2026年上海市松江区七年级下学期期中数学试卷及参考答案

这是一份2026年上海市松江区七年级下学期期中数学试卷及参考答案，共18页。
已知 a  b ，下列各式中正确的是（）
a  b
3a  3b
a  b > 0
1 3a  1 3b
2x 1  0

不等式组x  3  0
的解集在数轴上表示正确的是（）．
A.B.
C.D.
如图，已知 a,b,c,d 四条直线，下列不能判断 a  b 的是（）
 2   3
4  5
1 4  180
1 3  180
对于命题“如果 a  1 ，那么 a2  1 ”，能说明它是假命题的反例是（）
a  2
a  2
a  1
2
a  0
现有两根长度分别为 20cm 和30cm 的木条，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，则第三根木条的长度可以是（）
10cm
30cm
50cm
55cm
如图，一副三角板放置在两条平行线l1, l2 之间，两块三角板斜边恰好在同一直线上，则 的度数为（）
10
15
20
25
二、填空题（本大题 12 小题，每小题 2 分，共 24 分）
用适当的不等号填空：如果 a  b，b  c ，那么a c ．
若关于 x 的不等式a 1 x  a 1的解集为 x  1，则 a 的取值范围为．
x  k

若不等式组x  2 有解，则 k 的取值范围是．
把一些奖品分给若干名学生，如果每人分3 个，那么多出7 个奖品；如果每人分5 个，那么有一个学生分到的奖品就少于3 个，问学生至少有多少名？设有 x 名学生，依题意可列不等式．
如图，已知直线 AB 、CD 相交于点O ， OE 平分 BOC ， BOE  65， AOD   ．
如图，已知直线 a 、b 被直线l 所截， a 
b ，且1  x， 2  3x  20 ，那么1  ．
命题“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是．
在△ABC 中，若C  60，B  2A ，则A  ．
如图， 已知BAC  70 ， D 为△ABC 的边 BC 上的一点， 且CAD  C ， ADB  80 ． 则B 
 ．
如图， AB ∥CD ，直线 EF 交 AB 于点 E ，交CD 于 F ， EG 平分BEF ，交CD 于点G ， 1  50 ，则
2   ．
如图，点 D 是△ABC 的边 BC 上任意一点，点 E 、F 分别是线段 AD 、CE 的中点，且△ABC 的面积为60 ，则△BEF 的面积 ．
如图， AB  14 ， AC  6 ， AC  AB ， BD  AB ，垂足分别为 A 、 B ．点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位的速度沿 AB 向点 B 运动；点Q 从点 B 出发，以每秒 a 个单位的速度沿射线 BD 方向运动．点 P 、点Q 同时出
发，当以 P 、 B 、Q 为顶点的三角形与△CAP 全等时， a 的值为．
三、简答题（第 19 题 5 分，20、21 每题 6 分，22 题 4 分，23 题 6 分，共 27 分）
解不等式： x 1  x  2  x  4 ，并将不等式的解集表示在数轴上．
326
2  x 1  x  7

解不等式组： 4x  2x  4
，并写出它的整数解．
如图，已知△ABC ，根据下列要求画出图形并回答问题：
作边 AB 上的高CD ；
过点 B 画 AC 的垂线 BE ，垂足为 E ；
过点 E 画CD 的平行线 EF ，交 AB 于点 F ；
点 E 到直线 AB 的距离是线段的长度．
用反证法证明．已知：1 和2 是直线 AB、CD 被直线 EF 截出的同位角，EF 分别交 AB、CD 于点 M 、N ，
AB∥CD ．
求证： 1  2 ．
证明：假设，过点 M 作直线GH ，使得EMH  2
根据，可得到，又因为 AB∥CD ，与矛盾，
故假设不成立，所以1  2 .
完成下面的证明．
如图， BAP 与APD 互补， BAE  CPF ，求证： E  F ．对于本题小丽是这样证明的，请你将她的证明过程补充完整．
证明：证明：∵ BAP 与APD 互补，（已知）
∴ AB ∥CD ．（）
∴ BAP  APC ．（）
∵ BAE  CPF ，（已知）
∴ BAP  BAE  APC  CPF ，（等量代换）即 ．
∴ AE ∥ FP ．（）
∴ E  F ．（）
四、解答题（第 24、25 题每题 7 分，第 26 题每题 8 分，第 27 题每题 9 分，共 31 分）
如图，在四边形 ABCD 中， AD∥ BC ， BD  CD ，点 E、F 分别在 BC、CD 上， EF  CD ．
判断1 与2 的大小关系，并说明理由．
若A  100， BD 平分 ABC ，求 ADC 的度数．
如图，在△ABC 中，  ABC 、 ACB 的平分线OB 、OC 相交于点O ．
（1）若A  70，则BOC   ；
（2）探究 A 与 BOC 的数量关系，并说明理由．
某校为补充课间体育器材，计划采购沙包和篮球共90 个，已知每个篮球的价格比每个沙包的价格高18 元，购买
5 个沙包和8 个篮球共花费300 元．
沙包和篮球的单价各是多少元？
若采购总资金不超过1764 元，且篮球的数量不少于沙包数量的 2
3
，请问有几种购买方案？写出所有购买方案．
课题学习：平行线的“等角转化”功能．
阅读理解：如图 1，已知点 A 是 BC 外一点，连接 AB ， AC ，求BAC  B  C 的度数．阅读并补充下面推理过程
解：过点 A 作 ED / / BC
∴ B  EAB,C  ．
∵ 180
∴ B  BAC  C  180
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 BAC ，  B ，  C “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：如图 2，已知 AB // ED ，求证： D  BCD  B  180 （提示：过点C 作CF / / AB ）．
深化拓展：已知 AB / /CD ，点C 在点 D 的右侧，ADC  60 . BE 平分 ABC ，DE 平分 ADC ，BE ，
DE 所在的直线交于点 E ，点 E 在 AB 与CD 两条平行线之间．
①如图 3，点 B 在点 A 的左侧，若ABC  50 ，求BED 的度数。
②如图 4，点 B 在点 A 的右侧，且 AB  CD ， AD  BC. 若ABC  100 ，则BED 的度数为 ．
2025 学年第二学期七年级数学期中质量监测试卷
（满分 100 分，考试时间 90 分钟） 2026.4
一、选择题（本大题 6 小题，每题 3 分，共 18 分）
已知 a  b ，下列各式中正确的是（）
a  b
3a  3b
a  b > 0
1 3a  1 3b
【答案】： D
2x 1  0

不等式组x  3  0
的解集在数轴上表示正确的是（）．
A.B.
C.D.
【答案】： B
如图，已知 a,b,c,d 四条直线，下列不能判断 a  b 的是（）
 2   3
【答案】： C
4  5
1 4  180
1 3  180
对于命题“如果 a  1 ，那么 a2  1 ”，能说明它是假命题的反例是（）
a  2
【答案】： A
a  2
a  1
2
a  0
现有两根长度分别为 20cm 和30cm 的木条，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，则第三根木条的长度可以是（）
10cm
【答案】： B
30cm
50cm
55cm
如图，一副三角板放置在两条平行线l1, l2 之间，两块三角板斜边恰好在同一直线上，则 的度数为（）
10
【答案】： B
15
20
25
二、填空题（本大题 12 小题，每小题 2 分，共 24 分）
用适当的不等号填空：如果 a  b，b  c ，那么a c ．
【答案】： 
若关于 x 的不等式a 1 x  a 1的解集为 x  1，则 a 的取值范围为．
【答案】： a  1
x  k

若不等式组x  2 有解，则k 的取值范围是．
【答案】： k  2
把一些奖品分给若干名学生，如果每人分3 个，那么多出7 个奖品；如果每人分5 个，那么有一个学生分到的奖品就少于3 个，问学生至少有多少名？设有 x 名学生，依题意可列不等式．
【答案】： 0  3x  7  5 x 1  3
如图，已知直线 AB 、CD 相交于点O ， OE 平分 BOC ， BOE  65， AOD   ．
【答案】：130
如图，已知直线 a 、b 被直线l 所截， a 
【答案】： 50
b ，且1  x， 2  3x  20 ，那么1  ．
命题“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是．
【答案】：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角
在△ABC 中，若C  60，B  2A ，则A  ．
【答案】： 40
如图， 已知BAC  70 ， D 为△ABC 的边 BC 上的一点， 且CAD  C ， ADB  80 ． 则B 
 ．
【答案】： 70
如图， AB ∥CD ，直线 EF 交 AB 于点 E ，交CD 于 F ， EG 平分BEF ，交CD 于点G ， 1  50 ，则
2   ．
【答案】： 65
如图，点 D 是△ABC 的边 BC 上任意一点，点 E 、F 分别是线段 AD 、CE 的中点，且△ABC 的面积为60 ，则△BEF 的面积 ．
【答案】： 30
如图， AB  14 ， AC  6 ， AC  AB ， BD  AB ，垂足分别为 A 、 B ．点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位的速度沿 AB 向点 B 运动；点Q 从点 B 出发，以每秒 a 个单位的速度沿射线 BD 方向运动．点 P 、点Q 同时出
发，当以 P 、 B 、Q 为顶点的三角形与△CAP 全等时， a 的值为．
12
【答案】： 2 或
7
三、简答题（第 19 题 5 分，20、21 每题 6 分，22 题 4 分，23 题 6 分，共 27 分）
解不等式： x 1  x  2  x  4 ，并将不等式的解集表示在数轴上．
326
【答案】： x  4 ，数轴表示见详解.
【详解】：解： x 1  x  2  x  4 ，
326
x 1  6  x  2  6  x  4  6 ，
326
2 x 1  3 x  2  x  4 ，
2x  2  3x  6  x  4 ，
2x  3x  x  4  2  6 ，
2x  8 ，
x  4 ．
2  x 1  x  7

解不等式组： 4x  2x  4
，并写出它的整数解．
【答案】： 2  x  3 ，整数解为1, 0,1, 2, 3 .
2  x 1  x  7①

【详解】：解： 4x  2x  4②
解不等式① 得 x  3 ，解不等式② 得 x  2 ，
∴不等式组的解集为2  x  3 ，
∴整数解为1, 0,1, 2, 3 ．
如图，已知△ABC ，根据下列要求画出图形并回答问题：
作边 AB 上的高CD ；
过点 B 画 AC 的垂线 BE ，垂足为 E ；
过点 E 画CD 的平行线 EF ，交 AB 于点 F ；
点 E 到直线 AB 的距离是线段的长度．
【答案】：（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4） EF .
【详解】：（1）解：如图所示，过点 C 作CD  AB 交 AB 延长线于 D ，则CD 即为所求；
解：如图所示，即为所求；
解：如图所示，即为所求；
解：∵ EF∥CD，CD⊥AB ，
∴ EF  AB ，
∴点 E 到直线 AB 的距离是线段 EF 的长度．
用反证法证明．已知：1 和2 是直线 AB、CD 被直线 EF 截出的同位角，EF 分别交 AB、CD 于点 M 、N ，
AB∥CD ．
求证： 1  2 ．
证明：假设，过点 M 作直线GH ，使得EMH  2
根据，可得到，又因为 AB∥CD ，与矛盾，
故假设不成立，所以1  2 .
【答案】： 1  2 ，同位角相等，两直线平行， GH / /CD ；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【详解】： 1  2 ，同位角相等，两直线平行， GH / /CD ；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
完成下面的证明．
如图， BAP 与APD 互补， BAE  CPF ，求证： E  F ．对于本题小丽是这样证明的，请你将她的证明过程补充完整．
证明：∵ BAP 与APD 互补，（已知）
∴ AB ∥CD ．（）
∴ BAP  APC ．（）
∵ BAE  CPF ，（已知）
∴ BAP  BAE  APC  CPF ，（等量代换）即 ．
∴ AE ∥ FP ．（）
∴ E  F ．（）
【答案】：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等； EAP ； APF ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【详解】：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等； EAP ； APF ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
四、解答题（第 24、25 题每题 7 分，第 26 题每题 8 分，第 27 题每题 9 分，共 31 分）
如图，在四边形 ABCD 中， AD∥ BC ， BD  CD ，点 E、F 分别在 BC、CD 上， EF  CD ．
判断1 与2 的大小关系，并说明理由．
若A  100， BD 平分 ABC ，求 ADC 的度数．
【答案】：（1） 1  2 ，理由见详解；（2）130 .
【详解】：（1）解： 1  2 ，理由如下：
∵ AD∥ BC ，
∴ 1  DBC ，
∵ BD  CD ， EF  CD ，
∴ BD ∥ EF ，
∴ 2  DBC ，
∴ 1  2 ；
（2）∵ AD∥ BC ， A  100，
∴ ABC  180  A  180 100  80 ，
∵ BD 平分 ABC ，
∴ DBC  1 ABC  1  80  40 ，
22
∴ 1  DBC  40 ，
∵ BD  CD ，
∴  BDC=90 ，
∴ ADC  1 BDC  40  90  130 ．
如图，在△ABC 中，  ABC 、 ACB 的平分线OB 、OC 相交于点O ．
（1）若A  70，则BOC   ；
（2）探究 A 与 BOC 的数量关系，并说明理由．
【答案】：（1）125；（2） BOC  90  1 A ，理由见详解．
2
【详解】：（1）解：∵ΔABC 的内角和为180 ， A  70，
∴ ABC  ACB  180  A  110，
∵ OB 、OC 为 ABC 、 ACB 的平分线，
∴ ABO  OBC  1 ABC ， ACO  OCB  1 ACB ，
22
∴ OBC  OCB  1 ABC  ACB   55 ，
2
∵△BOC 的内角和为180 ，
∴ BOC  180 OBC  OCB  125 ；
（2）解：  A 与 BOC 的数量关系为： BOC  90  1 A ，理由如下：
2
∵△ABC 的内角和为180 ，
∴ ABC  ACB  180  A ，
∵ OB 、OC 为 ABC 、 ACB 的平分线，
∴ ABO  OBC  1 ABC ， ACO  OCB  1 ACB ，
22
∴ OBC  OCB  1 ABC  ACB   1 180  A  90  1 A ，
222
∵△BOC 的内角和为180 ，
∴ BOC  180  OBC  OCB   180   90  1 A   90  1 A ．
22

某校为补充课间体育器材，计划采购沙包和篮球共90 个，已知每个篮球的价格比每个沙包的价格高18 元，购买
5 个沙包和8 个篮球共花费300 元．
沙包和篮球的单价各是多少元？
若采购总资金不超过1764 元，且篮球的数量不少于沙包数量的 2
3
【答案】：（1）沙包的单价为12 元，篮球的单价为30 元；
，请问有几种购买方案？写出所有购买方案．
（2）一共有三种方案，分别是：方案一：购买沙包52 个，购买篮球38 个；方案二：购买沙包53 个，购买篮球37个；方案三：购买沙包54 个，购买篮球36 个.
【详解】：（1）解：设沙包的单价为 x 元，篮球的单价为 y 元，根据题意得：
 y  x  18 x  12
5x  8 y  300 ，解得：  y  30 ，

答：沙包的单价为 12 元，篮球的单价为 30 元．
（2）解：设购买沙包 m 个，购买篮球90  m 个，根据题意得：

12m  30 90  m   1764
2

90  m  3 m
解得： 52  m  54 ，
∴一共有三种方案，分别是：
方案一：购买沙包52 个，购买篮球38 个；方案二：购买沙包53 个，购买篮球37 个；方案三：购买沙包54 个，购买篮球36 个.
课题学习：平行线的“等角转化”功能．
阅读理解：如图 1，已知点 A 是 BC 外一点，连接 AB ， AC ，求BAC  B  C 的度数．阅读并补充下面推理过程
解：过点 A 作 ED / / BC
∴ B  EAB,C  ．
∵ 180
∴ B  BAC  C  180
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 BAC ，  B ，  C “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：如图 2，已知 AB // ED ，求证： D  BCD  B  180 （提示：过点C 作CF / / AB ）．
深化拓展：已知 AB / /CD ，点C 在点 D 的右侧，ADC  60 . BE 平分 ABC ，DE 平分 ADC ，BE ，
DE 所在的直线交于点 E ，点 E 在 AB 与CD 两条平行线之间．
①如图 3，点 B 在点 A 的左侧，若ABC  50 ，求BED 的度数.
②如图 4，点 B 在点 A 的右侧，且 AB  CD ， AD  BC. 若ABC  100 ，则BED 的度数为 ．
【答案】：（1） DAC ， EAB  BAC  DAC ； （2）证明见详解；（3）① 55 ；②160 .
【详解】：（1）如图 1，过点 A 作 ED / / BC ，
∴ B  EAB,C  DAC ，
∵ EAB  BAC  DAC＝180 ，
∴ B  BAC  C  180 ，
故答案为： DAC ， EAB  BAC  DAC ；
如图 2，过C 作CF / / AB ，
∵ AB / / DE ，
∴ CF / /DE ，
∴ D  FCD  180 ，
∵ CF / / AB ，
∴ B  BCF ，
∵ D  BCD  180  BCF ，
∴ D  BCD  180  B ，即D  BCD  B  180 ；
①如图 3，过点 E 作 EF / / AB ，
∵ AB / /CD ，
∴ AB / /CD / /EF ，
∴ ABE  BEF ,CDE  DEF ，
∵ BE 平分 ABC ， DE 平分 ADC ， ABC  50 , ， ADC  60 ，
∴ ABE  1 ABC  25 ,CDE  1 ADC  30 ，
22
∴ BED  BEF  DEF  25  30  55 ；
②如图 4，过点 E 作 EF / / AB ，
∵ BE 平分 ABC ， DE 平分 ADC ， ABC  100 ， ADC  60 ，
∴ ABE  1 ABC  50 ,CDE  1 ADC  30 ，
22
∵ AB / /CD ，
∴ AB / /CD / /EF ，
∴ BEF  180  ABE  130 ,CDE  DEF  30 ，
∴ BED  BEF  DEF  130  30  160 ，故答案为：160 ．