湖南省长沙市师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期第一次大练习数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期第一次大练习数学试卷（Word版附解析），共8页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120 分钟 满分：150 分
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.）
1. 下面命题中，正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
2. 在 中， ， ， ，则 为（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
3. 已知点 ， ，且 ，则点 P 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
4. 函数 满足 ，那么函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
5. 设 的内角 所对的边分别为 ，且 ， ，若 面积的最大值为
，则实数 的值为（ ）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 2
6. 如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥轴截面顶角的正
弦值是（ ）
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A. B. C. D.
7. 设函数 ，若 ，且 ，使 成立，则实数 的取值
范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知符号函数 ，且 ， ， 是平面内三个不同的单位向量，若
，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.）
9. 已知 ， 为复数，有以下四个命题，其中真命题是（ ）
A. 若 ，则 或 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
10. 如图，在等边正三棱柱 中（注：侧棱长和底面边长相等的正三棱柱叫做等边正三棱柱），
，已知点 ， 分别在线段 ， ， 是线段 上任意一点，连接 ， ，
，若过 ， ， 三点的平面把等边正三棱柱分成上下两部分，则（ ）
A. 上半部分是四棱锥 B. 下半部分的体积是
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C. 的面积是 D. 当 最大时， 的长度是
11. 在 中，设内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ， .下列说法正确的
是（ ）
A. 是直角三角形
B. 若 是 的中点，则
C. 若 ， 为 的中点，则 的最大值为
D. 若 ，则
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
12. 已知水平放置的 的直观图 （斜二测画法）是边长为 的正三角形，则原 的面
积为________.
13. 在 中，已知 ， ， ，设 为线段 上
一动点，则 的最小值为______.
14. 已知一圆锥底面圆的直径为 6，高为 ，在该圆锥内放置一个棱长为 的正八面体（各面是全等的正
三角形，如图），并且该正八面体可以在圆锥内绕其中心任意转动，则棱长 的最大值为______.
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 的内角 的对边分别为 ， .
（1）求角 ；
（2）若 ， 边的中线长 ，求 的周长.
16. 已知 ，且 ，
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（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值.
17. 为了响应全国文明城市的号召，长沙市计划在公园内建造如图所示的正四棱台 建筑.
（1）若正四棱台的上、下底面的边长分别为 6 米和 10 米，高 8 米.求该正四棱台 的侧面
积和体积；
（2）若正四棱台的上、下底面的边长之和为 12 米，下底与上底边长之差不超过 4 米，棱台高 2 米，设
.求 的最小值.
18. 如图，在 中， 是 的中点， 是线段 上的动点， ；过 点的直线与边 ，
分别相交于点 P，Q.设 ， .
（1）若 ， .求 x，y 的值；
（2）若 ，求 的最小值；
（3）若 是边长为 1 的等边三角形， 四点共圆，求实数 的取值范围.
19. 已知函数 的定义域为 D，若存在实数 a，使得对于任意 都存在 满足
，则称函数 为“自均值函数”，其中 称为 的“自均值数”.
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（1）判断函数 是否为“自均值函数”，并说明理由；
（2）若函数 ， 为“自均值函数”，且其任意“自均值数”也是
， 的“自均值数”，求 的取值范围；
（3）是否存在区间 ，使得函数 ， 为“自均值函数”，其全体“自
均值数”构成的集合恰为 ?如果存在，求所有满足条件的区间 ；如果不存在，证明之.
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