广东省汕尾市2025-2026学年高三六校第一次联考数学试卷（含答案解析）

这是一份广东省汕尾市2025-2026学年高三六校第一次联考数学试卷（含答案解析），共31页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，若直线与圆相交所得弦长为，则等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）为（ ）
A．B．6C．D．
2．已知，且，则在方向上的投影为（ ）
A．B．C．D．
3．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知分别为双曲线的左、右焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，，的零点分别为，，，则（ ）
A．B．
C．D．
6．若直线与圆相交所得弦长为，则（ ）
A．1B．2C．D．3
7．若实数满足不等式组，则的最大值为（ ）
A．B．C．3D．2
8．过抛物线的焦点且与的对称轴垂直的直线与交于，两点，，为的准线上的一点，则的面积为（ ）
A．1B．2C．4D．8
9．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
141 432 341 342 234 142 243 331 112 322
342 241 244 431 233 214 344 142 134 412
由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量和气温之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（轴表示气温，轴表示销售量），由散点图可知与的相关关系为（ ）
A．正相关，相关系数的值为
B．负相关，相关系数的值为
C．负相关，相关系数的值为
D．正相关，相关负数的值为
11．复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知双曲线的右焦点为，若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且点到该渐近线的距离为，则双曲线的实轴的长为
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．将函数的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则________．
14．已知等边三角形的边长为1．,点、分别为线段、上的动点,则取值的集合为__________．
15．数列满足递推公式，且，则___________.
16．在的展开式中，的系数为______用数字作答
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，在锐角中，E是边PD上一点，且.
（1）求证：平面ACE；
（2）当PA的长为何值时，AC与平面PCD所成的角为？
18．（12分）为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如表数据：
若用表中数据所得频率代替概率.
（1）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？
（2）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；类是其他市民.现对类与类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为类市民的概率是多少？
19．（12分）在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人.
（1）填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？
（2）调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言，求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率.
附：，其中.
20．（12分）（江苏省徐州市高三第一次质量检测数学试题）在平面直角坐标系中，已知平行于轴的动直线交抛物线： 于点，点为的焦点.圆心不在轴上的圆与直线， ， 轴都相切，设的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若直线与曲线相切于点，过且垂直于的直线为，直线， 分别与轴相交于点， .当线段的长度最小时，求的值.
21．（12分）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
22．（10分）某公司为了鼓励运动提高所有用户的身体素质，特推出一款运动计步数的软件，所有用户都可以通过每天累计的步数瓜分红包，大大增加了用户走步的积极性，所以该软件深受广大用户的欢迎.该公司为了研究“日平均走步数和性别是否有关”，统计了2019年1月份所有用户的日平均步数，规定日平均步数不少于8000的为“运动达人”，步数在8000以下的为“非运动达人”，采用按性别分层抽样的方式抽取了100个用户，得到如下列联表：
（1）（i）将列联表补充完整；
（ii）据此列联表判断，能否有的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”？
（2）将频率视作概率，从该公司的所有人“运动达人”中任意抽取3个用户，求抽取的用户中女用户人数的分布列及期望.
附：
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
根据几何体的三视图，该几何体是由正方体去掉三棱锥得到，根据正方体和三棱锥的体积公式可求解.
【详解】
如图,该几何体为正方体去掉三棱锥,
所以该几何体的体积为：,
故选：D
本题主要考查了空间几何体的三视图以及体积的求法，考查了空间想象力，属于中档题.
2．C
【解析】
由向量垂直的向量表示求出，再由投影的定义计算．
【详解】
由
可得，因为，所以．故在方向上的投影为．
故选：C．
本题考查向量的数量积与投影．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键．
3．A
【解析】
根据函数的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项.
【详解】
因为，所以是偶函数，排除C和D.
当时，，，
令，得，即在上递减；令，得，即在上递增.所以在处取得极小值，排除B.
故选：A
本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题.
4．B
【解析】
根据题意，设点在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论.
【详解】
由题意，设点在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为，
所以，，
又以为直径的圆经过点，则，即，解得，，
所以，，即，即，
所以，双曲线的离心率为.
故选：B.
本题主要考查双曲线的离心率，解决本题的关键在于求出与的关系，属于基础题.
5．C
【解析】
转化函数，，的零点为与，，的交点，数形结合，即得解.
【详解】
函数，，的零点，即为与，，的交点，
作出与，，的图象，
如图所示，可知
故选：C
本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题.
6．A
【解析】
将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可.
【详解】
圆的标准方程,圆心坐标为,半径为,因为直线与圆相交所得弦长为,所以直线过圆心,得,即.
故选：A
本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.
7．C
【解析】
作出可行域，直线目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．
【详解】
作出可行域，如图由射线，线段，射线围成的阴影部分（含边界），作直线，平移直线，当过点时，取得最大值1．
故选：C．
本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形．
8．C
【解析】
设抛物线的解析式，得焦点为，对称轴为轴，准线为，这样可设点坐标为，代入抛物线方程可求得，而到直线的距离为，从而可求得三角形面积．
【详解】
设抛物线的解析式，
则焦点为，对称轴为轴，准线为，
∵ 直线经过抛物线的焦点，，是与的交点，
又轴，∴可设点坐标为，
代入，解得，
又∵点在准线上，设过点的的垂线与交于点，，
∴.
故应选C.
本题考查抛物线的性质，解题时只要设出抛物线的标准方程，就能得出点坐标，从而求得参数的值．本题难度一般．
9．A
【解析】
由题意找出满足恰好第三次就停止摸球的情况，用满足恰好第三次就停止摸球的情况数比20即可得解.
【详解】
由题意可知当1，2同时出现时即停止摸球，则满足恰好第三次就停止摸球的情况共有五种：142，112，241，142，412.
则恰好第三次就停止摸球的概率为.
故选：A.
本题考查了简单随机抽样中随机数的应用和古典概型概率的计算，属于基础题.
10．C
【解析】
根据正负相关的概念判断．
【详解】
由散点图知随着的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负．
故选：C．
本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别．掌握正负相关的定义是解题基础．
11．C
【解析】
利用复数模与除法运算即可得到结果.
【详解】
解: ，
故选：C
本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题.
12．B
【解析】
双曲线的渐近线方程为，由题可知．
设点，则点到直线的距离为，解得，
所以，解得，所以双曲线的实轴的长为，故选B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据平移后关于轴对称可知关于对称，进而利用特殊值构造方程，从而求得结果.
【详解】
向左平移个单位长度后得到偶函数图象，即关于轴对称
关于对称
即：
本题正确结果：
本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解.
14．
【解析】
根据题意建立平面直角坐标系,设三角形各点的坐标,依题意求出,,,的表达式,再进行数量积的运算,最后求和即可得出结果.
【详解】
解: 以的中点为坐标原点,所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系,如图所示,
则,,,,
则,,,
设, ,
,
即点的坐标为,
则,,,
所以
故答案为:
本题考查平面向量的坐标表示和线性运算,以及平面向量基本定理和数量积的运算,是中档题.
15．2020
【解析】
可对左右两端同乘以得，
依次写出，，，，累加可得，再由得，代入即可求解
【详解】
左右两端同乘以有，从而，，，，将以上式子累加得.
由得.令，有.
故答案为：2020
本题考查数列递推式和累加法的应用，属于基础题
16．1
【解析】
利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令，求出展开式中的系数．
【详解】
二项展开式的通项为
令得的系数为
故答案为1．
利用二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）证明见解析；（2）当时，AC与平面PCD所成的角为.
【解析】
（1）连接交于，由相似三角形可得，结合得出，故而平面；
（2）过作，可证平面，根据计算，得出的大小，再计算的长．
【详解】
（1）证明：连接BD交AC于点O，连接OE，
，，
又平面ACE，平面ACE，
平面ACE.
（2），，
平面PAD
作，F为垂足，连接CF
平面PAD，平面PAD.
，有，，平面
就是AC与平面PCD所成的角，，
，，
，
，
时，AC与平面PCD所成的角为.
本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定与线面角的计算，属于中档题．
18．（1）降低（2）
【解析】
（1）计算出罚金定为10元时行人闯红灯的概率，和不进行处罚时行人闯红灯的概率，求解即可；
（2）闯红灯的市民有80人，其中类市民和类市民各有40人，根据分层抽样法抽出4人依次排序，计算所求的概率值.
【详解】
解：（1）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率为；
不进行处罚，行人闯红灯的概率为；
所以当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低；
（2）由题可知，闯红灯的市民有80人，类市民和类市民各有40人
故分别从类市民和类市民各抽出两人，4人依次排序
记类市民中抽取的两人对应的编号为，类市民中抽取的两人编号为
则4人依次排序分别为，，，，，，，，，，，，共有种
前两位均为类市民排序为，，有种，所以前两位均为类市民的概率是.
本题主要考查了计算古典概型的概率，属于中档题.
19．（1）见解析，有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.（2）
【解析】
（1）根据题中数据得到列联表，然后计算出，与临界值表中的数据对照后可得结论；（2）由题意得概率为古典概型，根据古典概型概率公式计算可得所求.
【详解】
（1）由题意可得：
则，
所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.
（2）在城镇居民140人中，经常阅读的有100人，不经常阅读的有40人.
采取分层抽样抽取7人，则其中经常阅读的有5人，记为、、、、；
不经常阅读的有2人，记为、.
从这7人中随机选取2人作交流发言，所有可能的情况为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种，
被选中的位居民都是经常阅读居民的情况有种，
所求概率为.
本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键，考查学生的计算能力.对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可，属于中档题.
20． (1) ．(2)见解析.
【解析】
试题分析：（1）设根据题意得到，化简得到轨迹方程；（2）设， ，，，构造函数研究函数的单调性，得到函数的最值.
解析：
（1）因为抛物线的方程为，所以的坐标为，
设，因为圆与轴、直线都相切，平行于轴，
所以圆的半径为，点 ，则直线的方程为，即，
所以，又，所以，即，
所以的方程为 ．
（2）设， ，，
由（1）知，点处的切线的斜率存在，由对称性不妨设，
由，所以，，
所以，，
所以．
令，，则，
由得，由得，
所以在区间单调递减，在单调递增，
所以当时，取得极小值也是最小值，即取得最小值， 此时．
点睛：求轨迹方程，一般是问谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细.
21．（1）（2）
【解析】
（1）按绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后解不等式；
（2）不等式转化为，求出在上的最小值即可，利用绝对值定义分类讨论去绝对值符号后可求得函数最小值．
【详解】
解：（1）或或
解得或或无解
综上不等式的解集为．
（2）时，，即
所以只需在时恒成立即可
令，
由解析式得在上是增函数，
∴当时，
即
本题考查解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题，解决绝对值不等式的问题，分类讨论是常用方法．掌握分类讨论思想是解题关键．
22．（1）（i）填表见解析（ii）没有的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”（2）详见解析
【解析】
（1）(i)由已给数据可完成列联表，(ii)计算出后可得；
（2）由列联表知从运动达人中抽取1个用户为女用户的概率为，的取值为，，由二项分布概率公式计算出各概率得分布列，由期望公式计算期望．
【详解】
解（1）（i）
（ii）由列联表得
所以没有的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”
（2）由列联表知从运动达人中抽取1个用户为女用户的概率为，.
易知
所以的分布列为
．
本题考查列联表，考查独立性检验，考查随机变量的概率分布列和期望．属于中档题．本题难点在于认识到．
处罚金额（单位：元）
5
10
15
20
会闯红灯的人数
50
40
20
10
城镇居民
农村居民
合计
经常阅读
100
30
不经常阅读
合计
200
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
运动达人
非运动达人
总计
男
35
60
女
26
总计
100
城镇居民
农村居民
合计
经常阅读
100
30
130
不经常阅读
40
30
70
合计
140
60
200
运动达人
非运动达人
总计
男
35
25
60
女
14
26
40
总计
49
51
100
0
1
2
3