2026届安徽省巢湖市重点中学高考数学一模试卷含解析

这是一份2026届安徽省巢湖市重点中学高考数学一模试卷含解析，共17页。试卷主要包含了定义在R上的偶函数f，函数的图象大致为等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．甲乙两人有三个不同的学习小组， ， 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．某人用随机模拟的方法估计无理数的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与曲线相交于点，过作轴的垂线与轴相交于点（如图），然后向矩形内投入粒豆子，并统计出这些豆子在曲线上方的有粒，则无理数的估计值是（ ）

A．B．C．D．
4．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝﹣x﹣2，则（ ）
A．B．f（sin3）＜f（cs3）
C．D．f（2020）＞f（2019）
5．函数的图象大致为
A．B．C．D．
6．设P＝{y |y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y |y＝2x，x∈R}，则
A．P QB．Q P
C．QD．Q
7．不等式的解集记为，有下面四个命题：；；；.其中的真命题是（ ）
A．B．C．D．
8．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）
A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形
9．已知、分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点、，过点作轴的垂线，垂足恰为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10．已知非零向量满足，若夹角的余弦值为，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．或D．
11．如图所示的程序框图，若输入，，则输出的结果是（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数是定义在上的奇函数，函数满足，且时，，则（ ）
A．2B．C．1D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有满足“勾3股4弦5”，其中“股”，为“弦”上一点（不含端点），且满足勾股定理，则______.
14．直线与抛物线交于两点，若，则弦的中点到直线的距离等于________.
15．已知函数的部分图象如图所示，则的值为____________.

16．已知是抛物线上一点，是圆关于直线对称的曲线上任意一点，则的最小值为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）近年来，随着“雾霾”天出现的越来越频繁，很多人为了自己的健康，外出时选择戴口罩，在一项对人们雾霾天外出时是否戴口罩的调查中，共调查了人，其中女性人，男性人，并根据统计数据画出等高条形图如图所示：
（1）利用图形判断性别与雾霾天外出戴口罩是否有关系并说明理由；
（2）根据统计数据建立一个列联表；
（3）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩的关系.
附：
18．（12分）已知函数.
（1）若，解关于的不等式；
（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.
19．（12分）心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系中，方程（）表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴所在的直线为轴，极点为坐标原点的直角坐标系中.已知曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若曲线与相交于、、三点，求线段的长.
20．（12分）已知圆的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数），若直线与圆相切，求实数的值.
21．（12分）如图，在中，，的角平分线与交于点，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的面积.
22．（10分）某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）.抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.
（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;
（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
,选B
2、A
【解析】依题意，基本事件的总数有种，两个人参加同一个小组，方法数有种，故概率为.
3、D
【解析】
利用定积分计算出矩形中位于曲线上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于的等式，解出的表达式即可.
【详解】
在函数的解析式中，令，可得，则点，直线的方程为，
矩形中位于曲线上方区域的面积为，
矩形的面积为，
由几何概型的概率公式得，所以，.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用随机模拟的思想估算的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题.
4、B
【解析】
根据函数的周期性以及x∈[﹣3，﹣2]的解析式，可作出函数f（x）在定义域上的图象，由此结合选项判断即可.
【详解】
由f（x+2）＝f（x），得f（x）是周期函数且周期为2，
先作出f（x）在x∈[﹣3，﹣2]时的图象，然后根据周期为2依次平移，
并结合f（x）是偶函数作出f（x）在R上的图象如下，
选项A，，
所以，选项A错误；
选项B，因为，所以，
所以f（sin3）＜f（﹣cs3），即f（sin3）＜f（cs3），选项B正确；
选项C，，
所以，即，
选项C错误；
选项D，，选项D错误.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数性质的综合运用，考查函数值的大小比较，考查数形结合思想，属于中档题.
5、D
【解析】
由题可得函数的定义域为，
因为，所以函数为奇函数，排除选项B；
又，，所以排除选项A、C，故选D．
6、C
【解析】
解：因为P ={y|y=-x2+1，x∈R}={y|y1}，Q ={y| y=2x，x∈R }={y|y>0},因此选C
7、A
【解析】
作出不等式组表示的可行域，然后对四个选项一一分析可得结果.
【详解】
作出可行域如图所示，当时，，即的取值范围为，所以为真命题；
为真命题；为假命题.
故选：A
【点睛】
此题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于中档题.
8、C
【解析】
试题分析：画出截面图形如图
显然A正三角形，B正方形：D正六边形，可以画出五边形但不是正五边形；故选C．
考点：平面的基本性质及推论．
9、B
【解析】
设点位于第二象限，可求得点的坐标，再由直线与直线垂直，转化为两直线斜率之积为可得出的值，进而可求得双曲线的离心率.
【详解】
设点位于第二象限，由于轴，则点的横坐标为，纵坐标为，即点，
由题意可知，直线与直线垂直，，，
因此，双曲线的离心率为.
故选：B.
【点睛】
本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出、、的等量关系，考查计算能力，属于中等题.
10、D
【解析】
根据向量垂直则数量积为零，结合以及夹角的余弦值，即可求得参数值.
【详解】
依题意，得，即.
将代入可得，，
解得（舍去）.
故选：D.
【点睛】
本题考查向量数量积的应用，涉及由向量垂直求参数值，属基础题.
11、B
【解析】
列举出循环的每一步，可得出输出结果.
【详解】
，，不成立，，；
不成立，，；
不成立，，；
成立，输出的值为.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用程序框图计算输出结果，一般要将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题.
12、D
【解析】
说明函数是周期函数，由周期性把自变量的值变小，再结合奇偶性计算函数值．
【详解】
由知函数的周期为4，又是奇函数，
，又，∴，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与周期性，掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
先由等面积法求得，利用向量几何意义求解即可.
【详解】
由等面积法可得，依题意可得，，
所以.
故答案为：
【点睛】
本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，属于基础题.
14、
【解析】
由已知可知直线过抛物线的焦点，求出弦的中点到抛物线准线的距离，进一步得到弦的中点到直线的距离．
【详解】
解：如图，
直线过定点，，
而抛物线的焦点为，，
弦的中点到准线的距离为，
则弦的中点到直线的距离等于．
故答案为：．
【点睛】
本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，属于中档题．
15、
【解析】
由图可得的周期、振幅，即可得，再将代入可解得，进一步求得解析式及.
【详解】
由图可得，，所以，即，
又，即，，
又，故，所以，.
故答案为：
【点睛】
本题考查由图象求解析式及函数值，考查学生识图、计算等能力，是一道中档题.
16、
【解析】
由题意求出圆的对称圆的圆心坐标，求出对称圆的圆坐标到抛物线上的点的距离的最小值，减去半径即可得到的最小值.
【详解】
假设圆心关于直线对称的点为，
则有，解方程组可得，
所以曲线的方程为，圆心为，
设，则，
又，所以，
，即，所以，
故答案为：.
【点睛】
该题考查的是有关动点距离的最小值问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点，点与圆上点的距离的最小值为到圆心的距离减半径，属于中档题目.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）图形见解析，理由见解析；（2）见解析；（3）犯错误的概率不超过的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系
【解析】
（1）利用等高条形图中两个深颜色条的高比较得出性别与雾霾天外出戴口罩有关系；
（2）填写列联表即可；
（3）由表中数据，计算观测值，对照临界值得出结论．
【详解】
解：（1）在等高条形图中，两个深色条的高分别表示女性和男性中雾霾天外出戴口罩的频率，比较图中两个深色条的高可以发现，女性中雾霾天外出带口罩的频率明显高于男性中雾霾天外出带口罩的频率，因此可以认为性别与雾霾天外出带口罩有关系.
（2）列联表如下：
（3）由（2）中数据可得：.
所以，在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系.
【点睛】
本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了登高条形图的应用问题，属于基础题．
18、（1）（2）
【解析】
（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.
（2）对分成三种情况，求得的最小值，由此求得的取值范围.
【详解】
（1）当时，，
由此可知，的解集为
（2）当时，
的最小值为和中的最小值，其中，.所以恒成立.
当时，，且，不恒成立，不符合题意.
当时，，
若，则，故不恒成立，不符合题意；
若，则，故不恒成立，不符合题意.
综上，.
【点睛】
本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
19、（1）（）；（2）.
【解析】
（1）化简得到直线方程为，再利用极坐标公式计算得到答案.
（2）联立方程计算得到，，计算得到答案 .
【详解】
（1）由消得，即，
是过原点且倾斜角为的直线，∴的极坐标方程为（）.
（2）由得，∴，
由得∴，∴.
【点睛】
本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.
20、
【解析】
将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为普通方程，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求实数的值.
【详解】
由，得，
， 即圆的方程为，
又由消，得，
直线与圆相切，，．
【点睛】
本题重点考查方程的互化，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离等于半径,研究直线与圆相切.
21、（Ⅰ）;（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得，由正弦定理得，可得解；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，进而得，在中，由正弦定理得，所以的面积即可得解.
试题解析：
（Ⅰ）在中，由余弦定理得
，
所以，由正弦定理得，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.
在中， .
在中，由正弦定理得，所以.
所以的面积.
22、（1）分布见解析，期望为；（2）.
【解析】
（1）先明确X的可能取值，分别求解其概率，然后写出分布列，利用期望公式可求期望；
（2）获得的奖金恰好为60元，可能是三次二等奖，也可能是一次一等奖，两次三等奖，然后分别求解概率即可.
【详解】
（1）由题意知，随机变量X的可能取值为10，20，40
且，，
所以，
即随机变量X的概率分布为
所以随机变量X的数学期望.
（2）由题意知，赵四有三次抽奖机会，设恰好获得60元为事件A，
因为60＝20×3＝40＋10＋10，
所以．
【点睛】
本题主要考查随机变量的分布列及数学期望，明确随机变量的所有取值是求解的第一步，再求解对应的概率，侧重考查数学建模的核心素养.
戴口罩
不戴口罩
合计
女性
男性
合计
X
10
20
40
P