2026年中考数学题型破译专练专题08二次函数的图象与性质的基础应用(8大题型)(学生版+解析)

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内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 二次函数的图象和性质
题型02 二次函数与一元二次方程
题型03 二次函数与不等式
题型04 二次函数与其他函数图象共存问题
题型05 二次函数的图象与系数的关系
题型06 待定系数法求二次函数的解析式
题型07 二次函数中含参数的图象和性质综合问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 二次函数的图象和性质
典例引领
【典例01】（2026·上海徐汇·一模）已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向上B．图象的顶点坐标是
C．当时，随的增大而减小D．函数有最大值为
【典例02】（2026·上海徐汇·一模）下表给出了二次函数中与之间的一些对应值，则下列说法正确的是（ ）
A．顶点坐标为B．
C．当时，随的增大而增大D．此函数有最小值
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·贵州遵义·一模）已知二次函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小值是3B．图象的对称轴是直线
C．图象开口向下D．图象与x轴有两个交点
【变式02】（2025·山东济南·模拟预测）若二次函数的图象与轴交于，两点，且满足，，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．抛物线开口向上
C．当时，的取值范围为
D．关于的方程的一个解小于
【变式03】（2025·内蒙古·模拟预测）对于二次函数．有下列说法：
①无论k为何值，该函数图象与x轴必有两个交点
②若，则当时，y随x的增大而增大
③无论k为何值，该函数图象一定经过点和两点
④若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，则．
其中正确的是（ ）
A．①③④B．②③④C．①④D．②③
题型02 二次函数与一元二次方程
典例引领
【典例01】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____．
【典例02】（2025·山东青岛·模拟预测）若抛物线与轴有两个交点，则k的取值范围是____．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·浙江宁波·三模）已知二次函数与轴的交点的横坐标为、，则的值为_____．
【变式02】（2025·吉林长春·二模）二次函数的图象与x轴交于点A，B，，则常数m的值为______．
【变式03】（2025·安徽滁州·三模）已知抛物线 的对称轴为直线．
（1）的值为______．
（2）若抛物线 向下平移个单位长度后，在范围内与轴只有一个交点，则的取值范围是______．
题型03 二次函数与不等式
典例引领
【典例01】（2026·上海嘉定·一模）已知二次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是 ______ ．
【典例02】（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，二次函数与一次函数的图象交于点和原点O，则关于x的不等式的解集是______．
方法透视
变式演练
【变式01】（2026·福建泉州·模拟预测）如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是______．
【变式02】（2026·河南·一模）在平面直角坐标系中，，为抛物线上任意两点，其中．
(1)当，为何值时，；
(2)若，且抛物线的顶点在轴上，求抛物线的解析式；
(3)若，，当时，求的取值范围．
【变式03】（2025·浙江杭州·三模）已知二次函数（），点，都在该二次函数的图象上
(1)用含n的代数式表示m．
(2)当时，y随x的增大而减小，求n的值范围
(3)若，求n的取值范围．
题型04 二次函数与其他函数图象共存问题
典例引领
【典例01】（2025·宁夏银川·一模）同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【典例02】（2025·河南濮阳·一模）已知函数的图象如图所示，那么函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·宁夏·模拟预测）当时，函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式02】（2025·安徽合肥·三模）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【变式02】（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
题型05 二次函数的图象与系数的关系
典例引领
【典例01】（2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是_______（写出所有正确结果的序号）．
①a；②；③c；④；⑤．
【典例02】（2025·四川绵阳·三模）已知二次函数的图象如图所示，根据已知信息有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·贵州铜仁·三模）已知抛物线的图象如图所示，有下列结论：
①；
②二次函数图象的对称轴是直线；
③当时，y随x的增大而减小；
④方程的解为，．
其中正确的结论有______．
【变式02】（2025·四川自贡·二模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下面五个结论正确的序号为_____．
①； ②； ③；④；⑤时，
【变式03】（2025·四川绵阳·一模）抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．有以下四个结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点为；④点一定在此抛物线上．其中正确的结论是______．（填序号）
题型06 待定系数法求二次函数的解析式
典例引领
【典例01】（2026·上海黄浦·一模）已知抛物线经过点和．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)指出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明这条抛物线的变化情况．
【典例02】（2026·甘肃白银·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点在轴上，且，动点在过三点的抛物线上．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)在直线上方的抛物线上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．
方法透视
变式演练
【变式01】（2026·陕西西安·二模）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，连接．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式02】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线的函数表达式为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)是抛物线上第一象限内的一点，连接、，当的面积最大时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在轴上取点是轴上一动点，当过点的抛物线与线段有且只有一个交点时，直接写出的取值范围．
【变式03】（2026·上海徐汇·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)将抛物线向上平移，设点的对应点为点，射线交线段于点．
①如果恰好平分，求平移之后的抛物线的表达式；
②如果与相似，求平移的距离．
题型07 二次函数中含参数的图象和性质的综合问题
典例引领
【典例01】（2025·河北唐山·模拟预测）已知抛物线．
(1)若此抛物线与直线只有一个公共点，且向右平移1个单位长度后，刚好过点．
①求此抛物线的解析式；
②以点为中心，作该抛物线关于点对称的抛物线，若这两条抛物线有公共点，求的取值范围。
(2)若，将此抛物线向上平移个单位，当时，；当时，．试比较与1的大小，并说明理由．
【典例02】（2026·山东滨州·一模）已知二次函数，其中a，b为常数．
(1)当，时，求该函数的顶点坐标．
(2)当，对称轴在之间时，函数的最小值为．
①求二次函数解析式；
②过点作与x轴平行的直线交该抛物线于B，C两点，当点B，C均位于y轴左侧，且点B为线段的中点时，求t的值．
方法透视
变式演练
【变式01】（2026·安徽阜阳·一模）已知抛物线（a，b，c是常数，，且）的最小值是．
(1)若该抛物线的对称轴为直线，并且经过点，求抛物线对应的函数表达式．
(2)若直线经过抛物线的顶点．
①求抛物线的顶点坐标；
②，是抛物线上的两点，且，求p的取值范围．
【变式02】（2026·上海长宁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点．
(1)已知．
①求抛物线的表达式．
②若点为该抛物线上一点，且的重心恰好落在轴上，求点的坐标．
(2)坐标平面内有点，如果抛物线与线段有且只有一个公共点，求的值或取值范围．
【变式03】（2026·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当点在这个函数图象上时，
①求抛物线的函数关系式．
②抛物线上有一点到轴的距离为1，求点坐标．
(2)当时，函数图象上只有两个点到轴的距离等于2，求的取值范围．
(3)在平面直角坐标系中，点，点，连接．直接写出抛物线与线段只有一个公共点时的取值范围．
题●型●训●练
一、单选题
1．（2025·甘肃嘉峪关·二模）下列抛物线中，能满足经过原点，且对称轴为直线的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上B．对称轴是直线C．与轴的交点坐标是D．顶点坐标是
3．（2026·河南周口·一模）若二次函数的图象与轴只有一个交点，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26九年级上·宁夏银川·月考）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
5．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）二次函数的图象如图所示，顶点坐标为；与轴的交点为和点；与轴的交点在与之间（包括端点）．其中正确结论的个数是（）
①；②；③点，，都在抛物线上，则；④方程无实根；⑤．
A．2B．3C．4D．5
二、填空题
6．（2026·安徽阜阳·一模）抛物线的对称轴为直线________．
7．（2026·上海徐汇·一模）已知是抛物线上的两点，那么______（填“”、“”或“”）．
8．（2024·甘肃定西·模拟预测）如图，二次函数与一次函数相交于、，则关于x的不等式的解集为__________．
9．（2025·山东青岛·模拟预测）若二次函数与x轴有两个交点，则的取值范围是__________．
10．（2025·安徽蚌埠·二模）已知和是二次函数图象上两个不同的点，一次函数的图象经过点．
（1）若，且，则的值为______；
（2）若函数的图象与轴仅有一个交点，则的值为______．
三、解答题
11．（2025·安徽亳州·一模）已知抛物线经过点和．
(1)求b，c的值；
(2)若点在函数的图象上，求m的值．
12．（2026·上海徐汇·一模）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示．
(1)求m的值和二次函数的解析式；
(2)将该二次函数的图像上下或左右平移后得到新的抛物线，如果新抛物线经过原点，请直接写出三种平移的方式；
(3)选择（2）中一种平移方式说明你是如何获得解题思路的．
13．（2025·甘肃定西·一模）如图，已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为，点的坐标为，点F为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求A、B、F三点构成的三角形的面积；
(3)点是线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标．
14．（2025·浙江丽水·二模）已知二次函数（a，b为常数，）的图象经过点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若时，，求m的取值范围；
(3)若时，y的最大值为，求n的值．
15．（2025·江苏连云港·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点
(1)若该二次函数图象的顶点坐标为，求抛物线的解析式；
(2)设该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为若，，求面积的最大值，并说明此时b的值；
(3)已知，点，，若该二次函数图象与线段只有一个交点，直接写出b的取值范围．
16．（2025·上海·一模）在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上．
(1)当，时，
①求该抛物线的表达式；
②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线经过点，求的值；
(2)若，且、、中有且仅有一个值小于0，请结合抛物线的位置和图像特征，先写出一个满足条件的的值，再求的取值范围．
考向解读
1. 图象特征：考查抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，a定开口，-b2a定对称轴。
2. 系数符号：根据图象位置判断a, b, c符号，如c为与y轴交点纵坐标。
3. 增减最值：结合开口与对称轴，判断函数增减区间，求顶点最值或区间内最值。
方法技能
1. 配方找顶点：化为y=a(x-h)2+k，直接读出顶点和对称轴，便于分析性质。
2. 符号巧判断：a, b同号对称轴在左，异号在右；c看与y轴交点位置。
3. 对称比大小：比较函数值看与对称轴距离，开口向上距离越大值越大。
考向解读
1. 交点与根：二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点横坐标即对应方程ax2+bx+c=0的根。
2. 判别式应用：△ >0两个交点，△=0一个交点，△0，下方对应y0或 y2或y1 < y2 的x范围。
3. 参数范围问题：结合不等式恒成立，利用图象最值或判别式求参数取值范围。
方法技能
1. 先找交点：求出二次函数与x轴交点或两函数交点，作为区间分界点。
2. 看图定范围：观察图象上下位置，在交点划分的区间内直接写出满足不等式的x范围。
3. 开口定方向：解ax2+bx+c>0 时，a>0取两边，a0开口向上，a0交正半轴，c