湖南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期第一次大练习数学试题（Word版附解析）

这是一份湖南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期第一次大练习数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了1~7，下列说法正确的是，已知，则的大小关系为，已知的值域为，则的取值范围是，下列命题为真命题的是等内容，欢迎下载使用。

命题：黄祖军 邓云 彭晓红 隆希辰
（考试范围：必修一､必修二6.1~7.2）
时量：120分钟 满分：150分
得分：__________
一､单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题所给的四个选项中，只有一个是符合题意的）
1.下列说法正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则与共线 D.若，则一定不与共线
2.已知是虚数单位，当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.使“”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
4.如图，在平行四边形中，点是的中点，点为线段上的一个三等分点，且，若，则（ ）
A.1 B. C. D.
5.已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
6.已知函数为奇函数，且在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在中，已知是边上的一点，，则的长为（ ）
A. B. C. D.10
8.已知的值域为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，满分18分，在每小题给出的选项中有多项符合题意，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9.下列命题为真命题的是（ ）
A.复数的虚部为
B.若为虚数单位，则
C.在复数集中，方程有两个解，依次为
D.复平面内满足条件的复数所对应的点的集合是以点为圆心，2为半径的圆
10.已知是边长为1的等边三角形，点在边上，且，点是边上任意一点（包含.点），则的取值可能是（ ）
A. B. C.0 D.
11.直角三角形中，是斜边上一点，且满足，点在过点的直线上，若，则下列结论正确的是（ ）
A.为常数
B.的最小值为3
C.的最小值为
D.的值可以为：
三､填空题（本大题共三个小题，每小题5分，满分15分）
12.设，复数（是虚数单位）的共轭复数是，则__________.
13.如图，在中，是的中点，在边上，与交于点.若，则的值是__________.
14.在中，内角的对边分别为，且，若的面积，则的最小值为__________.
四､解答题（本大题共5个小题，满分77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15.（本题满分13分）
在中，点满足在边的中点.
（1）当时，求直线与相交所成的较小的角的余弦值；
（2）求的最小值及相应的的值.
16.（本题满分15分）
已知函数.
（1）若函数的图像关于直线对称，求实数的值；
（2）当时，
①求函数的单调增区间；
②若，求的值.
17.（本题满分15分）
已知锐角的三个内角满足.
（1）求角的大小及角的取值范围；
（2）若的外接圆的圆心是，且，求的取值范围.
18.（本题满分17分）
某足球场长､宽，球门宽，球门位于底线中央.当足球运动员沿斜向直线带球突破时，为球场边线的中点，为底线上一点，路线如图，若；
（1）求；
（2）若是球员起脚射门的点，试问是多少时，对球门的张角最大？并求此时到底线的距离.
19.（本题满分17分）
设是有序实数对构成的非空集，是实数集，如果对于集合中的任意一个有序实数对，按照某种确定的关系，在中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个二元函数，记作，其中称为二元函数的定义域.
因为平面向量与有序实数对有一一对应的关系，设，则二元函数也可以记为.
（1）已知，若，求
（2）非零向量，若对任意的，记，都有，则称在上沿方向单调递增.已知.请问在上沿向量方向单调递增吗？为什么？
（3）设二元函数的定义域为，如果存在实数满足：
①，都有，
②，使得.
那么，我们称是二元函数的最小值.
求的最大值.
湖南师大附中2023—2024学年度高一第二学期第一次大练习
数学参考答案
一､单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题所给的四个选项中，只有一个是符合题意的）
1.C 【解析】因为向量是既有大小又有方向的量，两个向量间不能比较大小，因此，A不正确；
两个向量的模相等，但方向却不一定相同，因此B不正确；
相等的向量方向一定相同，相等向量一定共线，因此C正确；
对于选项，两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以与有共线的可能，故不正确.
故选C.
2.A 【解析】，
又，
所对应的点在第一象限.
故选A.
3.A 【解析】不等式的解集为是其解集的真子集，所以“”是使“”成立的一个充分不必要条件.
故选A.
4.D 【解析】由题知点为线段上的一个三等分点，所以，
所以
，
因为不共线，所以，故.
故选D.
5.C 【解析】由题意知，，即，
，即，即，
.
故选C.
6.B 【解析】因为为奇函数，，所以，
所以.
令，则，
因为在上单调递减，所以解得.
故选B.
7.B 【解析】在中，，则，
在中，，故选B.
8.C 【解析】①若，当时，在上单调递增，此时，则，又不成立，
所以此时不成立，排除选项D；
②若
当时，，
当时，，当且仅当时，等号成立，
则函数的值域，满足；排除选项；
③若，当时，在上单调递减，此时，
当时，，当且仅当时，等号成立，
又函数的值域满足，
则解得.
综上所述：.
故选C.
二､多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，满分18分，在每小题给出的选项中有多项符合题意，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 【解析】复数的虚部为-2，故错误；，故B正确；
，
因此在复数集中，方程有两个解，依次为，故C正确；
复平面内满足条件的复数对应的点的集合是以点为圆心，2为半径的圆面，故D错误.
10.AB 【解析】设的中点为，以点为坐标原点，所在直线分别为
轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
由于是边长为1的等边三角形，且，
所以，设，则，
所以，
所以，所以，
即，故选.
11.ABD 【解析】根据题意，如图：依次分析选项：
对于是斜边上一点，且满足，则，
若，则，
又由三点共线，则，变形可得，故为常数，正确；
对于，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为3，B正确；
对于C，，
当且仅当时等号成立，故C错误；
对于，当，满足，此时为的中点，为的中点，符合题意，正确.故选ABD.
三､填空题（本大题共三个小题，每小题5分，满分15分）
12.12 【解析】据题意有，即，
据复数相等的定义有.
13. 【解析】设，
，
，
，
，
故.
14.48 【解析】在中，，
由正弦定理得，
即，
，可得，
又的面积为，
再由余弦定理可得，整理可得，
当且仅当时，取等号，，即的最小值为48.
四､解答题（本大题共5个小题，满分77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15.【解析】（1），则如图建立平面直角坐标系，
又，即为的中点，
据已知有，
则，
设与的夹角为，则，
即直线与相交所成的较小的角的余弦值是；
（2）法一：表示是直线上任意一点，
，其最小值就是原点到直线的距离.
则，
此时，则，
即时，取得最小值.
法二：，
，
当时，取得最小值.
16.【解析】（1）法一：的图像关于直线对称，则，
即
可验证时，为函数的最大值，故；
法二：，
的图像关于直线对称，则为函数的最值，
（2）①当时，有，
由得，
即函数的单调递增区间为；
②，
则或或，
或.
17.【解析】1）由已知和正弦定理有：，
即，由余弦定理有，
则，由为锐角，故，
是锐角三角形，；
（2）法一：设外接圆的半径为，由已知有，
则，
由（1），有，
则，
故的取值范围是.
法二：设是边的中点，则，
又，
，
据得，则，
是锐角三角形，当或取临界值时，最小是，
当时，最大是，则，
.
18.【解析】（1）在直角三角形中，，则，
在直角三角形中，，则，
在三角形中，由余弦定理得；
（2）点在线段上，设为，过点作垂线，垂足为，
以为原点，为轴正方向，为轴正方向，建立平面直角坐标系.
则有，
，
，
，
，
由基本不等式知当且仅当时，上式取到最大值，
又因为，故此时也是的最大值，
此时，
故球员在距离底线处射门对球门的张角最大，此时.
19.【解析】（1）由已知有，
则；
（2），
，
又，
，
故在上沿向量方向单调递增；
（3）由题意可类似的知道的最大值的含义，
，其中，
或者直接使用柯西不等式（见必修二教材P37拓广探索T16），
，当且仅当时取等号.
故，当时取等号，（或当时取等号），
又，易知当或2时，函数取最大值为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
A
D
C
B
B
C
BC
AB
ABD