上海市松江区2025-2026学年上学期七年级数学期末考试卷（含答案+解析）

这是一份上海市松江区2025-2026学年上学期七年级数学期末考试卷（含答案+解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.中式连续纹样是一种独特的艺术形式，不仅承载着吉祥和美好的寓意，还展现了古人对自然和生活的深刻理解，下面四个连续纹样中，属于四方连续纹样的是( )
A. B. C. D.
2.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A. x2−10x−25B. a2+4a+16C. 9x2+24x+16D. 4x2+4x
3.小海解分式方程1−x2−x−1=3x−4x−2的过程如图所示，他从某一步开始出现了错误，则出现错误的是( )
A. 第一步B. 第二步C. 第三步D. 第四步
4.古代建筑中，榫sn卯m结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5千克．已知用35千克木材制作榫的数量与用30千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为x千克，符合题意的方程是( )
A. 35x=30x−0.5B. 35x=30x+0.5C. 35x+0.5=30xD. 35x+0.5=30x
5.如图是第23届国际数学家大会的邮票，它的图案是一个矩形，这个矩形被分割成大小不相同的11个正方形．如果图中所有正方形的边长都是整数，且图中最大正方形与最小正方形的边长分别为x、y，则xy的值( )
A. 12B. 11C. 434D. 323
二、填空题：本题共13小题，每小题2分，共26分。
6.单项式−x2y3的系数是 .
7.化简：2xy−xy= .
8.计算：x3⋅−x2= .
9.计算：x+2x−1= .
10.计算：20xy2−5x÷5x= .
11.因式分解：−9+25x2= .
12.如果分式2−x2x+3有意义，那么x的取值范围是 .
13.若a+2b=3，则整式1−2a−4b的值为 .
14.若关于x的整式x2+px+5可以在有理数范围内因式分解，则整数p的值是 .
15.一个分式同时满足：①字母仅含有x；②当x=−3时，分式的值为0；③当x=1时，分式的值为−2，这个分式可以是 (写出一个即可).
16.有下列图形：①等边三角形；②正方形；③平行四边形；④圆；⑤等腰梯形．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 (填序号).
17.如图4×4的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则图中A,B,C,D四个点中是其旋转中心的点是 .
18.若分式x−x−2x−1的值为整数，则所有符合条件的正整数x的值为 .
三、计算题：本大题共6小题，共30分。
19.计算：a+12−a−2a+2.
20.计算：1x+y−1x−y+2yx2−y2.
21.计算：a−1b−1÷a−1−b−1.(结果不含负指数幂)
22.因式分解：x+52+5x+5−6.
23.因式分解：4−a2+4ab−4b2.
24.解方程：1−x1−x=1x−1.
四、解答题：本题共4小题，共34分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
25.(本小题6分)
先化简，再求值：a2−b2a2−2ab+b2+ab−a÷b2a2−ab，其中a、b满足a+22+b−1=0.
26.(本小题8分)
如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，三角形ABC的顶点都在方格纸格点上．将三角形ABC先向左平移2格，再向上平移4格．
(1)请在方格纸中画出平移后的三角形A′B′C′；
(2)求出线段AC扫过的图形的面积．
27.(本小题8分)
某超市购进两种松江大米的礼盒装，其中甲礼盒的购进数量是乙礼盒的3倍．已知购进甲礼盒共花费9000元，购进乙礼盒共花费6000元，且甲礼盒每盒的进价比乙礼盒每盒的进价少20元．
(1)求甲、乙两种礼盒分别购进了多少盒?
(2)该超市将两种礼盒按进价提高n%后定价销售，全部售完后，两种礼盒的利润总和为3600元，求n的值．
28.(本小题12分)
图形运动藏奥秘，动手实践出真知！某校七年级数学兴趣小组围绕直角三角形运动，解锁几何探究新乐趣．
【操作】
如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一动点(不与B、C重合)，连结AE.
(1)将三角形ABE绕点A逆时针旋转90 ∘得到三角形ADF(点B、E分别与点D、F对应)，请在图1中画出旋转后的图形；(不要求写作图步骤，只写结论)
(2)【探究】
在(1)所画图形的基础上，已知AB=a，BE=b(其中a>b)，连结EF.
①当a=10，b=3时，求三角形AEF的面积；
②如果三角形AEF的面积为14，三角形ABE的面积为2，求线段CF的长．
(3)【拓展】在(2)的条件下，画出三角形AEF关于直线EF成轴对称的三角形GEF(点A与点G是对称点)，设GE交CD于点H，直接写出三角形FGH与三角形ECH的面积差．(用含b的代数式表示)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】本题考查了利用平移设计图案，熟练掌握平移的性质是解题的关键．四方连续纹样是指一个单位纹样向上下左右四个方向反复循环排列形成的装饰图案，根据平移的性质判断即可．
【详解】解：属于四方连续纹样的是选项D，
故选：D.
2.【答案】C
【解析】本题考查完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式是解题的关键．
需满足a2±2ab+b2=a±b2的形式，据此判断各选项．
【详解】解：选项A：x2−10x−25，末项−25为负数，且非平方数，不符合公式；
选项B：a2+4a+16：中间项4a对应2⋅a⋅2，末项应为22=4，但末项为16，不匹配；
选项C：9x2+24x+16：首项3x2，末项42，中间项2⋅3x⋅4=24x，符合3x+42；
选项D：4x2+4x：缺少常数项，无法构成完全平方；
故选C.
3.【答案】B
【解析】本题考查解分式方程，根据解分式方程的步骤进行判断即可，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
小海在去分母时未将方程左边的常数项乘以公分母，导致错误．
【详解】解：∵原方程整理后为x−1x−2−1=3x−4x−2，去分母时两边应同乘x−2，
∴左边：x−1x−2−1×x−2=x−1−x−2=1，
右边：3x−4x−2×x−2=3x−4，
得1=3x−4，
但小海第二步写为x−1−1=3x−4，错误在于未将−1乘以x−2，
∴出现错误的是第二步，
故选：B.
4.【答案】A
【解析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设制作1个榫需要的木材为x千克，则每个卯需要的木材为x−0.5千克，结合35千克木材制作榫的数量与用30千克木材制作卯的数量相同，列出方程即可，解题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
【详解】解：设制作1个榫需要的木材为x千克，则每个卯需要的木材为x−0.5千克，
由题意可得，35x=30x−0.5，
故选：A.
5.【答案】B
【解析】本题考查整式加减的应用，代数式求值，利用数形结合的思想是解题关键，设第2号正方形的边长为a，根据图形依次用代数式表示出第3、4、7、11号和第5、6、8号正方形的边长，根据第11号边长+7号边长−8号边长=10号边长，进而可求出x=3y+a+5y+2a−3a−3y=11y，由此即可求解．
【详解】解：如图：顺次对图中每一个正方形标号，
由图可知：第1号正方形的边长为y，第10号正方形的边长为x，设第2号正方形的边长为a，
∴第3号正方形的边长为y+a，第4号正方形的边长为y+y+a=2y+a，
∴第7号正方形的边长为2y+a+y=3y+a，第11号正方形的边长为2y+a+3y+a=5y+2a，
第5号正方形的边长为y+a+a=y+2a，
∴第6号正方形的边长为y+2a+a=y+3a，
∴第8号正方形的边长为y+2a+y+3a−2y+a−3y+a=3a−3y，
由第11号边长+7号边长−8号边长=10号边长可得：
10号边长x=3y+a+5y+2a−3a−3y=11y，
∴xy=11，
故选：B.
6.【答案】−13
【解析】本题主要考查了单项式系数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，据此可得答案．
【详解】解：单项式−x2y3的系数是−13，
故答案为：−13.
7.【答案】xy
【解析】【分析】
本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解决本题的关键．
利用合并同类项法则，计算得结论．
【解答】
解：2xy−xy
=xy.
故答案为：xy.
8.【答案】−x5
【解析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”求解即可．
【详解】解：x3⋅−x2=−x3+2=−x5.
故答案为：−x5.
9.【答案】x2+x−2
【解析】本题主要考查了整式乘法运算，掌握整式的乘法运算法则成为解题的关键．运用多项式乘多项式计算即可．
【详解】解：x+2x−1=x2+x−2，
故答案为：x2+x−2.
10.【答案】4y2−1 /−1+4y2
【解析】本题考查多项式除以单项式的运算，掌握相关运算法则是解题的关键．
根据运算法则，用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加即可．
【详解】解：20xy2−5x÷5x
=20xy2÷5x−5x÷5x
=4y2−1
故答案为：4y2−1.
11.【答案】5x+35x−3
【解析】本题考查因式分解，掌握公式法进行因式分解是解题的关键．
观察表达式，发现其为平方差形式，利用平方差公式进行因式分解．
【详解】解：原式=−9+25x2=25x2−9=5x2−32=5x−35x+3，
故答案为：5x−35x+3.
12.【答案】x≠−32
【解析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为零进行解答即可．
【详解】解：分式有意义的条件是分母不为零，故2x+3≠0，
解得x≠−32.
故答案为：x≠−32.
13.【答案】−5
【解析】本题考查了求代数式的值，掌握整体代入法求值是解题的关键．
将1−2a−4b整理得1−2a+2b，再整体代入即可求解．
【详解】解：∵a+2b=3，
∴1−2a−4b=1−2a+2b=1−2×3=1−6=−5，
故答案为：−5.
14.【答案】±6 /6或−6/−6或6
【解析】本题考查公式法的因式分解，掌握十字相乘法是解题的关键．
设因式分解形式为x+ax+b，则a+b=p，ab=5，由p为整数，a、b为整数，枚举ab=5的整数解求p即可．
【详解】解：因式分解形式为x+ax+b=x2+a+bx+ab，
故a+b=p，ab=5，
由于p为整数，且ab=5，
则a、b为整数，
ab=5的整数解有：a=1，b=5或a=−1，b=−5或a=5，b=1或a=−5，b=−1，
对应p=a+b：
当a=1，b=5时p=6；
当a=−1，b=−5时p=−6；
当a=5，b=1时p=6；
当a=−5，b=−1时p=−6，
故整数p的值为6或−6，
故答案为：±6.
15.【答案】x+3x−3(答案不唯一)
【解析】本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键．
根据分式值为0的条件，分子为0且分母不为0，因此分子需包含因式x+3；再根据分式值为−2的条件，代入x=1建立方程求解分母．
【详解】解：设分式为ab，其中a 和b 是关于x 的多项式，
由x=−3 时分式值为0，
得a=0 且b≠0，
故a 含有因式x+3，
令a=x+3，
由x=1 时分式值为−2，得1+3b=−2，
即4b=−2，解得b=−2，
故可设b=x−3，
验证当x=−3 时，b=−3−3=−6≠0，满足条件，
因此分式可为x+3x−3.
故答案为：x+3x−3(答案不唯一).
16.【答案】②④
【解析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断各图形是否同时具备两种对称性．
【详解】解：①等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
②正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
③平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
④圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；
⑤等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形．
故答案为：②④．
17.【答案】B
【解析】本题考查旋转的性质，主要利用了旋转中心的确定，是基础题，比较简单．根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心．
【详解】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线的交点 B为旋转中心．
故答案为：B.
18.【答案】2或3/3或2
【解析】本题考查了分式的值，掌握相关知识是解题的关键．
分式化简为−2x−1，值为整数时，x−1是−2的约数，结合x为正整数且分母不为零，求解即可．
【详解】解：分式x−x−2x−1=−2x−1，
要使分式的值为整数，则−2x−1为整数，即x−1是−2的约数，
−2的约数为±1和±2，
所以x−1=−2或x−1=2或x−1=−1或x−1=1，
解得x=−1或x=3或x=0或x=2，
由于x为正整数，且x≠1(分母x−1≠0)，
所以符合条件的x为2或3.
故答案为：2或3.
19.【答案】解：原式=a2+2a+1−a2−4=a2+2a+1−a2+4=2a+5.
【解析】本题考查了完全平方公式，平方差公式的应用，先运用完全平方公式，平方差公式去括号，再合并同类项即可．
20.【答案】解：1x+y−1x−y+2yx2−y2
=x−yx2−y2−x+yx2−y2+2yx2−y2
=x−y−x−y+2yx2−y2
=0.

【解析】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的运算法则是解答此题的关键．根据异分母分式加减运算法则通分计算即可．
21.【答案】解：a−1b−1÷a−1−b−1
=1ab÷1a−1b
=1ab÷b−aab
=1ab⋅abb−a
=1b−a.

【解析】本题考查了负整数指数幂，分式的混合运算，先把负整数指数幂化为正指数幂的形式，然后根据分式的混合运算法则化简，即可得到结果．
22.【答案】解：x+52+5x+5−6
=x+5−1x+5+6
=x+4x+11.

【解析】本题考查了因式分解-十字相乘法，先将x+5看作一个整体，然后利用十字相乘法，分解因式即可．
23.【答案】解：原式=4−a2−4ab+4b2
=4−a−2b2
=2+a−2b2−a+2b.

【解析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法．
先分组，利用平方差公式进行因式分解．
24.【答案】解：1−x1−x=1x−1，
方程两边同乘(x−1)，得x−1+x=1，
解得：x=1，
检验：把x=1代入x−1=1−1=0，
∴x=1是方程的增根，
∴原方程无解.
【解析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键.
方程两边同乘(x−1)，把分式方程转化为整式方程，求出x的值，然后进行检验即可．
25.【答案】解：原式=a+ba−ba−b2−aa−b÷b2aa−b
=a+ba−b−aa−b⋅aa−bb2
=ba−b⋅aa−bb2
=ab，
因为a+22≥0，b−1≥0，且a+22+b−1=0，
所以a+2=0，b−1=0，
解得：a=−2，b=1，
当a=−2，b=1时，原式=−21=−2.

【解析】本题考查分式的化简求值、非负数的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先计算括号内的式子，再算括号外面的除法，然后根据a+22+b−1=0可以得到a、b的值，再代入化简后的式子计算即可．
26.【答案】【小题1】
解：如图，三角形A′B′C′即为所求；

【小题2】
解：线段AC扫过的图形的面积
=S平行四边形ACC ′ ′A ′ ′+S平行四边形A ′C ′C ′ ′A ′ ′=2×4+4×6=32，
答：线段AC扫过的图形的面积是32.

【解析】1.
此题主要考查了平移变换和三角形的高，利用图形的面积之和是解题关键．
分别将点A、B、C向左平移2格，再向上平移4格，得到点A′、B′、C′，然后顺次连接；
2.
先画出平移过程，可得线段AC扫过的图形的面积=S平行四边形ACC ′ ′A ′ ′+S平行四边形A ′C ′C ′ ′A ′ ′，据此求解即可．
27.【答案】【小题1】
解：设乙种礼盒购进了x盒，则甲种礼盒购进了3x盒，
根据题意，得：90003x=6000x−20，
解得：x=150，
经检验：x=150是原方程的解，且符合题意，
3x=3×150=450，
答：甲、乙两种礼盒分别购进了450盒、150盒；
【小题2】
解：由(1)可知：
甲种礼盒每盒的进价=9000450=20元，
乙种礼盒每盒的进价=6000150=40元，
根据题意，得：20×n%×450+40×n%×150=3600，
解得：n=24，
答：n的值是24.

【解析】1.
本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意并根据题意建立相应等量关系是解题的关键，分式方程注意检验．
设乙种礼盒购进了x盒，则甲种礼盒购进了3x盒，根据购进甲礼盒共花费9000元，购进乙礼盒共花费6000元，且甲礼盒每盒的进价比乙礼盒每盒的进价少20元，列分式方程，求解即可，注意检验；
2.
分别求出甲、乙两种礼盒每盒的进价，再根据该超市将两种礼盒按进价提高n%后定价销售，全部售完后，两种礼盒的利润总和为3600元，列一元一次方程，求解即可．
28.【答案】【小题1】
解：如图1，三角形ADF即为所求．
【小题2】
①联结EF，如图2所示，
∵将三角形ABE绕点A旋转到三角形ADF，
∴DF=BE=3，AD=AB=10，S△ABE=S△ADF，
∵正方形ABCD，
∴BC=CD=AB=10.
∴CE=BC−BE=7，CF=CD+DF=13.
∴S△ECF=12×EC×FC=12×7×13=912.
∴S四边形AECF=S△ADF+S梯形AECD
=S△ABE+S梯形AECD=S正方形ABCD=100.
又∵S四边形AECF=S△AEF+S△ECF，
∴S△AEF+912=100.
解得S△AEF=1092.
答：三角形AEF的面积是1092.
②如图2，由①可知：
S四边形AECF=S正方形ABCD=a2，
S△ECF=12×EC×FC=12a−ba+b=12a2−12b2，
S△AEF=S四边形AECF−S△ECF=a2−(12a2−12b2)=12a2+12b2.
根据题意，得；S△AEF=12a2+12b2=14，S△ABE=12ab=2，
∴a2+b2=28，ab=4.
∵CF2=(a+b)2=a2+b2+2ab=28+8=36，
又∵CF>0，
∴CF=6.
答：线段CF的长是6.
【小题3】
如图3所示：
S△FGH−S△ECH=S△FGE−S△ECF
=S△AEF−S△ECF=12a2+12b2−12a2−12b2=b2

【解析】1.
本题考查旋转的性质，图形面积的计算，以及列代数式等知识点，掌握相关的知识点，准确添加辅助线是解题的关键．
根据题意作图即可；
2.
①联结EF，根据旋转的性质，得出S四边形AECF=S正方形ABCD，根据面积公式进行计算即可；②得出面积的相关表达式，S△AEF=12a2+12b2=14，S△ABE=12ab=2，即可求出线段CF的长；
3.
根据面积关系进行计算即可．
解：方程整理，得x−1x−2−1=3x−4x−2，第一步去分母，得x−1−1=3x−4，第二步移项，合并同类项，得x=1，第三步经检验x=1是原分式方程的解．第四步