湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120 分钟 分值：150 分
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．
1．已知集合 ， ，则 中元素的个数为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2．已知 ，则 z 的虚部为
A． B． C． 1 D．
3．已知 ， ，点 P 满足 ，则点 P 的坐标是
A． B． C． D．
4．“幂函数 在 上是减函数”是“ ”的一个( )
A． 必要不充分条件 B． 充要条件
C． 充分不必要条件 D． 既不充分也不必要条件
5．已知 ， ，则 ( )
A． B． C． D．
6． 努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为： ，
我们可以把 看作每天的进步率都是 ，而把 看作每天的落后率都是
，大约经过 天后进步的是落后的 200 倍
A． 264 B． 266 C． 268 D． 270
7．若平面 截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面 平行的棱有( )
A． 0 条 B． 1 条 C． 2 条 D． 1 条或 2 条
8．已知函数 ，若 ，且 ，则
的取值范围是
A. B. C. D.
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．已知 i 是虚数单位，z 是复数，则下列叙述正确的有
A．
B． 若 ，则
C． 若 ，则 不可能是纯虚数
D． 若 ，则在复平面内对应的点 Z 的集合确定的图形面积为
10．记锐角 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， ，则
A. B. B 的取值范围为
C. 的取值范围为 D. 的取值范围为
11．在棱长为 1 的正方体 中， ， ， ，下列结论正确
的是
A.若 时，直线 与直线 的夹角余弦值为
B. 若 时， 周长的最小值为
C. 若 时，三棱锥 的体积为定值
D. 当 时，有且仅有一个点 ，使得
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．已知圆锥的母线长为 10cm，侧面积为 ，则此圆锥的体积为
13．已知函数 在区间 上恰有 3 个最小值点，则实数 的取值范围为
．
14．已知平面向量 ， ， ，且 已知向量 与 所成的角为 ，且 对任意实数 t
恒成立，则 的最小值为 ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15． 本小题 13 分
已知函数 ， ．
当 时，求 的最值；
若 在区间 上是单调函数，求实数 a 的取值范围．
16． 本小题 15 分
已知函数
求 在 上的值域；
将 的图象向右平移 个单位长度，再把曲线上所有点的横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变 ，得
到函数 的图象，求 的单调递减区间；
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17． 本小题 15 分
已知 的周长为 L，面积为 S，内角 A、B、C 对边分别是 a、b、c，且
求角 C；
若边长 ，求 的最小值．
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18． 本小题 17 分
如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 为梯形，其中 ，且 ，点 E 为棱 PD 的中点
．
求证： 平面 PAB；
若 M 为 CE 上的动点，则线段 AD 上是否存在点 N，使得 平面 PAB？若存在，请确定点 N 的位置，
若不存在，请说明理由；
若 ， ，请在图中作出四棱锥 过点 B，E 及棱 AD 中点的截面，
并求出截面周长．
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19． 本小题 17 分
对于定义在 D 上的函数 ，若存在实数 m，使得 为奇函数，则称函数 为“位差奇
函数”．
判断 和 是否是“位差奇函数”，并说明理由．
若 ， ，且 为“位差奇函数”．
①证明： ；
②若 ，对于 ， ，求 a 的取值范围．
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