威海市2026年高考数学必刷试卷（含答案解析）

这是一份威海市2026年高考数学必刷试卷（含答案解析），共31页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，设命题，已知中，，则，在的展开式中，含的项的系数是等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若（），，则（ ）
A．0或2B．0C．1或2D．1
2．函数的图像大致为（ ）.
A．B．
C．D．
3．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，则下列判断错误的是（ ）
A．的最小正周期为B．的值域为
C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称
5．如图，四面体中，面和面都是等腰直角三角形，，，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．设命题：，，则为
A．，B．，
C．，D．，
7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为（ ）
A．6里B．12里C．24里D．48里
8．已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( )
A．B．C．D．
9．已知中，，则（ ）
A．1B．C．D．
10．在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．74B．121C．D．
11．已知函数,则方程的实数根的个数是（ ）
A．B．C．D．
12．已知等比数列的前项和为，若，且公比为2，则与的关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．四边形中，，，，，则的最小值是______.
14．圆心在曲线上的圆中，存在与直线相切且面积为的圆，则当取最大值时，该圆的标准方程为______.
15．如图，机器人亮亮沿着单位网格，从地移动到地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从移动到最近的走法共有____种．
16．某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是__________元.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆，点为半圆上一动点，若过作椭圆的两切线分别交轴于、两点.
（1）求证：；
（2）当时，求的取值范围.
18．（12分）在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人.
（1）填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？
（2）从该地区城镇居民中，随机抽取5位居民参加一次阅读交流活动，记这5位居民中经常阅读的人数为，若用样本的频率作为概率，求随机变量的期望.
附：，其中.
19．（12分）2018年9月，台风“山竹”在我国多个省市登陆，造成直接经济损失达52亿元.某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的数据分成五组：，，，，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.
（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为，求的分布列和数学期望.
20．（12分）已知函数
（1）当时，求不等式的解集；
（2）的图象与两坐标轴的交点分别为，若三角形的面积大于，求参数的取值范围.
21．（12分）已知函数，记不等式的解集为.
（1）求；
（2）设，证明：.
22．（10分）已知多面体中，、均垂直于平面，，，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
利用复数的模的运算列方程，解方程求得的值.
【详解】
由于（），，所以，解得或.
故选：A
本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.
2．A
【解析】
本题采用排除法:
由排除选项D；
根据特殊值排除选项C;
由,且无限接近于0时, 排除选项B；
【详解】
对于选项D:由题意可得, 令函数 ,
则,;
即.故选项D排除;
对于选项C：因为,故选项C排除;
对于选项B:当,且无限接近于0时,接近于,，此时.故选项B排除;
故选项:A
本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
3．D
【解析】
先化简函数解析式,再根据函数的图象变换规律,可得所求函数的解析式为,再由正弦函数的对称性得解.
【详解】
,
将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为
,
再向右平移个单位长度,所得函数的解析式为
,
，
可得函数图象的一个对称中心为，故选D.
三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．
4．D
【解析】
先将函数化为，再由三角函数的性质，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
可得
对于A，的最小正周期为,故A正确；
对于B，由，可得，故B正确；
对于C，正弦函数对称轴可得：
解得：，
当，，故C正确；
对于D，正弦函数对称中心的横坐标为：
解得：
若图象关于点对称，则
解得：，故D错误；
故选：D.
本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
5．B
【解析】
分别取、的中点、，连接、、，利用二面角的定义转化二面角的平面角为，然后分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点，在中计算出，再利用勾股定理计算出，即可得出球的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案．
【详解】
如下图所示，
分别取、的中点、，连接、、，
由于是以为直角等腰直角三角形，为的中点，，
，且、分别为、的中点，所以，，所以，，所以二面角的平面角为，
，则，且，所以，，，
是以为直角的等腰直角三角形，所以，的外心为点，同理可知，的外心为点，
分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点，则点在平面内，如下图所示，
由图形可知，，
在中，，，
所以，，
所以，球的半径为，因此，球的表面积为.
故选：B.
本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的位置，同时考查了计算能力，属于中等题．
6．D
【解析】
直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.
【详解】
因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：，，则为：，.
故本题答案为D.
本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.
7．C
【解析】
设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得，求出（里，由此能求出该人第四天走的路程．
【详解】
设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，
由题意得：，
解得（里，
（里．
故选：C．
本题考查等比数列的某一项的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
8．B
【解析】
计算求半径为，再计算球体积和圆锥体积，计算得到答案.
【详解】
如图所示：设球半径为，则，解得.
故求体积为：，圆锥的体积：，故.
故选：.
本题考查了圆锥，球体积，圆锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
9．C
【解析】
以为基底，将用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.
【详解】
,
,
.
故选:C.
本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.
10．D
【解析】
根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数，
【详解】
因为在，
所以含的项为：，
所以含的项的系数是的系数是，
，
故选：D
本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，
11．D
【解析】
画出函数 ,将方程看作交点个数，运用图象判断根的个数．
【详解】
画出函数
令有两解 ，则分别有3个，2个解，故方程的实数根的个数是3+2=5个
故选：D
本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题．
12．C
【解析】
在等比数列中，由即可表示之间的关系.
【详解】
由题可知，等比数列中，且公比为2，故
故选：C
本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
在中利用正弦定理得出，进而可知，当时，取最小值，进而计算出结果.
【详解】
，
如图，在中，由正弦定理可得，
即，故当时，取到最小值为.
故答案为：.
本题考查解三角形，同时也考查了常见的三角函数值，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题．
14．
【解析】
由题意可得圆的面积求出圆的半径，由圆心在曲线上，设圆的圆心坐标，到直线的距离等于半径，再由均值不等式可得的最大值时圆心的坐标，进而求出圆的标准方程．
【详解】
设圆的半径为，由题意可得，所以，
由题意设圆心，由题意可得，
由直线与圆相切可得，所以，
而，，所以，即，解得，
所以的最大值为2，当且仅当时取等号，可得，
所以圆心坐标为：，半径为，
所以圆的标准方程为：.
故答案为：．
本题考查直线与圆的位置关系及均值不等式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意验正等号成立的条件.
15．
【解析】
分三步来考查，先从到，再从到，最后从到，分别计算出三个步骤中对应的走法种数，然后利用分步乘法计数原理可得出结果.
【详解】
分三步来考查：①从到，则亮亮要移动两步，一步是向右移动一个单位，一步是向上移动一个单位，此时有种走法；
②从到，则亮亮要移动六步，其中三步是向右移动一个单位，三步是向上移动一个单位，此时有种走法；
③从到，由①可知有种走法.
由分步乘法计数原理可知，共有种不同的走法.
故答案为：.
本题考查格点问题的处理，考查分步乘法计数原理和组合计数原理的应用，属于中等题.
16．1元
【解析】
设分别生产甲乙两种产品为 桶，桶，利润为元
则根据题意可得
目标函数 ，作出可行域，如图所示
作直线 然后把直线向可行域平移，
由图象知当直线经过 时，目标函数 的截距最大，此时 最大，
由 可得，即
此时 最大 ，
即该公司每天生产的甲4桶，乙4桶，可获得最大利润，最大利润为1．
【点睛】本题考查用线性规划知识求利润的最大值，根据条件建立不等式关系，以及利用线性规划的知识进行求解是解决本题的关键．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）分两种情况讨论：①两切线、中有一条切线斜率不存在时，求出两切线的方程，验证结论成立；②两切线、的斜率都存在，可设切线的方程为，将该直线的方程与椭圆的方程联立，由可得出关于的二次方程，利用韦达定理得出两切线的斜率之积为，进而可得出结论；
（2）求出点、的坐标，利用两点间的距离公式结合韦达定理得出，换元，可得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】
（1）由于点在半圆上，则.
①当两切线、中有一条切线斜率不存在时，可求得两切线方程为，或，，此时；
②当两切线、的斜率都存在时，设切线的方程为（、的斜率分别为、），
，
，，.
综上所述，；
（2）根据题意得、，
，
令，则，
所以，当时，，当时，.
因此，的取值范围是.
本题考查椭圆两切线垂直的证明，同时也考查了弦长的取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题.
18．（1）见解析，有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.（2）
【解析】
（1）根据题意填写列联表，利用公式求出，比较与6.635的大小得结论；
（2）由样本数据可得经常阅读的人的概率是，则，根据二项分布的期望公式计算可得；
【详解】
解：（1）由题意可得：
则，
所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.
（2）根据样本估计，从该地区城镇居民中随机抽取1人，抽到经常阅读的人的概率是，且，所以随机变量的期望为.
本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的数学期望的计算，考查运算求解能力，属于基础题．
19．（1）3360元；（2）见解析
【解析】
（1）根据频率分布直方图计算每个农户的平均损失；
（2）根据频率分布直方图计算随机变量X的可能取值，再求X的分布列和数学期望值．
【详解】
（1）记每个农户的平均损失为元，则
；
（2）由频率分布直方图，可得损失超过1000元的农户共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50＝15（户），损失超过8000元的农户共有0.00003×2000×50＝3（户），
随机抽取2户，则X的可能取值为0，1，2；
计算P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
所以X的分布列为；
数学期望为E（X）＝0×+1×+2×＝．
本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，属于中档题．
20．（1）（2）
【解析】
（1）当时，不等式可化为：，再利用绝对值的意义，分，，讨论求解.
（2）根据可得，得到函数的图象与两坐标轴的交点坐标分别为，再利用三角形面积公式由求解.
【详解】
（1）当时，
不等式可化为：
①当时，不等式化为，
解得：
②当时，不等式化为，
解得：，
③当时，不等式化为解集为，
综上，不等式的解集为.
（2）由题得，
所以函数的图象与两坐标轴的交点坐标分别为，
的面积为，
由，
得（舍），或，
所以，参数的取值范围是.
本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值函数的应用，还考查分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.
21．（1）；（2）证明见解析
【解析】
（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等式的解集.
（2）将不等式坐标因式分解，结合（1）的结论证得不等式成立.
【详解】
（1）解：，
由，解得，
故.
（2）证明：因为，所以，，
所以，
所以.
本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，属于基础题.
22．（1）见解析；（2）．
【解析】
（1）取的中点，连接、，推导出四边形为平行四边形，可得出，由此能证明平面；
（2）由，得平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，在平面内过点作于点，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．
【详解】
（1）取的中点，连接、，
、分别为、的中点，则且，
、均垂直于平面，且，则，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，因此，平面；
（2）由，平面，平面，平面，
点到平面的距离等于点到平面的距离，
在平面内过点作于点，
平面，平面，，
，，平面，
即就是到平面的距离，也就是点到平面的距离，
设，
则到平面的距离，，
因此，直线与平面所成角的正弦值为．
本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
城镇居民
农村居民
合计
经常阅读
100
30
不经常阅读
合计
200
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
城镇居民
农村居民
合计
经常阅读
100
30
130
不经常阅读
40
30
70
合计
140
60
200
X
0
1
2
P