2026届安徽省省级示范高中高考数学一模试卷含解析

这是一份2026届安徽省省级示范高中高考数学一模试卷含解析，共20页。试卷主要包含了若复数等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知向量，且，则m=( )
A．−8B．−6
C．6D．8
3．水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的，其中 ，则绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．已知点是双曲线上一点，若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
5．已知集合A＝{x∈N|x2＜8x}，B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，则＝（ ）
A．{2，3，4，5}B．{2，3，4，5，6}
C．{1，2，3，4，5，6}D．{1，3，4，5，6，7}
6．已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若为线段中点且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A．B．3C．D．
7．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）
A．12个月的PMI值不低于50%的频率为
B．12个月的PMI值的平均值低于50%
C．12个月的PMI值的众数为49.4%
D．12个月的PMI值的中位数为50.3%
8．已知，满足，且的最大值是最小值的4倍，则的值是（ ）
A．4B．C．D．
9．如图，在直三棱柱中，，，点分别是线段的中点，，分别记二面角，，的平面角为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．若复数（）是纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
11．执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（ ）
A．8B．32C．64D．128
12．若函数满足，且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．正方体的棱长为2, 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦), 为正方体表面上的动点,当弦的长度最大时, 的取值范围是______.
14．已知，则展开式中的系数为__
15．若函数恒成立,则实数的取值范围是_____.
16．（5分）已知为实数，向量，，且，则____________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知中，角，，的对边分别为，，，已知向量，且．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，，求．
18．（12分）已知四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，丄底面.
（1）证明：平面平面；
（2）过的平面交于点，若平面把四棱锥分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值.
19．（12分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形(如图所示)，其中.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米，深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元
（1）求发酵池边长的范围；
（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和米的走道（为常数）.问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小.
20．（12分）在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若射线的极坐标方程为（）.设与相交于点，与相交于点，求.
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知平行于x轴的动直线l交抛物线C：于点P，点F为C的焦点．圆心不在y轴上的圆M与直线l，PF，x轴都相切，设M的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若直线与曲线E相切于点，过Q且垂直于的直线为，直线，分别与y轴相交于点A，当线段AB的长度最小时，求s的值．
22．（10分）某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线①：有A，B两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02，0.03.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为15万元；若A工序出现故障，则生产成本增加2万元；若B工序出现故障，则生产成本增加3万元；若A，B两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元.生产线②：有a，b两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.04，0.01.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为14万元；若a工序出现故障，则生产成本增加8万元；若b工序出现故障，则生产成本增加5万元；若a，b两道工序都出现故障，则生产成本增加13万元.
（1）若选择生产线①，求生产成本恰好为18万元的概率；
（2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.
【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.
2、D
【解析】
由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．
【详解】
∵，又，
∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝1．
故选D．
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．
3、B
【解析】
根据斜二测画法的基本原理，将平面直观图还原为原几何图形，可得，,绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体,圆锥的侧面展开图是扇形根据扇形面积公式即可求得组合体的表面积.
【详解】
根据“斜二测画法”可得，，，
绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，
它的表面积为.
故选:
【点睛】
本题考查斜二测画法的应用及组合体的表面积求法,难度较易.
4、A
【解析】
设点的坐标为，代入椭圆方程可得，然后分别求出点到两条渐近线的距离，由距离之积为，并结合，可得到的齐次方程，进而可求出离心率的值.
【详解】
设点的坐标为，有，得.
双曲线的两条渐近线方程为和，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，
所以，则，即，故，即，所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线的离心率，构造的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.
5、C
【解析】
根据集合的并集、补集的概念，可得结果.
【详解】
集合A＝{x∈N|x2＜8x}＝{x∈N|0＜x＜8}，
所以集合A＝{1，2，3，4，5，6，7}
B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，
故＝{1，4，5，6}，
所以＝{1，2，3，4，5，6}.
故选：C.
【点睛】
本题考查的是集合并集，补集的概念，属基础题.
6、B
【解析】
设，代入双曲线方程相减可得到直线的斜率与中点坐标之间的关系，从而得到的等式，求出离心率．
【详解】
，
设，则，
两式相减得，
∴，．
故选：B．
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，解题方法是点差法，即出现双曲线的弦中点坐标时，可设弦两端点坐标代入双曲线方程相减后得出弦所在直线斜率与中点坐标之间的关系．
7、D
【解析】
根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案.
【详解】
对A，从图中数据变化看，PMI值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI值不低于50%的频率为，故A正确；
对B，由图可以看出，PMI值的平均值低于50%，故B正确；
对C，12个月的PMI值的众数为49.4%，故C正确，；
对D，12个月的PMI值的中位数为49.6%，故D错误
故选：D.
【点睛】
本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题.
8、D
【解析】
试题分析：先画出可行域如图：由，得，由，得，当直线过点时，目标函数取得最大值，最大值为3；当直线过点时，目标函数取得最小值，最小值为3a；由条件得，所以，故选D.
考点：线性规划.
9、D
【解析】
过点作，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．
【详解】
解：因为，，所以，即
过点作，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，，，，0，，，1，，
，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
同理可求平面的法向量，
平面的法向量，平面的法向量．
，，．
．
故选：D．
【点睛】
本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
10、B
【解析】
化简复数，由它是纯虚数，求得，从而确定对应的点的坐标．
【详解】
是纯虚数，则，，
，对应点为，在第二象限．
故选：B．
【点睛】
本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题．
11、C
【解析】
根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解.
【详解】
由题意，执行上述程序框图，可得
第1次循环，满足判断条件，；
第2次循环，满足判断条件，；
第3次循环，满足判断条件，；
第4次循环，满足判断条件，；
不满足判断条件，输出.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12、A
【解析】
由推导出，且，将所求代数式变形为，利用基本不等式求得的取值范围，再利用函数的单调性可得出其最小值.
【详解】
函数满足，，即，
，，，即，
，则，
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立.
，
由于函数在区间上为增函数，
所以，当时，取得最小值.
故选：A.
【点睛】
本题考查代数式最值的计算，涉及对数运算性质、基本不等式以及函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由弦的长度最大可知为球的直径.由向量的线性运用表示出，即可由范围求得的取值范围.
【详解】
连接，如下图所示：
设球心为,则当弦的长度最大时，为球的直径，
由向量线性运算可知
正方体的棱长为2，则球的半径为1，，
所以
，
而
所以，
即
故答案为：.
【点睛】
本题考查了空间向量线性运算与数量积的运算，正方体内切球性质应用，属于中档题.
14、1．
【解析】
由题意求定积分得到的值，再根据乘方的意义，排列组合数的计算公式，求出展开式中的系数．
【详解】
∵已知，则，
它表示4个因式的乘积．
故其中有2个因式取，一个因式取，剩下的一个因式取1，可得的项．
故展开式中的系数．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查求定积分，乘方的意义，排列组合数的计算公式，属于中档题．
15、
【解析】
若函数恒成立，即，求导得，在三种情况下，分别讨论函数单调性，求出每种情况时的，解关于的不等式，再取并集，即得。
【详解】
由题意得,只要即可，
，
当时，令解得，
令，解得，单调递减，
令，解得，单调递增，
故在时，有最小值，，
若恒成立，
则，解得；
当时，恒成立;
当时，，单调递增，,不合题意,舍去.
综上,实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
本题考查恒成立条件下，求参数的取值范围，是常考题型。
16、5
【解析】
由，，且，得，解得，则，则．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）;（2）．
【解析】
试题分析：（1）利用已知及平面向量数量积运算可得，利用正弦定理可得，结合，可求，从而可求的值；（2）由三角形的面积可解得，利用余弦定理可得，故可得.
试题解析：（1）∵，，，
∴，
∴，
即 ，又∵，∴，
又∵，∴．
（2）∵，∴，
又，即，∴，
故．
18、（1）见证明；（2）
【解析】
（1）先证明等腰梯形中，然后证明，即可得到丄平面，从而可证明平面丄平面；（2）由，可得到，列出式子可求出，然后建立如图的空间坐标系，求出平面的法向量为，平面的法向量为，由可得到答案．
【详解】
（1）证明：在等腰梯形，，
易得
在中，，
则有，故，
又平面，平面，，
即平面，故平面丄平面.
（2）在梯形中，设，
，，
，而,
即，.
以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图的空间坐标系，则，，
设平面的法向量为，
由得，
取，得，，
同理可求得平面的法向量为，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查了两平面垂直的判定，考查了利用空间向量的方法求二面角，考查了棱锥的体积的计算，考查了空间想象能力及计算能力，属于中档题．
19、（1）（2）当时，，米时，发酵馆的占地面积最小；当时，时，发酵馆的占地面积最小；当时，米时，发酵馆的占地面积最小.
【解析】
（1）设米，总费用为，解即可得解；
（2）结合（1）可得占地面积结合导函数分类讨论即可求得最值.
【详解】
（1）由题意知:矩形面积米，
设米，则米，由题意知:，得，
设总费用为，
则，
解得:，又，故，
所以发酵池边长的范围是不小于15米，且不超过25米；
（2）设发酵馆的占地面积为由（1）知:，
①时，，在上递增，则，即米时，发酵馆的占地面积最小；
②时，，在上递减，则，即米时，发酵馆的占地面积最小；
③时，时，，递减；时，递增，
因此，即时，发酵馆的占地面积最小；
综上所述：当时，，米时，发酵馆的占地面积最小；当时，时，发酵馆的占地面积最小；当时，米时，发酵馆的占地面积最小.
【点睛】
此题考查函数模型的应用，关键在于根据题意恰当地建立模型，利用函数性质讨论最值取得的情况.
20、（1）曲线的普通方程为；直线的直角坐标方程为（2）
【解析】
（1）利用消去参数，将曲线的参数方程化成普通方程，利用互化公式，
将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）根据（1）求出曲线的极坐标方程，分别联立射线与曲线以及射线与直线的极坐标方程，求出和，即可求出.
【详解】
解：（1）因为（为参数），所以消去参数，得，
所以曲线的普通方程为.
因为所以直线的直角坐标方程为.
（2）曲线的极坐标方程为.
设的极径分别为和，
将（）代入，解得，
将（）代入，解得.
故.
【点睛】
本题考查利用消参法将参数方程化成普通方程以及利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程，还考查极径的运用和两点间距离，属于中档题.
21、（1），（2）．
【解析】
根据题意设，可得PF的方程，根据距离即可求出；
点Q处的切线的斜率存在，由对称性不妨设，根据导数的几何意义和斜率公式，求，并构造函数，利用导数求出函数的最值．
【详解】
因为抛物线C的方程为，所以F的坐标为，
设，因为圆M与x轴、直线l都相切，l平行于x轴，
所以圆M的半径为，点，
则直线PF的方程为，即，
所以，又m，，
所以，即，
所以E的方程为，，
设，，，
由知，点Q处的切线的斜率存在，由对称性不妨设，
由，所以，，
所以，，
所以，．
令，，
则，
由得，由得，
所以在区间单调递减，在单调递增，
所以当时，取得极小值也是最小值，即AB取得最小值
此时．
【点睛】
本题考查了直线和抛物线的位置关系，以及利用导数求函数最值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于难题．
22、（1）0.0294.（2）应选生产线②.见解析
【解析】
（1）由题意转化条件得A工序不出现故障B工序出现故障，利用相互独立事件的概率公式即可得解；
（2）分别算出两个生产线增加的生产成本的期望，进而求出两个生产线的生产成本期望值，比较期望值即可得解.
【详解】
（1）若选择生产线①，生产成本恰好为18万元，即A工序不出现故障B工序出现故障，故所求的概率为.
（2）若选择生产线①，设增加的生产成本为(万元)，则的可能取值为0，2，3，5.
，
，
,
,
所以万元；
故选生产线①的生产成本期望值为 (万元).
若选生产线②，设增加的生产成本为（万元），则的可能取值为0，8，5，13.
，
，
，
，
所以，
故选生产线②的生产成本期望值为 (万元)，
故应选生产线②.
【点睛】
本题考查了相互独立事件的概率，考查了离散型随机变量期望的应用，属于中档题.