且经过点，斜率为的直线经过点，与椭圆交于，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围，如果不存在，请说明理由.
21．（12分）已知，，且.
（1）求的最小值；
（2）证明：.
22．（10分）已知是各项都为正数的数列，其前项和为，且为与的等差中项．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设，求的前100项和．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
因为，可得，根据等差数列前项和，即可求得答案.
【详解】
，
，
.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了求等差数列前项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
2、B
【解析】
试题分析：通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可．
由p是的充分不必要条件知“若p则”为真，“若则p”为假，根据互为逆否命题的等价性知，“若q则”为真，“若则q”为假，故选B．
考点：逻辑命题
3、B
【解析】
利用特称命题的否定分析解答得解.
【详解】
已知命题，，那么是.
故选：．
【点睛】
本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
4、C
【解析】
分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解的位置，推出结果即可.
详解：圆锥底面半径为，高为2，是一条母线，点是底面圆周上一点，在底面的射影为；，，过的轴截面如图：
，过作于，则，在底面圆周，选择，使得，则到的距离的最大值为3，故选：C
点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题．
5、B
【解析】
求得双曲线的一条渐近线方程，设出的坐标，由题意求得，运用直线的斜率公式可得，，，再由等差数列中项性质和离心率公式，计算可得所求值．
【详解】
设双曲线的一条渐近线方程为，
且，由，可得以为圆心，为半径的圆与渐近线交于，
可得，可取，则，
设，，则，，，
由，，成等差数列，可得，
化为，即，
可得，
故选：．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
6、A
【解析】
利用计算即可，其中表示事件A所包含的基本事件个数，为基本事件总数.
【详解】
从7本作业本中任取两本共有种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有种不同结果，
由古典概型的概率计算公式，小明取到的均是自己的作业本的概率为.
故选：A.
【点睛】
本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.
7、B
【解析】
直接利用向量的坐标运算得到向量的坐标，利用求得参数m，再用计算即可.
【详解】
依题意，， 而， 即， 解得， 则.
故选：B.
【点睛】
本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想.
8、C
【解析】
根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程.
【详解】
由题意可知，双曲线的渐近线方程是.
故选：C.
【点睛】
本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用．
9、B
【解析】
根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论.
【详解】
如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的，
正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形，
顶点O在平面上，高为2，
所以四棱锥的体积为，
所以该几何体的体积为.
故选:B.
【点睛】
本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题.
10、B
【解析】
根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬1步回到起点，周期为1．计算黑蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离．
【详解】
由题意,白蚂蚁爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，
即过1段后又回到起点，
可以看作以1为周期，
由，
白蚂蚁爬完2020段后到回到C点；
同理,黑蚂蚁爬行路线为AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA，
黑蚂蚁爬完2020段后回到D1点，
所以它们此时的距离为.
故选B.
【点睛】
本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于中等题.
11、A
【解析】
根据复数的乘法运算法则化简可得，根据纯虚数的概念可得结果.
【详解】
由题可知原式为，该复数为纯虚数，
所以.
故选：A
【点睛】
本题考查复数的运算和复数的分类，属基础题.
12、A
【解析】
设椭圆的半长轴长为，双曲线的半长轴长为，根据椭圆和双曲线的定义得： ，解得，然后在中，由余弦定理得：，化简求解.
【详解】
设椭圆的长半轴长为，双曲线的长半轴长为 ，
由椭圆和双曲线的定义得： ，
解得，设，
在中，由余弦定理得： ，
化简得，
即.
故选：A
【点睛】
本题主要考查椭圆，双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
利用行列式定义，得到与的关系，赋值，即可求出结果。
【详解】
由，令，
得，解得。
【点睛】
本题主要考查行列式定义的应用。
14、.
【解析】
计算外接圆的半径，并假设外接球的半径为R，可得球心在过外接圆圆心且垂直圆面的垂线上，然后根据面，即可得解.
【详解】
由题意可知，，
所以可得面，
设外接圆的半径为，
由正弦定理可得，即，，
设三棱锥外接球的半径，
因为外接球的球心为过底面圆心垂直于底面的直线与中截面的交点，
则，
所以外接球的表面积为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查三棱锥的外接球的应用，属于中档题.
15、
【解析】
由， 得出，根据两角和与差的正弦公式和余弦公式化简，再利用齐次式即可求出结果.
【详解】
因为， 所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查三角函数化简求值，利用二倍角正切公式、两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及运用齐次式求值，属于对公式的考查以及对计算能力的考查.
16、
【解析】
一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动,则圆柱形容器的底面直径及高的最小值均等于长方体的体对角线的长,长方体的体对角线的长为,所以容器体积的最小值为.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）由椭圆的离心率求出、的值，由此可求得椭圆的方程；
（2）设点、，联立直线与椭圆的方程，列出韦达定理，由题意得出，可得出，
【详解】
（1）由题意得，，.
又因为，，所以椭圆的方程为；
（2）由，得.
设、，所以，，
依题意，，易知，四边形为平行四边形，所以.
因为，，
所以.
即，将其整理为.
因为，所以，.
所以，即.
【点睛】
本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，考查计算能力，属于中等题.
18、
【解析】
利用极坐标方程与普通方程、参数方程间的互化公式化简即可.
【详解】
因为，所以，
所以曲线的直角坐标方程为.
由，得，
所以曲线的普通方程为.
由，得，
所以（舍），
所以，
所以曲线的交点坐标为.
【点睛】
本题考查极坐标方程与普通方程，参数方程与普通方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题.
19、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由题意可得，，，解得即可求出椭圆的C的方程；
（Ⅱ）由已知设直线l的方程为y=k (x-2) ，(k≠0)， 联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF,解得.由方程组消去y，解得，由,得到,转化为关于k的不等式，求得k的范围.
【详解】
（Ⅰ）因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为3，
所以，
因为椭圆离心率为，所以，
又，
解得，，，
所以椭圆的方程为；
（Ⅱ）设直线的斜率为，则，设，
由得，
解得，或，由题意得，
从而，
由（Ⅰ）知，，设，
所以，，
因为，所以，
所以，解得，
所以直线的方程为，
设，由消去，解得，
在中，，
即，
所以，即，
解得，或.
所以直线的斜率的取值范围为.
【点睛】
本题考查在直线与椭圆的位置关系中由已知条件求直线的斜率取值范围问题，还考查了由离心率求椭圆的标准方程，属于难题.
20、（1）（2）存在；实数的取值范围是
【解析】
（1）根据椭圆定义计算，再根据，，的关系计算即可得出椭圆方程；（2）设直线方程为，与椭圆方程联立方程组，求出的范围，根据根与系数的关系求出的中点坐标，求出的中垂线与轴的交点横，得出关于的函数，利用基本不等式得出的范围．
【详解】
（1）由题意可知，，．
又，
，，
椭圆的方程为：．
（2）若存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形，
则为线段的中垂线与轴的交点．
设直线的方程为：，，，，，
联立方程组，消元得：，
△，又，故．
由根与系数的关系可得，设的中点为，，
则，，
线段的中垂线方程为：，
令可得，即．
，故，当且仅当即时取等号，
，且．
的取值范围是，．
【点睛】
本题主要考查了椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．
21、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）利用基本不等式即可求得最小值；
（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证．
【详解】
（1），当且仅当“”时取等号，
故的最小值为；
（2），
当且仅当时取等号，此时．
故．
【点睛】
本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题．
22、（1）证明见解析； （2）.
【解析】
（1）利用已知条件化简出，当时，，当时，再利用进行化简，得出，即可证明出为等差数列；
（2）根据（1）中，求出数列的通项公式，再化简出，可直接求出的前100项和．
【详解】
解：（1）由题意知，即，①
当时，由①式可得；
又时，有，
代入①式得，
整理得，
∴是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）由（1）可得，
∵是各项都为正数，∴，
∴，
又，
∴，
则，
，
即：.
∴的前100项和．
【点睛】
本题考查数列递推关系的应用，通项公式的求法以及裂项相消法求和，考查分析解题能力和计算能力.