2025-2026学年湖北省随州市高考冲刺模拟数学试题（含答案解析）

这是一份2025-2026学年湖北省随州市高考冲刺模拟数学试题（含答案解析），共31页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，已知集合，则=，的展开式中含的项的系数为等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用列联表，由计算得,参照下表:
得到正确结论是( )
A．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”
B．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”
C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”
D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”
2．等腰直角三角形BCD与等边三角形ABD中，，，现将沿BD折起，则当直线AD与平面BCD所成角为时，直线AC与平面ABD所成角的正弦值为（ ）

A．B．C．D．
3．在声学中，声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.，，那么（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数在区间上恰有四个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知集合，则=
A．B．C．D．
6．若实数满足不等式组则的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
7．如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（ ）
A．该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省
B．与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长
C．该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个
D．去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元
8．的展开式中含的项的系数为（ ）
A．B．60C．70D．80
9．设，命题“存在，使方程有实根”的否定是( )
A．任意，使方程无实根
B．任意，使方程有实根
C．存在，使方程无实根
D．存在，使方程有实根
10．某校为提高新入聘教师的教学水平，实行“老带新”的师徒结对指导形式，要求每位老教师都有徒弟，每位新教师都有一位老教师指导，现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师，则不同的师徒结对方式共有（ ）种.
A．360B．240C．150D．120
11．在一个数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列，且，，公积为，则（ ）
A．B．C．D．
12．斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点，则的最大值为
A．2B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢综艺“奔跑吧，兄弟”的调查数据，人数如下表所示：
现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取个人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了8人，则的值为______.
14．展开式中项的系数是__________
15．已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于、两点，且,，则椭圆的离心率为__________．
16． “”是“”的__________条件.（填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数．
（1）若，求函数的值域；
（2）设为的三个内角，若，求的值；
18．（12分）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若，证明.
19．（12分）设
（1）证明:当时，；
（2）当时，求整数的最大值.（参考数据：，）
20．（12分）已知函数.
（1）若，，求函数的单调区间；
（2）时，若对一切恒成立，求a的取值范围.
21．（12分）已知函数是自然对数的底数.
（1）若，讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，求的取值范围，并证明:.
22．（10分）自湖北武汉爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，在以总书记为核心的党中央的正确领导和指挥下，全国各地纷纷驰援，湖北的疫情形势很快得到了控制，但是国际疫情越来越严重，医用口罩等物资存在很大缺口.某口罩生产厂家复工复产后，抢时生产口罩，以驰援国际社会，已知该企业前10天生产的口罩量如下表所示：
对上表的数据作初步处理，得到一些统计量的值：
（1）求表中m，n的值，并根据最小二乘法求出y关于x的线性回归方程（回归方程系数精确到0.1）；
（2）某同学认为更适宜作为y关于x的回归方程模型，并以此模型求得回归方程为.经调查，该企业第11天的产量为145.3万个，与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？并说明理由.
附：，；
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
通过与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.
【详解】
解:，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B.
本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.
2．A
【解析】
设E为BD中点，连接AE、CE，过A作于点O，连接DO，得到即为直线AD与平面BCD所成角的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到即为直线AC与平面ABD所成角，进而求得其正弦值，得到结果.
【详解】
设E为BD中点，连接AE、CE，
由题可知，，所以平面，
过A作于点O，连接DO，则平面，
所以即为直线AD与平面BCD所成角的平面角，
所以，可得，
在中可得，
又，即点O与点C重合，此时有平面，
过C作与点F，
又，所以，所以平面，
从而角即为直线AC与平面ABD所成角，，
故选：A.
该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平面角的定义，属于中档题目.
3．D
【解析】
由得，分别算出和的值，从而得到的值.
【详解】
∵，
∴，
∴，
当时，，∴，
当时，，∴，
∴，
故选：D.
本小题主要考查对数运算，属于基础题.
4．A
【解析】
函数的零点就是方程的解，设，方程可化为，即或，求出的导数，利用导数得出函数的单调性和最值，由此可根据方程解的个数得出的范围．
【详解】
由题意得有四个大于的不等实根，记，则上述方程转化为，
即，所以或．
因为，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以在处取得最小值，最小值为．因为，所以有两个符合条件的实数解，故在区间上恰有四个不相等的零点，需且．
故选：A．
本题考查复合函数的零点．考查转化与化归思想，函数零点转化为方程的解，方程的解再转化为研究函数的性质，本题考查了学生分析问题解决问题的能力．
5．C
【解析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】
由题意得，，则
．故选C．
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
6．A
【解析】
首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求的最小值．
【详解】
解：作出实数，满足不等式组表示的平面区域（如图示：阴影部分）
由得，
由得，平移，
易知过点时直线在上截距最小，
所以．
故选：A．
本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．
7．D
【解析】
根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.
【详解】
由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的
省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；.
故D项不正确.
故选：D.
本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.
8．B
【解析】
展开式中含的项是由的展开式中含和的项分别与前面的常数项和项相乘得到，由二项式的通项，可得解
【详解】
由题意，展开式中含的项是由的展开式中含和的项分别与前面的常数项和项相乘得到，
所以的展开式中含的项的系数为．
故选：B
本题考查了二项式系数的求解，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.
9．A
【解析】
只需将“存在”改成“任意”，有实根改成无实根即可.
【详解】
由特称命题的否定是全称命题，知“存在，使方程有实根”的否定是
“任意，使方程无实根”.
故选：A
本题考查含有一个量词的命题的否定，此类问题要注意在两个方面作出变化：1.量词，2.结论，是一道基础题.
10．C
【解析】
可分成两类，一类是3个新教师与一个老教师结对，其他一新一老结对，第二类两个老教师各带两个新教师，一个老教师带一个新教师，分别计算后相加即可．
【详解】
分成两类，一类是3个新教师与同一个老教师结对，有种结对结对方式，第二类两个老教师各带两个新教师，有．
∴共有结对方式60＋90＝150种．
故选：C．
本题考查排列组合的综合应用．解题关键确定怎样完成新老教师结对这个事情，是先分类还是先分步，确定方法后再计数．本题中有一个平均分组问题．计数时容易出错．两组中每组中人数都是2，因此方法数为．
11．B
【解析】
计算出的值，推导出，再由，结合数列的周期性可求得数列的前项和.
【详解】
由题意可知，则对任意的，，则，，
由，得，，，
，因此，.
故选：B.
本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
12．C
【解析】
设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y，根据判别式大于0求得t的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t的范围求得|AB|的最大值．
【详解】
解：设直线l的方程为y＝x+t，代入y2＝1，消去y得x2+2tx+t2﹣1＝0，
由题意得△＝（2t）2﹣1（t2﹣1）＞0，即t2＜1．
弦长|AB|＝4．
故选：C．
本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．32
【解析】
由已知可得抽取的比例，计算出所有被调查的人数，再乘以抽取的比例即为分层抽样的样本容量.
【详解】
由题可知，抽取的比例为，被调查的总人数为人，
则分层抽样的样本容量是人.
故答案为：32
本题考查分层抽样中求样本容量，属于基础题.
14．-20
【解析】
根据二项式定理的通项公式，再分情况考虑即可求解．
【详解】
解：展开式中项的系数：
二项式由通项公式
当时，项的系数是，
当时，项的系数是，
故的系数为；
故答案为：
本题主要考查二项式定理的应用，注意分情况考虑，属于基础题．
15．
【解析】
设,则,,由知, ,,作,垂足为C，则C为的中点,在和中分别求出,进而求出的关系式,即可求出椭圆的离心率.
【详解】
如图,设,则,,
由椭圆定义知,,
因为,所以,,
作,垂足为C，则C为的中点,
在中,因为,
所以，
在中,由余弦定理可得,
，
即,解得,
所以椭圆的离心率为.
故答案为:
本题考查椭圆的离心率和直线与椭圆的位置关系;利用椭圆的定义,结合焦点三角形和余弦定理是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
16．充分不必要
【解析】
由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判断命题的关系.
【详解】
由,所以或,所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为:充分不必要
本题考查命题的充分条件与必要条件的判断,考查余弦的二倍角公式的应用.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）
【解析】
（1）将，利用三角恒等变换转化为：，，再根据正弦函数的性质求解，
（2）根据，得，又为的内角，得到，再根据，利用两角和与差的余弦公式求解，
【详解】
（1），
，
，
，
即的值域为；
（2）由，得，
又为的内角，所以，
又因为在中，，
所以，
所以.
本题主要考查三角恒等变换和三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题，
18．（1）单调递减区间为，，无单调递增区间（2）证明见解析
【解析】
（1）求导，根据导数的正负判断单调性，
（2）整理，化简为，令，求的单调性，以及，即证.
【详解】
解：（1）函数定义域为，
则，令，，则，
当，，单调递减；当，，单调递增；
故，，
，，
故函数的单调递减区间为，，无单调递增区间.
（2）证明，即为，
因为，
即证，
令，则，
令，则，
当时，，所以在上单调递减，
则，，
则在上恒成立，
所以在上单调递减，
所以要证原不等式成立，只需证当时，，
令，，，可知对于恒成立，
即，即，
故，即证，
故原不等式得证.
本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，函数的最值问题，属于中档题．
19．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）将代入函数解析式可得，构造函数，求得并令，由导函数符号判断函数单调性并求得最大值，由即可证明恒成立，即不等式得证.
（2）对函数求导，变形后讨论当时的函数单调情况：当时，可知满足题意；将不等式化简后构造函数，利用导函数求得极值点与函数的单调性，从而求得最小值为，分别依次代入检验的符号，即可确定整数的最大值；当时不满足题意，因为求整数的最大值，所以时无需再讨论.
【详解】
（1）证明：当时代入可得，
令，，
则，
令解得，
当时，所以在单调递增，
当时，所以在单调递减，
所以，
则，即成立.
（2）函数
则，
若时，当时，，则在时单调递减，所以，即当时成立；
所以此时需满足的整数解即可，
将不等式化简可得，
令
则
令解得，
当时，即在内单调递减，
当时，即在内单调递增，
所以当时取得最小值，
则，
，
，
所以此时满足的整数 的最大值为；
当时，在时，此时，与题意矛盾，所以不成立.
因为求整数的最大值，所以时无需再讨论，
综上所述，当时，整数的最大值为.
本题考查了导数在证明不等式中的应用，导数与函数单调性、极值、最值的关系和应用，构造函数法求最值，并判断函数值法符号，综合性强，属于难题.
20．（1）单调递减区间为，单调递增区间为 ；（2）
【解析】
（1）求导，根据导数与函数单调性关系即可求出.
（2）解法一：分类讨论：当时，观察式子可得恒成立；当时，利用导数判断函数为单调递增，可知；当时，令，由，，根据零点存在性定理可得，进而可得在上，单调递减，即不满足题意；解法二：通过分离参数可知条件等价于恒成立，进而记，问题转化为求在上的最小值问题，通过二次求导，结合洛比达法则计算可得结论.
【详解】
（1）当，，，
，
令，解得，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增.
（2）解法一：当时，函数，
若时，此时对任意都有，
所以恒成立；
若时，对任意都有，，
所以，所以在上为增函数，
所以，即时满足题意；
若时，令，
则，所以在上单调递增，
，，
可知，一定存在使得，
且当时，，所以在上，单调递减，
从而有时，，不满足题意；
综上可知，实数a的取值范围为.
解法二：当时，函数，
又当时，，
对一切恒成立等价于恒成立，
记，其中，则，
令，则，
在上单调递增，，
恒成立，从而在上单调递增，，
由洛比达法则可知，，
，解得.
实数a的取值范围为.
本题考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题，考查了分类与整合的解题思想，涉及分离参数法等技巧、涉及到洛比达法则等知识，注意解题方法的积累，属于难题.
21．（1）减区间是，增区间是；（2），证明见解析.
【解析】
（1）当时，求得函数的导函数以及二阶导函数，由此求得的单调区间.
（2）令求得，构造函数，利用导数求得的单调区间、极值和最值，结合有两个极值点，求得的取值范围.将代入列方程组，由证得.
【详解】
（1），
，
又，所以在单增，
从而当时，递减，
当时，递增.
（2）.令，
令，则
故在递增，在递减，
所以.注意到当时，
所以当时，有一个极值点，
当时，有两个极值点，
当时，没有极值点，
综上
因为是的两个极值点，
所以
不妨设，得，
因为在递减，且，
所以
又
所以
本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
22．（1），，；（2）二次函数模型的回归方程来拟合效果会更好，理由见解析.
【解析】
（1）计算平均数，即可容易求得；结合参考数据，即可求得回归直线方程；
（2）利用两个模型分别预测第11天的产量，和实际值进行比较，即可判断.
【详解】
（1），
由最小二乘法公式求得

即所求回归方程为.
（2）由（1）可知，用线性回归方程模型求得该企业第11天的产量为
（万个）
用题中的二次函数模型求得的结果为
（万个）
与第11天的实际数据进行比较发现

所以用这个二次函数模型的回归方程来拟合效果会更好.
本题考查平均数的求解，回归直线方程的求解，以及考查拟合模型的选择，属综合基础题.
0.01
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
不喜欢
喜欢
男性青年观众
40
10
女性青年观众
30
80
第天
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
产量y（单位：万个）
76.0
88.0
96.0
104.0
111.0
117.0
124.0
130.0
135.0
140.0
m
n
82.5
3998.9
570.5