2026年山东省威海市高三第四次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份2026年山东省威海市高三第四次模拟考试数学试卷（含答案解析），共13页。试卷主要包含了已知数列满足，由曲线围成的封闭图形的面积为，等比数列若则等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将一块边长为的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为，则的值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
2．已知满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．平行四边形中，已知，，点、分别满足，，且，则向量在上的投影为（ ）
A．2B．C．D．
4．已知数列满足：)若正整数使得成立，则（ ）
A．16B．17C．18D．19
5．由曲线围成的封闭图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点为抛物线上任意一点的平分线与轴交于，则的最大值为
A．B．C．D．
7．已知函数（其中，，）的图象关于点成中心对称，且与点相邻的一个最低点为，则对于下列判断：
①直线是函数图象的一条对称轴；
②点是函数的一个对称中心；
③函数与的图象的所有交点的横坐标之和为.
其中正确的判断是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
8．等比数列若则（ ）
A．±6B．6C．-6D．
9．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的等于（ ）．
A．B．C．D．
10．下列函数中既关于直线对称，又在区间上为增函数的是( )
A．.B．
C．D．
11．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形为朱方，正方形为青方”，则在五边形内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（ ）
A．B．C．D．
12．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，则函数的极大值为 ___________．
14．在棱长为6的正方体中，是的中点，点是面，所在平面内的动点，且满足，则三棱锥的体积的最大值是__________.
15．观察下列式子，，，，……，根据上述规律，第个不等式应该为__________．
16．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图的的值__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，角、、的对边分别为、、，且.
（1）若，，求的值；
（2）若，求的值.
18．（12分）在底面为菱形的四棱柱中，平面.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
19．（12分）中国古代数学经典《数书九章》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马中，底面ABCD是矩形.平面，，，以的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于M（异于点D），交PC于N（异于点C）.
（1）证明：平面，并判断四面体MCDA是否是鳖臑，若是，写出它每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20．（12分）等比数列中，．
(Ⅰ)求的通项公式；
(Ⅱ)记为的前项和．若，求．
21．（12分）如图，设A是由个实数组成的n行n列的数表，其中aij (i，j=1，2，3，…，n)表示位于第i行第j列的实数，且aij{1，-1}.记S(n，n)为所有这样的数表构成的集合．对于，记ri (A)为A的第i行各数之积，cj (A)为A的第j列各数之积．令
（Ⅰ）请写出一个AS(4，4)，使得l(A)=0；
（Ⅱ）是否存在AS(9，9)，使得l(A)=0？说明理由；
（Ⅲ）给定正整数n，对于所有的AS(n，n)，求l(A)的取值集合．
22．（10分）等差数列的前项和为，已知，.
（Ⅰ）求数列的通项公式及前项和为；
（Ⅱ）设为数列的前项的和，求证：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
推导出，且，，，设中点为，则平面，由此能表示出该容器的体积，从而求出参数的值．
【详解】
解：如图（4），为该四棱锥的正视图，由图（3）可知，，且，由为等腰直角三角形可知，
，设中点为，则平面，∴，
∴，解得.
故选：D
本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用，属于中档题.
2．A
【解析】
利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果.
【详解】
，.
故选：A.
本题考查三角求值，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
3．C
【解析】
将用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.
【详解】
解：
，
得，
则向量在上的投影为.
故选：C.
本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将用向量和表示是关键，是基础题.
4．B
【解析】
计算，故，解得答案.
【详解】
当时，，即，且.
故，
，故.
故选：.
本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.
5．A
【解析】
先计算出两个图像的交点分别为，再利用定积分算两个图形围成的面积.
【详解】
封闭图形的面积为.选A.
本题考察定积分的应用，属于基础题.解题时注意积分区间和被积函数的选取.
6．A
【解析】
求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，，
求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解．
【详解】
解：由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x＝−1，
过点P作PM垂直于准线，M为垂足，
由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|＝x＋1，
记∠KPF的平分线与轴交于
根据角平分线定理可得，
，
当时，，
当时，，
，
综上：．
故选：A．
本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题．
7．C
【解析】
分析：根据最低点，判断A=3，根据对称中心与最低点的横坐标求得周期T，再代入最低点可求得解析式为，依次判断各选项的正确与否．
详解：因为为对称中心，且最低点为，
所以A=3，且
由
所以，将带入得
，
所以
由此可得①错误，②正确，③当时，，所以与 有6个交点，设各个交点坐标依次为 ，则，所以③正确
所以选C
点睛：本题考查了根据条件求三角函数的解析式，通过求得的解析式进一步研究函数的性质，属于中档题．
8．B
【解析】
根据等比中项性质代入可得解，由等比数列项的性质确定值即可.
【详解】
由等比数列中等比中项性质可知，，
所以，
而由等比数列性质可知奇数项符号相同，所以，
故选：B.
本题考查了等比数列中等比中项的简单应用，注意项的符号特征，属于基础题.
9．C
【解析】
从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.
10．C
【解析】
根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案.
【详解】
A中，当时，，所以不关于直线对称，则错误；
B中，，所以在区间上为减函数，则错误；
D中，，而，则，所以不关于直线对称，则错误；
故选：C.
本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.
11．C
【解析】
首先明确这是一个几何概型面积类型，然后求得总事件的面积和所研究事件的面积，代入概率公式求解.
【详解】
因为正方形为朱方，其面积为9，
五边形的面积为，
所以此点取自朱方的概率为.
故选：C
本题主要考查了几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.
12．B
【解析】
求得基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，
基本事件的总数为，
其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,
所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为，故选B.
本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
对函数求导，通过赋值，求得，再对函数单调性进行分析，求得极大值.
【详解】
，故
解得， ，
令，解得
函数在单调递增，在单调递减，
故的极大值为
故答案为：.
本题考查函数极值的求解，难点是要通过赋值，求出未知量.
14．
【解析】
根据与相似，，过作于，利用体积公式求解OP最值，根据勾股定理得出，，利用函数单调性判断求解即可.
【详解】
∵在棱长为6的正方体中，
是的中点，点是面所在平面内的动点，
且满足，又，
∴与相似
∴，即，
过作于，设，，
∴，化简得：
，，
根据函数单调性判断，时，取得最大值36，，
在正方体中平面.
三棱锥体积的最大值为
本题考查三角形相似，几何体体积以及函数单调性的综合应用，难度一般.
15．
【解析】
根据题意，依次分析不等式的变化规律，综合可得答案．
【详解】
解：根据题意，对于第一个不等式，，则有，
对于第二个不等式，，则有，
对于第三个不等式，，则有，
依此类推：
第个不等式为：，
故答案为．
本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律．
16．3
【解析】
由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面，梯形上下边长为和，高为，
如图所示，平面，
所以底面积为，
几何体的高为，所以其体积为．

点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）.
【解析】
（1）利用余弦定理得出关于的二次方程，结合，可求出的值；
（2）利用两角和的余弦公式以及诱导公式可求出的值，利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用二倍角的正切公式可求出的值.
【详解】
（1）在中，由余弦定理得，
，即，
解得或（舍），所以；
（2）由及得，，
所以，
又因为，所以，
从而，所以.
本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系以及二倍角公式求值，考查计算能力，属于中等题.
18．（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）由已知可证，即可证明结论；
（2）根据已知可证平面，建立空间直角坐标系，求出坐标，进而求出平面和平面的法向量坐标，由空间向量的二面角公式，即可求解.
【详解】
方法一：（1）依题意，且∴，
∴四边形是平行四边形，∴，
∵平面，平面，
∴平面.
（2）∵平面，∴，
∵且为的中点，∴，
∵平面且，
∴平面，
以为原点，分别以为轴、轴、轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
∴
设平面的法向量为，
则，∴，取，则.
设平面的法向量为，
则，∴，取，则.
∴，
设二面角的平面角为，则，
∴二面角的正弦值为.
方法二：（1）证明：连接交于点，
因为四边形为平行四边形，所以为中点，
又因为四边形为菱形，所以为中点，
∴在中，且，
∵平面，平面，
∴平面
（2）略，同方法一.
本题主要考查线面平行的证明，考查空间向量法求面面角，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养，属于中档题.
19．（1）证明见解析，是，，，，；（2）
【解析】
（1）根据是球的直径，则，又平面， 得到，再由线面垂直的判定定理得到平面，，进而得到，再利用线面垂直的判定定理得到平面.
（2）以A为原点，，，所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系，设，由，解得，得到，从而得到，然后求得平面的一个法向量，代入公式求解.
【详解】
（1）因为是球的直径，则，
又平面，
∴，.∴平面，
∴，∴平面.
根据证明可知，四面体是鳖臑.
它的每个面的直角分别是，，，.
（2）如图，
以A为原点，，，所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系，
则，，，，.
M为中点，从而.
所以，设，
则.
由，
得.
由得，即.
所以.
设平面的一个法向量为.
由.
取，，，得到.
记与平面所成角为θ，
则.
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
本题主要考查线面垂直的判定定理和线面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
20． (Ⅰ)或(Ⅱ)12
【解析】
（1）先设数列的公比为，根据题中条件求出公比，即可得出通项公式；
（2）根据（1）的结果，由等比数列的求和公式，即可求出结果.
【详解】
（1）设数列的公比为，
，
，
或.
（2）时，，解得；
时，，
无正整数解；
综上所述.
本题主要考查等比数列，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于基础题型.
21．（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）不存在，理由见解析；（Ⅲ）
【解析】
（Ⅰ）可取第一行都为-1，其余的都取1，即满足题意；
（Ⅱ）用反证法证明：假设存在，得出矛盾，从而证明结论；
（Ⅲ）通过分析正确得出l(A)的表达式，以及从A0如何得到A1，A2……，以此类推可得到Ak．
【详解】
（Ⅰ）答案不唯一，如图所示数表符合要求.
（Ⅱ）不存在AS(9，9)，使得l(A)=0，证明如下:
假如存在，使得.
因为，，
所以，，...，，，，...，这18个数中有9个1，9个-1.
令.
一方面，由于这18个数中有9个1，9个-1，从而①，
另一方面，表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m）；
也表示m，从而②，
①，②相矛盾，从而不存在，使得.
（Ⅲ）记这个实数之积为p.
一方面，从“行”的角度看，有；
另一方面，从“列”的角度看，有；
从而有③，
注意到，，
下面考虑，，...，，，，...，中-1的个数，
由③知，上述2n个实数中，-1的个数一定为偶数，该偶数记为，则1的个数为2n-2k，
所以，
对数表，显然.
将数表中的由1变为-1，得到数表，显然，
将数表中的由1变为-1，得到数表，显然，
依此类推，将数表中的由1变为-1，得到数表，
即数表满足：，其余，
所以，，
所以，
由k的任意性知，l（A）的取值集合为.
本题为数列的创新应用题，考查数学分析与思考能力及推理求解能力，解题关键是读懂题意，根据引入的概念与性质进行推理求解，属于较难题.
22．（Ⅰ）， （Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）根据等差数列公式直接计算得到答案.
（Ⅱ），根据裂项求和法计算得到得到证明.
【详解】
（Ⅰ）等差数列的公差为，由，得，，
即，，解得，.
∴，.
（Ⅱ），∴，
∴，即.
本题考查了等差数列的基本量的计算，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
a11
a12
…
a1n
a21
a22
a2n
…
…
…
…
an1
an2
…
ann