江苏扬州市2025—2026学年第二学期七年级期中数学试卷（含解析）

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一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1. 下面是4个 “神器”，文字上方的图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
据此即可求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意，
故选：B．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项等计算，根据以上运算法则进行计算即可．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
3. 下列各式能用平方差公式计算的是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法．
【详解】A、不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项错误；
B、，不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项错误；
C、符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项正确；
D、不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行计算，故本选项错误．
故选C．
本题考查的是应用平方差公式进行计算的能力，掌握平方差公式的结构特征是正确解题的关键．
4. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺．现设绳长尺，木长尺，则可列二元一次方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题的等量关系是：绳长木长；木长绳长，据此可列方程组求解．
【详解】解：设绳长尺，长木为尺，
依题意得，
故选：B．
此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解．
5. 一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若，则( )．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，根据平行线的性质可得，，再结合角的和差关系可得答案．
【详解】解：过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，

∵直尺两边互相平行，
∴，，
∵，
∴．
故选：B．
6. 若，则a、b、c、d的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，计算每一项再比较即可，熟知计算法则是解题的关键．
【详解】解：；；；，
，
，
故选：D．
7. 如图，在的正方形网格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ）
A. 点B. 点C. 点D. 点
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心是解题的关键．如图根据题意，可知点绕某点旋转后的对应点为点，点绕某点旋转后的对应点为点，点绕某点旋转后的对应点为点，连接，，借助网格，画出线段，的垂直平分线，找到其垂直平分线的交点，即可所求．
【详解】解：如图所示，点即为所求，
故选：C．
8. 如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的值为（ ）
①；②；③；④
A. ①②B. ①②③C. ①②③④D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，如图，当点在上时，当点在延长线上时，两种情况中又分为当时，当时，过点作，证明，得到，再通过角之间的关系建立方程求解即可．
【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作，
∵由平移得到，
，
∵，
，
，
当时，
设，则，
∴，
，
，
解得：，
；
当时，
设，则，
∴，
，
，
解得：，
；
第二种情况：当点在延长线上时，过点作，
同理可得，
当时，
设，则，
∴，
，
，
解得：，
；
由于，则这种情况不存在；
综上所述，的度数可以为或或．
故选：D．
二．填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
9. 近年来我国芯片技术迅猛发展，麒麟系列芯片突破封锁，采用先进的7纳米工艺．7纳米毫米，将数据用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式，确定的是关键．
科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值；由此即可求解．
【详解】解：，
故答案为： ．
10. __________．
【答案】4051
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式的应用，掌握平方差公式是解题的关键．
观察式子为两个连续整数的平方差，用平方差公式分解因式简化计算，避免直接计算大数平方．
【详解】解：原式为 ，根据平方差公式 ，其中 ，，
原式 ，
故答案为：4051．
11. 若，，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】将变形为与的乘积，代入已知条件即可求出的值．
【详解】解：，，，
，
．
12. 一块长方形地砖的长，宽分别为，（，）．如果长，宽各裁去，则剩余部分的面积为______．
【答案】（ab-2a-2b+4）
【解析】
【分析】先得出裁去2cm后的长方形的长和宽，再根据长方形面积公式列式计算即可．
【详解】解：裁去2cm后，长方形地砖的长和宽分别为：
（a-2）cm，（b-2）cm，
则剩余部分的面积是：（a-2）（b-2）=（ab-2a-2b+4）cm2．
故答案为：（ab-2a-2b+4）．
本题主要考查了多项式乘多项式，熟悉长方形的面积公式及多项式乘法公式是解题的关键．
13. 将方程写成用含的代数式表示的形式为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解法，解题关键是熟悉二元一次方程的解法．
先将移到方程右边，再系数化为1即可．
【详解】解：，
移项，得，
系数化为1，得，
故答案为：．
14. 如果，那么我们规定．例如：因为，所以．若，则________．
【答案】80
【解析】
【分析】根据定义解答即可．
【详解】设，，，
，，，
，
，
，
，
即，
．
故答案为：80
本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．
15. 如图，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转后到达的位置，此时恰好使得，则的大小为________．
【答案】##15度
【解析】
【分析】由旋转得，由，由，求得，由，得，进而即可得到．
【详解】解：绕点A逆时针旋转后到达的位置，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
本题主要考查了旋转的性质、平行线的性质的、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，推导出，是解题的关键．
16. 如果是一个完全平方式，那么m的值为_______．
【答案】
【解析】
【详解】解：∵是一个完全平方式
∴
∴
∴．
17. 如图，沿方向平移到，若，，平移的距离为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查图形的平移，理解平移前后图形间的对应关系是解题的关键．
如图，由与之间位置关系，可知的长度即平移的距离．
【详解】解：如图，
∵平移
∴，
即移动距离为2．
故答案为：2．
18. 如图，可以看成由经过怎样的图形变换得到？①一次平移；②一次轴对称；③一次旋转；④一次平移和一次轴对称．其中，正确结论的序号是______．
【答案】④
【解析】
【分析】本题考查几何变换的类型，解题时的关键是掌握平移变换，轴对称变换，旋转变换的性质
利用平移变换，轴对称变换，旋转变换的性质判断即可
【详解】解：可以看成由经过一次平移和一次轴对称得到，
故答案为：④．
三．解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
20. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：

；
【小问2详解】
解：
．
21. 解二元一次方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【小问1详解】
解：
把②代入①得：，
解得：，
把代入②得：，
∴二元一次方程组的解为；
【小问2详解】
解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为．
本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，准确计算．
22. 先化简，再求值．，其中．
【答案】；-1
【解析】
【分析】根据整式的混合运算法则，先化简，再代入求值，即可求解．
【详解】原式
，
当时，原式．
本题主要考查整式的化简求值，掌握平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式法则，合并同类项法则，是解题的关键．
23. 如图所示的正方形方格（每个小正方形的边长为1个单位）．的三个顶点均在小方格的顶点上（作图痕迹用黑色签字笔加黑）．
（1）画出关于点的中心对称图形；
（2）画出将沿直线向上平移5个单位得到的；
（3）画出，要使与重合，则绕点顺时针方向至少旋转 °．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查画平移后图形，画旋转图形，画中心对称图形等．
（1）连接，并作反向延长线到，再依次连接，即可得到；
（2）分别将点依次向上平移5个单位得到点，再依次连接即可；
（3）由旋转性质可得至少旋转，与重合．
【小问1详解】
解：连接，并作反向延长线到，再依次连接，即可得到，如下图所示：
；
【小问2详解】
解：分别将点依次向上平移5个单位得到点，再依次连接即可，如下图所示：
；
【小问3详解】
解：画出，如下图所示：
，
∴绕点顺时针方向至少旋转，与重合，
故答案为：．
24. 如图，已知，用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹）．
（1）作 的平分线；
（2）过点作线段的垂线．
【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解
【解析】
【分析】本题主要考查尺规作垂线，作角平分线，掌握尺规作图的方法是关键．
（1）根据尺规作角平分线即可；
（2）根据尺规作垂线即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为的角平分线，
【小问2详解】
解：如图所示，即为线段的垂线．
25. 某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣650件包裹．
（1）求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹；
（2）“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，甲、乙两机器人某一天分拣包裹的总数量是2250件，并且都在4小时以上，这一天甲、乙机器人分别工作多少小时？
【答案】（1）甲、乙两机器人每小时各分拣150件、100件包裹；
（2）甲、乙机器人分别要工作5小时，15小时或甲、乙机器人分别要工作7小时，12小时或甲、乙机器人分别要工作9小时，9小时或甲、乙机器人分别要工作11小时，6小时．
【解析】
【分析】（1）设甲、乙两机器人每小时各分拣x件、y件包裹，根据“若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣650件包裹”列出方程组，求解即可；
（2）设甲、乙两机器人分别工作m小时，n小时，根据“甲、乙两机器人某一天分拣包裹的总数量是2250件”列出方程，求解即可．
【小问1详解】
解：设甲、乙两机器人每小时各分拣x件、y件包裹，
根据题意得2x+4y=7003x+2y=650，
解得，
答：甲、乙两机器人每小时各分拣150件、100件包裹；
【小问2详解】
解：设甲、乙两机器人分别工作m小时，n小时，
根据题意得 ，且，
解得，，m=9n=9，m=11n=6，
答：甲、乙机器人分别要工作5小时，15小时或甲、乙机器人分别要工作7小时，12小时或甲、乙机器人分别要工作9小时，9小时或甲、乙机器人分别要工作11小时，6小时．
26. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇异数”，如：，，因此8、16、24都是“奇异数”．
（1）试说明32是否为“奇异数”；
（2）你能说明“奇异数”一定是8的倍数吗？若能，请说明理由，若不能，请举一个反例．
【答案】（1）32是“奇异数”
（2）“奇异数”一定是8的倍数，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义运算，整式乘法运算的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
（1）根据“奇异数”定义进行判断即可；
（2）设“奇异数”为M，根据题意得出，其中n为整数，然后变形得出，即可得出答案．
【小问1详解】
解：因为，所以32是“奇异数”；
【小问2详解】
解：“奇异数”一定是8的倍数，理由如下：
由题意可设“奇异数”为M，
即，其中n为整数，
则，
所以“奇异数”是8的倍数．
27. 我们知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如，由图1可以得到，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决问题：已知，，求的值；
（3）小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽和长分别为和的长方形纸片拼出一个面积为的长方形．请仿照图2，画出拼出的长方形并求出的值．
（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数式恒等式．图4表示的是一个棱长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中的数据以及图形的变化关系，写出一个数学等式 ．（等式的两边均不用化简）
【答案】（1）
（2）；
（3）图见解析，9； （4）
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．
（1）根据数据表示出正方形的长，再根据正方形的面积公式写出等式的左边，然后表示出每一小部分的面积，最后根据面积相等即可写出等式．
（2）根据利用（1）中所得到的结论，将，作为整体代入即可求出．
（3）根据题意画出图形，再根据多项式乘多项式求出，得出，，，然后求出代数式的值即可；
（4）用两种方法表示正方体挖去一个长方体后剩余部分的体积，即可得出这个数学等式．
【小问1详解】
解：图中所表示的数学等式为：
，
故答案为：．
【小问2详解】
解：∵，
，
∴，
∴的值为；
【小问3详解】
解：∵，
又∵边长为的正方形面积为，边长为的正方形面积为，宽、长分别为、的长方形纸片面积为，
∴需要边长为的正方形纸片2张，边长为的正方形纸片2张，宽、长分别为、的长方形纸片5张，如图，
即，，，
∴，
故答案为：9；
【小问4详解】
解：长为m的正方体挖去一个长方体后体积为：，
新长方体的长为，宽为m，高为，则体积为：，
∴可以得到的数学等式为．
故答案为：．
28. 已知中，，，，，将绕着点顺时针旋转得到，直线和直线相交于点．
（1）如图1，若于点，求的长；
（2）如图2，当点落在边上时，请探究和的位置关系，并说明理由；
（3）直接写出在旋转过程中的度数；（用含有的代数式表示）
（4）在图3中用尺规作图作出点，使得旋转过程中的面积最大，并直接写出此时的面积．
【答案】（1）；
（2），理由见解析；
（3）或；
（4）图见解析，的最大面积为．
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，三角形的外角，等积法求线段的长：
（1）等积法求出的长即可；
（2）旋转的性质，结合三角形的外角的性质，推出，即可得出结果；
（3）分点在线段上时和点在线段的延长线上两种情况进行求解即可；
（4）过点作，连接，得到，得到当三点共线时的面积最大，进行作图，求解即可．
【小问1详解】
解：∵于点，，
∴，
，，，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵由旋转而来，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
当点在线段上时，如图：
∵由旋转而来，
∴，，
∵，
∴，
∴；
当点在线段的延长线上时，如图：
∵由旋转而来，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上：或；
【小问4详解】
作，当三点共线时，最大，作图如下：
过点作，连接，
∴，
∴当最大时，最大，
∵，
∴当三点共线且点和点位于点两侧时，最大，
∵，由（1）知：，
∴，
∴；
即的最大面积为．