2026年陕西榆林市高新区初中学业水平考试模拟卷九年级数学

这是一份2026年陕西榆林市高新区初中学业水平考试模拟卷九年级数学，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各数中，是无理数的是( )
A. 4B. 113C. 5D. −2
2.下列图形中不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，AB//CD，AE平分∠BAC交CD于点E，若∠ACD=80 ∘，则∠BAE等于( )
A. 40 ∘B. 50 ∘C. 60 ∘D. 80 ∘
4.下列运算结果正确的是( )
A. x−y2=x2−y2B. n6÷n2=n3
C. a33=a6D. 3m2⋅2m2=6m4
5.将一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的图象向下平移2个单位后，其图象经过点Am,1和点B2,n，且点A与点B关于原点对称，则k、b的值分别为( )
A. k=12，b=2B. k=−12，b=−2
C. k=−12，b=2D. k=12，b=−2
6.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90 ∘，点M是边AB的中点，过点M作BC的平行线交AC于点N，延长CB到点D，使BD=12BC，连接DM.若DM=4，则AC的长为( )
A. 8B. 7C. 6D. 5
7.如图，在矩形ABCD中，AD=1，CP平分∠BCD，交AB于点P，连接DP，PD恰好平分∠APC，则AP的长为( )
A. 2−1B. 2−12C. 22D. 1− 22
8.已知二次函数y=ax2+6ax+b(a、b为常数，a≠0)，若其图象上有两点Am−1,n，Bm+1,n，则m的值为( )
A. −6B. −4C. 3D. −3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.不等式x−12≥1的解集为 .
10.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 .
11.中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：“今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、琎价各几何．”其大意是今有人合伙买琎石，每人出12钱，会多出4钱；每人出13钱，又差了3钱．问人数、琎价各是多少．设人数为x，则可列方程为 .
12.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在AB下方的⊙O上，点E为劣弧BC⌢上一点，连接BE、DE、CD，若∠BED=50 ∘，则∠ACD的度数为 ∘.
13.已知点Am,2和点Bn,−2都是反比例函数y=kx(k为常数，且k≠0)的图象上的点，则m+n的值为 .
14.如图，在菱形ABCD中，连接AC，AB=4，∠B=60 ∘，点M、N分别是边CD、AD的中点，连接MN，点P在菱形的边上，且△PMN是以MN为斜边的直角三角形，则AP的长为 .
三、计算题：本大题共2小题，共6分。
15.计算：1− 2+−20260+ 8.
16.解方程：x+1x−1+4x2−1=1.
四、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题3分)
先化简，再求值：x+yx−y−xx−2y+y2，其中x=2，y=12.
18.(本小题3分)
如图，已知△ABC，请用尺规作图法求作一点P，使得点P到AB、AC的距离相等，且BP//AC(不写作法，保留作图痕迹)
19.(本小题3分)
如图，在△ABC中，点E为AC边上一点，且AE=BA，过点E作ED//AB，ED=AC，连接AD.求证：∠D=∠C.
20.(本小题9分)
聚焦“双减”落地，凸显“特色”作业.寒假期间，某校为学生制定了四类假期实践作业：非遗传承人、运动打卡师、睡眠科学家、今天我当家(四类中必选并只选一类).为公平起见，学校制作了一个如图所示的可以自由转动的均匀转盘，指针固定不动，转盘被分成了大小相同的4个扇形，并在每个扇形区域分别标上A.非遗传承人；B.运动打卡师；C.睡眠科学家；D.今天我当家．每位学生转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在哪个区域即为该学生要完成的实践作业(若指针落在分界线上，则重转，直到指针指向某一扇形区域内为止).
(1)事件“随机转动转盘一次，转盘停止后，指针恰好落在A.非遗传承人区域”属于 事件；(填“必然”“不可能”或“随机”)
(2)妙妙和婷婷是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求她们完成不同类型实践作业的概率．
21.(本小题9分)
【问题背景】西安奥体中心体育场宛如一朵硕大的“石榴花”(如图1)，被命名为“长安花”，寓意“丝路启航，盛世之花”．某数学兴趣小组的同学利用学过的数学知识在综合实践活动中测量“长安花”最高点到地面的高度．
【测量过程】如图2，甲同学在D处利用高度为1m的测角仪CD测得“长安花”最高点A的仰角α.乙同学在G处放置一块平面镜(大小忽略不计)，并从点G处沿BD方向移动至点F处，恰好在平面镜中看到“长安花”最高点A的像．
【测量数据】EF=1.6m，FG=2.4m，DG=68m.
【参考数据】sinα≈0.95，csα≈0.32，tanα≈3.00.
已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，点B、D、G、F在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你根据以上信息求出“长安花”最高点到地面的高度AB.
22.(本小题9分)
务农重本，国之大纲．广袤的乡村大地生机勃勃，中国式现代化的美好未来令人憧憬，大棚草莓迎来丰产季．某草莓园推出采摘草莓优惠活动，已知游客当天在该草莓园采摘x千克草莓所需的总费用为y元，图中的折线OAB表示y(元)与x(千克)之间的函数关系．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若一游客当天在该草莓园采摘草莓所需总费用为150元，请问他这天在该草莓园采摘了多少千克草莓？
23.(本小题9分)
“草木植成，国之富也”，中华民族自古就有爱树、植树、护树的好传统.2026年3月12日是第48个植树节．某校组织学生参加植树活动，要求每人植树4∼8棵，活动结束后随机调查了部分学生植树的棵数，并将结果绘制成如下不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图，所抽取学生植树棵数的中位数是______棵，众数是______棵；
(2)求所抽取的学生平均每人植树的棵数；
(3)若该校共有1000名学生参加此次植树活动，请你估计该校此次活动植树的总数．
24.(本小题9分)
如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，且BC⌢=2AC⌢，CM平分∠ACB交⊙O于点M，过点M作⊙O的切线，交CA的延长线于点N.
(1)求证：MN//AB；
(2)若AB=6，求CN的长．
25.(本小题9分)
背景：某校八年级在美术课上，围绕“社会公益”主题，进行了招贴画设计．如图为王芳同学设计的招贴画．
素材一：王芳先画出菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，且AC=6cm，BD=12cm.
素材二：考虑到实际需要，招贴画边缘与菱形的四边要留出一定距离．将AC以上和以下部分均设计为抛物线形状，先过距离A、C、D三点分别为1cm、1cm、2cm的E、F、P(E、F、P分别在CA、AC、OD的延长线上)三点绘制抛物线L，且OP为抛物线L的对称轴，再以EF为对称轴在EF下方作抛物线L′与L对称，抛物线L′交DB的延长线于点Q.
素材三：以AC、BD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系．过点A作AC的垂线，分别交抛物线L、L′于点M、M′，过点C作AC的垂线，分别交抛物线L、L′于点N、N′，计划沿MM′、NN′书写两列艺术字(宽度忽略不计)，并予以装饰美化．
(1)求图中抛物线L、L′的函数表达式；
(2)求书写的这两列艺术字的总高度MM′+NN′.
26.(本小题9分)
【问题探究】
(1)如图1，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且CD=8，OC=13，则AB的长是 ；
(2)如图2，已知∠AOB=30 ∘，M、N分别为射线OA、OB上的动点，P为∠AOB内一点，连接OP、PM、PN、MN，且OP为定长．当△PMN的周长取得最小值时，求∠MPN的度数；
(3)【问题解决】如图3，某地有一片圆形湿地⊙O，其中⊙O的半径为4km，现想在这片湿地上修建一个形如四边形ADBC的“探秘湿地”综合实践活动区，四边形ADBC内接于⊙O，且∠ACB=60 ∘，计划沿CD修建绿色长廊，圆心O为教育中心，教育中心O到绿色长廊CD的距离为1km.按照设计要求，现要分别在线段CA、CB上确定点M、N(不与端点重合)，沿△DMN的一周(DM、MN、DN)修建步道．为节约成本，需要DM、MN、DN三条步道的长度和(△DMN的周长)尽可能的短．请问这三条步道的长度和是否存在最小值？若存在，请求出这三条步道长度和的最小值；若不存在，请说明理由．(教育中心的大小、绿色长廊及步道的宽度均忽略不计)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【详解】解：∵选项A中， 4=2，2是整数，属于有理数，∴A不符合要求；
∵选项B中，113是分数，属于有理数，∴B不符合要求；
∵选项C中， 5是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，∴C符合要求；
∵选项D中，−2是整数，属于有理数，∴D不符合要求．
2.【答案】D
【解析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
3.【答案】B
【解析】先根据“两直线平行，同旁内角互补”求出∠BAC=100 ∘，再根据角平分线定义可得出答案．
【详解】解：∵AB//CD,∠ACD=80 ∘，
∴∠BAC+∠ACD=180 ∘，
∴∠BAC=100 ∘.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=50 ∘.
4.【答案】D
【解析】【详解】解：A、x−y2=x2−2xy+y2，原式计算错误，不符合题意；
B、n6÷n2=n6−2=n4，原式计算错误，不符合题意；
C、a33=a3×3=a9，原式计算错误，不符合题意；
D、3m2⋅2m2=6m4，原式计算正确，符合题意；
5.【答案】C
【解析】先根据关于原点对称的点的坐标特征求出点A、点B的坐标，再根据一次函数平移规律得到平移后的函数解析式，最后代入坐标解方程组即可得到k和b的值．
【详解】解：∵点Am,1与点B2,n关于原点对称，关于原点对称的点横纵坐标互为相反数，
∴m=−2,n=−1，即A−2,1,B2,−1，
一次函数y=kx+b向下平移2个单位，根据平移规律“上加下减”，得平移后解析式为y=kx+b−2，
∵平移后图象过A、B两点，将两点坐标代入得
1=−2k+b−2−1=2k+b−2，
解得：b=2，
将b=2代入1=−2k+b−2，得1=−2k，
解得k=−12，
∴k=−12,b=2.
6.【答案】A
【解析】根据三角形中位线定理得出MN 与BC 的数量及位置关系，结合已知条件证明四边形MNBD是平行四边形，从而得到BN=DM，最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．
【详解】连接BN，

∵MN//BC，
∴AMBM=ANNC，
∵点M是AB的中点，
∴AM=MB
∴AN=NC
∴N是AC中点，
∴MN是△ABC 的中位线，
∴MN=12BC，点N是AC 的中点，
∵BD=12BC，
∴MN=BD，
又∵MN//BC，
∴四边形MNBD是平行四边形，
∴BN=DM=4，
在Rt△ABC中，∠ABC=90 ∘，点N是AC 的中点，
∴AC=2BN=2×4=8.
7.【答案】A
【解析】利用矩形的性质和角平分线的定义找到∠BPC=∠PCD=45 ∘,∠APD=∠CDP，∠BPC=∠BCP=45 ∘,∠CDP=∠CPD，得到BC=BP=1,CP=CD，再根据勾股定理求出PC的长，就可以求出AP的长．
【详解】∵四边形ABCD为矩形，AD=1，
∴∠BCD=90 ∘,∠A=∠B=90 ∘,AB//CD,AD=BC=1，
∵CP平分∠BCD，PD平分∠APC
∴∠BCP=∠DCP=12∠BCD=45 ∘,∠APD=∠DOC，
∵AB//CD，
∴∠BPC=∠PCD=45 ∘,∠APD=∠CDP，
∴∠BPC=∠BCP=45 ∘,∠CDP=∠CPD，
∴BC=BP=1,CP=CD，
∵在Rt△BCP中PC= BP2+BC2= 12+12= 2，
∴CD=AB=PC= 2，
∴AP=AB−BP= 2−1.
8.【答案】D
【解析】A、 B两点的纵坐标相等，因此两点关于二次函数的对称轴对称，先求出二次函数的对称轴，再利用对称轴等于两点横坐标的中点，计算得到m的值．
【详解】解：由题意得，二次函数的对称轴为直线x=−6a2a=−3，
∵二次函数的图象上有两点Am−1,n，Bm+1,n，
∴点A和点B关于对称轴对称，
∴m−1+m+12=−3，
∴m=−3.
9.【答案】x≥3
【解析】解：x−12≥1
去分母，得x−1≥2
移项，得x≥2+1
合并同类项，得x≥3.
10.【答案】6
【解析】解：设多边形的边数为n，
根据题意得：(n−2)×180∘=360∘×2，
解得：n=6，
所以这个多边形是六边形．
故答案为：6.
本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
11.【答案】12x−4=13x+3
【解析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
根据总的钱数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设人数为x，
每人出12钱，会多出4钱，那么总的钱数为12x−4；
每人出13钱，又差了3钱，那么总的钱数为13x+3；
根据总的钱数不变，可得，12x−4=13x+3.
故答案为：12x−4=13x+3.
12.【答案】40
【解析】由AB是⊙O的直径得∠ACB=90 ∘，又∠DCB=∠DEB=50 ∘，故可得∠ACD=40 ∘.
【详解】解：∵∠BED与∠BCD都是BD⌢所对的圆周角，
∴∠BCD=∠BED=50 ∘，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90 ∘，
∴∠ACD=∠ACB−∠BCD=90 ∘−50 ∘=40 ∘.
13.【答案】0
【解析】根据反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，分别得到k与m、k与n的关系，整理即可求出m+n的值．
【详解】解：将Am,2代入y=kx得：2=km，即k=2m，
将Bn,−2代入y=kx得：−2=kn，即k=−2n，
因此可得2m=−2n，整理得2m+n=0，即m+n=0.
14.【答案】3或 13
【解析】作MP1⊥DN，交于点P1，再根据菱形的性质得AB=CD=DA=4,∠D=60 ∘，然后说明△DMN是等边三角形，可得NP1=1，进而求出答案；作NP2⊥DM，交于点P2，再说明△ACD是等边三角形，然后根据勾股定理求出AM，最后求出答案即可．
【详解】解：过点M作MP1⊥DN，交于点P1，
∵四边形ABCD是菱形，且AB=4,∠B=60 ∘，
∴AB=CD=DA=4,∠D=60 ∘.
∵点M，N是CD,AD的中点，且AB=CD=DA=4，
∴AN=DN=CM=DM=2，
∴△DMN是等边三角形，
∴NP1=12DN=1，
∴AP1=3；
过点N作NP2⊥DM，交于点P2，
∴DP2=MP2=1.
∵四边形ABCD是菱形，且AB=4,∠B=60 ∘，
∴AB=CD=DA=4,∠D=60 ∘，
∴△ACD是等边三角形．
∵点M是CD的中点，
∴AM⊥CD.
在Rt△ADM中，AM= AD2−DM2=2 3，
在Rt△AMP2中，AP2= AM2+MP 22= 13.
所以AP的长为3或 13.
15.【答案】解：1− 2+−20260+ 8
= 2−1+1+2 2
=3 2.

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】x+1x−1+4x2−1=1.
方程两边同乘(x+1)(x−1)，得(x+1)2+4=(x+1)(x−1)，
解得x=−3，检验：当x=−3时，(x+1)(x−1)≠0，∴原分式方程的解为x=−3.

【解析】【点拨】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．
17.【答案】解：x+yx−y−xx−2y+y2
=x2−y2−x2+2xy+y2
=2xy，
当x=2，y=12时，原式=2×2×12=2.

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】解：如图，点P即为所求．

【解析】作∠BAC的角平分线，与过点B作AC的平行线的交点即为点P，根据角平分线的性质定理可得点P到AB、AC的距离相等．
19.【答案】证明：∵ED//AB，
∴∠AED=∠BAC，
在△AED和△BAC中
AE=BA∠AED=∠BACED=AC，
∴△AED≌△BACSAS，
∴∠D=∠C.

【解析】由ED//AB得∠AED=∠BAC，结合已知可证△AED≌△BACSAS，即可得∠D=∠C.
20.【答案】【小题1】
随机
【小题2】
解：画树状图为：
由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中她们完成不同类型实践作业的结果数有12种，
∴她们完成不同类型实践作业的概率是1216=34.

【解析】1.
根据事件的定义求解即可；
解：∵转盘被分成了大小相同的4个扇形，
∴事件“随机转动转盘一次，转盘停止后，指针恰好落在A.非遗传承人区域”属于随机事件；
2.
先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
21.【答案】解：如图所示，过点C作CH⊥AB于点H，则四边形BDCH是矩形，
∴BD=CH,BH=CD=1m，
设BD=CH=xm，则BG=BD+DG=x+68m
在Rt△AHC中，∠ACH=α,∠AHC=90 ∘，
∴AH=CH⋅tan∠ACH=xtanα≈3xm，
∴AB=AH+BH=3x+1m；
由光的反射定律可知，∠AGB=∠EGF，
∴tan∠AGB=tan∠EGF，
∴ABBG=EFFG，
∴3x+1x+68=1.62.4，
解得x=19(已检验，是原方程的解，且符合题意)，
∴AB=3x+1=58m，
答：“长安花”最高点到地面的高度AB约为58m.

【解析】过点C作CH⊥AB于点H，则四边形BDCH是矩形，可得BD=CH,BH=CD=1m，设BD=CH=xm，则BG=x+68m，解直角三角形可推出AB=AH+BH=3x+1m；根据题意可得∠AGB=∠EGF，则tan∠AGB=tan∠EGF，据此可得方程3x+1x+68=1.62.4，解方程即可得到答案．
22.【答案】【小题1】
解：当0≤x≤4时，
设函数关系式为y=k1x，
代入点4,120，
得120=4k1，解得k1=30，
∴函数关系式为y=30x0≤x≤4；
当4