2026届安徽省安庆市第九中学高考冲刺数学模拟试题含解析

这是一份2026届安徽省安庆市第九中学高考冲刺数学模拟试题含解析，共4页。试卷主要包含了已知随机变量X的分布列如下表，已知锐角满足则等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设为非零实数，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知为坐标原点，角的终边经过点且，则( )
A．B．C．D．
3．我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实质是根据三角形的三边长，，求三角形面积，即. 若的面积，，，则等于（ ）
A．B．C．或D．或
4．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（ ）
A．PA，PB，PC两两垂直B．三棱锥P-ABC的体积为
C．D．三棱锥P-ABC的侧面积为
5．数列{an}，满足对任意的n∈N+，均有an+an+1+an+2为定值.若a7=2，a9=3，a98=4，则数列{an}的前100项的和S100=( )
A．132B．299C．68D．99
6．已知双曲线的左、右顶点分别为，点是双曲线上与不重合的动点，若， 则双曲线的离心率为( )
A．B．C．4D．2
7．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
8．已知随机变量X的分布列如下表：
其中a，b，.若X的方差对所有都成立，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知锐角满足则（ ）
A．B．C．D．
10．已知甲盒子中有个红球，个蓝球，乙盒子中有个红球，个蓝球，同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换，（a）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.（b）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为.则（ ）
A．B．
C．D．
11．函数与的图象上存在关于直线对称的点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．已知数列的前项和为，且，，则( )
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，在△ABC中，E为边AC上一点，且，P为BE上一点，且满足，则的最小值为______．
14．已知函数为奇函数，，且与图象的交点为，，…，，则______．
15．若，，则___________．
16．连续掷两次骰子，分别得到的点数作为点的坐标，则点落在圆内的概率为______________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）已知外接圆半径,求的周长.
18．（12分）已知，，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若过点的直线与曲线交于，两点，过点且与直线垂直的直线与相交于点，求的最小值及此时直线的方程.
19．（12分）已知某种细菌的适宜生长温度为12℃~27℃，为了研究该种细菌的繁殖数量（单位：个）随温度（单位：℃）变化的规律，收集数据如下：
对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示：
其中，.
（1）请绘出关于的散点图，并根据散点图判断与哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量关于温度的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表格数据，建立关于的回归方程（结果精确到0.1）；
（3）当温度为27℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二成估计分别为，，参考数据：.
20．（12分）已知函数（是自然对数的底数，）.
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（3）若函数在区间上有两个极值点，且恒成立，求满足条件的的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）.
21．（12分）设数列，的各项都是正数，为数列的前n项和，且对任意，都有，，，（e是自然对数的底数）.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
22．（10分）已知各项均不相等的等差数列的前项和为, 且成等比数列.
（1）求数列的通项公式;
（2）求数列的前项和.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
取，计算知错误，根据不等式性质知正确，得到答案.
【详解】
，故，，故正确；
取，计算知错误；
故选：.
【点睛】
本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.
2、C
【解析】
根据三角函数的定义，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出结果.
【详解】
根据题意，，解得，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力.
3、C
【解析】
将，，，代入，解得，再分类讨论，利用余弦弦定理求，再用平方关系求解.
【详解】
已知，，，
代入，
得，
即 ，
解得，
当时，由余弦弦定理得： ，.
当时，由余弦弦定理得： ， .
故选：C
【点睛】
本题主要考查余弦定理和平方关系，还考查了对数学史的理解能力，属于基础题.
4、C
【解析】
根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图，然后再计算可得.
【详解】
解：根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图如图所示，
其中D为AB的中点，底面ABC.
所以三棱锥P-ABC的体积为，
，，，
，、不可能垂直，
即不可能两两垂直，
，.
三棱锥P-ABC的侧面积为.
故正确的为C.
故选：C.
【点睛】
本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题.
5、B
【解析】
由为定值，可得，则是以3为周期的数列，求出，即求.
【详解】
对任意的，均有为定值，
，
故，
是以3为周期的数列，
故，
.
故选：.
【点睛】
本题考查周期数列求和，属于中档题.
6、D
【解析】
设，，，根据可得①，再根据又②，由①②可得，化简可得，即可求出离心率．
【详解】
解：设，，，
∵，
∴，即，①
又，②，
由①②可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
故选：D．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题．
7、A
【解析】
可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.
【详解】
由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，
丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；
假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，
乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，
所以可以断定值班人是甲.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.
8、D
【解析】
根据X的分布列列式求出期望,方差,再利用将方差变形为,从而可以利用二次函数的性质求出其最大值为,进而得出结论.
【详解】
由X的分布列可得X的期望为,
又,
所以X的方差
,
因为,所以当且仅当时,取最大值,
又对所有成立,
所以,解得,
故选:D.
【点睛】
本题综合考查了随机变量的期望､方差的求法,结合了概率､二次函数等相关知识,需要学生具备一定的计算能力,属于中档题.
9、C
【解析】
利用代入计算即可.
【详解】
由已知，，因为锐角，所以，，
即.
故选：C.
【点睛】
本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题.
10、A
【解析】
分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.
详解：根据题意有，如果交换一个球，
有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，
红球的个数就会出现三种情况；
如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，
对应的红球的个数就是五种情况，所以分析可以求得，故选A.
点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.
11、C
【解析】
由题可知，曲线与有公共点，即方程有解，可得有解，令，则，对分类讨论，得出时，取得极大值，也即为最大值，进而得出结论.
【详解】
解：由题可知，曲线与有公共点，即方程有解，
即有解，令，则，
则当时，；当时，，
故时，取得极大值，也即为最大值，
当趋近于时，趋近于，所以满足条件．
故选：C.
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化等数学思想，考查抽象概括、运算求解等数学能力，属于难题．
12、C
【解析】
根据已知条件判断出数列是等比数列，求得其通项公式，由此求得.
【详解】
由于，所以数列是等比数列，其首项为，第二项为，所以公比为.所以，所以.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
试题分析：根据题意有，因为三点共线，所以有，从而有，所以的最小值是．
考点：向量的运算，基本不等式．
【方法点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，属于中档题目，在解题的过程中，关键步骤在于对题中条件的转化，根据三点共线，结合向量的性质可知，从而等价于已知两个正数的整式形式和为定值，求分式形式和的最值的问题，两式乘积，最后应用基本不等式求得结果，最后再加，得出最后的答案．
14、18
【解析】
由题意得函数f（x）与g（x）的图像都关于点对称，结合函数的对称性进行求解即可．
【详解】
函数为奇函数，函数关于点对称，，函数关于点对称，所以两个函数图象的交点也关于点（1，2）对称，与图像的交点为，，…，,两两关于点对称， .
故答案为：18
【点睛】
本题考查了函数对称性的应用，结合函数奇偶性以及分式函数的性质求出函数的对称性是解决本题的关键，属于中档题.
15、
【解析】
因为，所以，又，所以，则，所以．
16、
【解析】
连续掷两次骰子共有种结果，列出满足条件的结果有11种，利用古典概型即得解
【详解】
由题意知，连续掷两次骰子共有种结果，
而满足条件的结果为：
共有11种结果，根据古典概型概率公式，
可得所求概率．
故答案为：
【点睛】
本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）3+3
【解析】
（1）利用余弦的二倍角公式和同角三角函数关系式化简整理并结合范围0＜A＜π，可求A的值．（2）由正弦定理可求a，利用余弦定理可得c值，即可求周长．
【详解】
（1）
，
即
又
（2） ,
∵，
∴由余弦定理得 a2＝b2+c2﹣2bccsA，
∴，
∵c＞0，所以得c=2,
∴周长a+b+c=3+3．
【点睛】
本题考查三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
18、（1）（2）的最小值为1，此时直线：
【解析】
（1）用直接法求轨迹方程，即设动点为，把已知用坐标表示并整理即得．注意取值范围；
（2）设：，将其与曲线的方程联立，消元并整理得，
设，，则可得，，由求出，
将直线方程与联立，得，求得，计算，设.显然，构造，由导数的知识求得其最小值，同时可得直线的方程.
【详解】
（1）设，则，即
整理得
（2）设：，将其与曲线的方程联立，得
即
设，，则，
将直线：与联立，得
∴
∴
设.显然
构造
在上恒成立
所以在上单调递增
所以，当且仅当，即时取“=”
即的最小值为1，此时直线：.
（注：1.如果按函数的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.）
【点睛】
本题考查求轨迹方程，考查直线与椭圆相交中的最值．直线与椭圆相交问题中常采用“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为，设直线方程，直线方程与椭圆方程联立并消元，然后用韦达定理得（或），把这个代入其他条件变形计算化简得出结论，本题属于难题，对学生的逻辑推理、运算求解能力有一定的要求．
19、（1）作图见解析；更适合（2）（3）预报值为245
【解析】
（1）由散点图即可得到答案；
（2）把两边取自然对数，得，由 计算得到，再将代入可得，最终求得，即；
（3）将代入中计算即可.
【详解】
解：（1）绘出关于的散点图，如图所示：
由散点图可知，更适合作为该种细菌的繁殖数量关于的回归方程类型；
（2）把两边取自然对数，得，
即，
由
.
∴，
则关于的回归方程为；
（3）当时，计算可得；
即温度为27℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为245.
【点睛】
本题考查求非线性回归方程及其应用的问题，考查学生数据处理能力及运算能力，是一道中档题.
20、（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）利用导数的几何意义计算即可；
（2）在上恒成立，只需，注意到；
（3）在上有两根，令，求导可得在上单调递减，在上单调递增，所以且，，，求出的范围即可.
【详解】
（1）因为，所以，
当时，，
所以切线方程为，即.
（2），.
因为函数在区间上单调递增，所以，且恒成立，
即，
所以，即，又，
故，所以实数的取值范围是.
（3）.
因为函数在区间上有两个极值点，
所以方程在上有两不等实根，即.
令，则，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得且.
又由，所以，
且当和时，单调递增，
当时，单调递减，是极值点，
此时
令，则，
所以在上单调递减，所以.
因为恒成立，所以.
若，取，则，
所以.
令，则，.
当时，；当时，.
所以，
所以在上单调递增，所以，
即存在使得，不合题意.
满足条件的的最小值为-4.
【点睛】
本题考查导数的综合应用，涉及到导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值点，不等式恒成立等知识，是一道难题.
21、（1），（2）
【解析】
（1）当时,,与作差可得,即可得到数列是首项为1,公差为1的等差数列,即可求解；对取自然对数,则,即是以1为首项,以2为公比的等比数列,即可求解；
（2）由（1）可得,再利用错位相减法求解即可.
【详解】
解:（1）因为,,①
当时,,解得；
当时,有,②
由①②得,,
又,所以,
即数列是首项为1,公差为1的等差数列,故,
又因为,且,取自然对数得,所以,
又因为,
所以是以1为首项,以2为公比的等比数列,
所以,即
（2）由（1）知,,
所以,③
,④
③减去④得:
,
所以
【点睛】
本题考查由与的关系求通项公式,考查错位相减法求数列的和.
22、（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）设公差为，列出关于的方程组，求解的值，即可得到数列的通项公式；（2）由（1）可得，即可利用裂项相消求解数列的和.
试题解析：（1）设公差为.由已知得,解得或（舍去）, 所以,故.
（2）,
考点：等差数列的通项公式；数列的求和.
X
0
1
P
a
b
c
温度/℃
14
16
18
20
22
24
26
繁殖数量/个
25
30
38
50
66
120
218
20
78
4.1
112
3.8
1590
20.5