2026年天津市河北区九年级数学中考一模试卷含答案

这是一份2026年天津市河北区九年级数学中考一模试卷含答案，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．计算的结果等于（ ）
A．B．C．6D．9
2．如图是一个由6个大小相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3．估计的值在( )
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
4．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．一B．马C．当D．先
5．将20260000用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
6．的值等于（ ）
A．B．C．D．
7．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
8．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道“牛马问题”：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价．一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何．”其大意为：现有两匹马加一头牛的价格超过10000钱（钱为古代货币单位），超过的部分正好是半匹马的价格；一匹马加上二头牛的价格则不到10000钱，不足部分正好是半头牛的价格，求一匹马、一头牛各多少钱？设一匹马的价格为x钱，一头牛的价格为y钱，那么可以列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
9．计算的结果等于（ ）．
A．3B．C．D．
10．如图，在中，以点D为圆心，小于线段长为半径画弧交边于E点，以点B为圆心，线段长为半径画弧，分别交边，于点F，G，连接，，连接，交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，已知和正方形，，把绕点A旋转得到，点B，C的对应点分别是点F，G，当点G在的延长线上时，，分别交于点M，N，的大小为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，在中，，点P从点A出发以3个单位长度每秒的速度沿的路径移动，点Q从点A出发以1个单位长度每秒的速度由点A向点B移动．点P到达C点或点Q到达B点时，点P，Q均停止移动．若，，连接，，．有下列结论：①点P可以到达C点；②的面积可以为；③至少有两个时刻，的面积为．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
13．不透明的袋子中装有16个球，其中有5个红球、7个绿球、4个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是黑球的概率为________．
14．计算的结果为________．
15．计算的结果为________．
16．已知直线向上平移4个单位后经过点，则m的值为________．
17．如图，菱形与正方形边长均为5，连接交于点O．．点M，N分别为的中点，连接．
（1）线段的长为________；
（2）线段的长为________．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A和点B是格点，点C在格线上，圆的直径与点C所在的格线互相垂直，垂足为C，是圆的切线，点F为切点．
（1）点A和点B的距离为________；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在半圆上画出的中点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明，所作的直线，射线或线段的条数不得大于5）________．
三、解答题
19．解不等式组，请结合解题过程，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得________；
（2）解不等式②，得________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为________．
20．某学校开展了读书活动，涉及文学、科学、体育、艺术等分类，随机调查了一部分学生喜爱阅读的书籍类别的个数，并进行了统计，绘制出统计图①和图②．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生人数为________，图①中m的值为________；
（2）求本次抽测的这组数据的平均数、众数、中位数；
（3）若该校有2000名学生，试估计该校学生喜爱阅读的书籍类别的个数大于2的人数约为多少？
21．已知是的切线，切点为C，连接，与有一个公共点E，为直径．
（1）如图①，点D在上，，，，求的大小与线段的长；
（2）如图②，点D在外，切于点E，G为上一点，连接，，，若，，求的大小．
22．分别从两建筑物，的顶端A，C观察地面上一点E，点B，E，D在一条直线上，从点A观察点E的俯角为，从点C观察点E的俯角为，若建筑物比高，点B，D之间的距离为．求建筑物，的高（结果取整数）．（参考数据：取，取．）
23．已知小华的家，文具店，图书馆依次在同一条直线上，文具店离家，图书馆离家，小华从家出发，先匀速步行了到文具店，在文具店停留了，之后匀速骑行了到图书馆，在图书馆停留了后，再用匀速骑行回家．下面图中x表示时间，y表示小华离家的距离，图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
②填空：小华从图书馆匀速骑行回家的速度为________；
③当时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式；
（2）小华的妈妈在小华离开家后从家以的速度匀速步行直接去图书馆，在小华的妈妈离家后到图书馆的过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为，小华妈妈离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）．
24．在平面直角坐标系中，O为原点，中，，，斜边轴，交y轴于点C，．

（1）填空：如图①，点A的坐标为________，点B的坐标为________；
（2）如图②，过点A作y轴的平行线l，将l沿水平方向向左平移t个单位长度，得到，且，分别交，于点M，N，将沿向左侧翻折得到，与的重叠部分图形面积记为S．
①当重叠图形为四边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
25．已知抛物线（，，为常数，），与轴交于点，点为拋物线顶点，．
（1）若，，求抛物线顶点的坐标；
（2）若点在抛物线上，过点作轴的平行线交抛物线第一象限的部分于点，连接，过点作轴的平行线交抛物线于点，连接．
①当时，求点的坐标与拋物线的解析式；
②当时，求的值．
参考答案
1．【来源】2026天津河北·一模
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方计算即可．
【详解】解：．
2．【来源】2026天津河北·一模
【答案】A
【分析】根据俯视图的定义，从上面看到的平面图形即为该组合体的俯视图即可求解．
【详解】解：从上面看，平面图形有三列两行，从左到右，第一列后面一行有1个小正方形，第二列后面一行有1个小正方形，第三列每行各有1个小正方形，
故符合题意的俯视图为A选项的图形．
3．【来源】2026天津河北·一模
【答案】C
【分析】直接得出的取值范围进而得出答案．
【详解】∵，
∴.
故选C．
4．【来源】2026天津河北·一模
【答案】A
【分析】本题考查轴对称图形的概念，解题关键是掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形，根据定义逐一判断选项即可得到结果．
【详解】解：∵选项A的“一”，存在竖直对称轴，沿该对称轴折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，
∴“一”是轴对称图形；
∵选项B的“马”，选项C的“当”，选项D的“先”，都找不到一条直线，使图形沿直线折叠后两旁的部分能够互相重合，
∴这三个汉字都不是轴对称图形．
故选A．
5．【来源】2026天津河北·一模
【答案】B
【分析】科学记数法的标准形式为，其中，为整数，只需确定符合要求的和即可得到答案．
【详解】解：．
6．【来源】2026天津河北·一模
【答案】C
【分析】将特殊角的三角函数值代入原式，化简计算即可得到结果．
【详解】解：
．
7．【来源】2026天津河北·一模
【答案】D
【分析】本题可将三个点的横坐标分别代入反比例函数解析式，求出对应y值后，直接比较y的大小即可得到结果．
【详解】解：∵ 点，， 都在反比例函数的图象上
∴将各点横坐标分别代入解析式计算：
把代入得
把代入得
把代入得
∵
∴．
8．【来源】2026天津河北·一模
【答案】A
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题关键，根据题干描述的两个等量关系即可列出对应方程组．
【详解】解：设一匹马的价格为x钱，一头牛的价格为y钱，
现有两匹马加一头牛的价格超过10000钱，超过的部分正好是半匹马的价格，可得方程：
，
一匹马加上二头牛的价格不到10000钱，不足部分正好是半头牛的价格，可得方程：
，
因此，符合题意的方程组为．
9．【来源】2026天津河北·一模
【答案】D
【详解】解：，
，
，
，
，
．
10．【来源】2026天津河北·一模
【答案】C
【分析】假设，根据平行线分线段成比例可推出，可判断A；假设，则，可判断B；根据平行线的性质，利用可证，可判断C；假设，那么，但题目中长度可变，那么的度数会变化，故不成立，可判断D．
【详解】解：假设，则，
由作图可知，
∴，
∴，
∵不一定等于，
∴不一定成立，故选项A不符合题意；
假设，则，根据题意不一定成立，故选项B不符合题意；
∵在中，，
∴，，
由作图可知，
∴，
∴，故选项C一定正确，符合题意；
假设，
∵，
∴，
∵长度可变，
∴的度数会变化，
∴不成立，故选项D不符合题意．
11．【来源】2026天津河北·一模
【答案】B
【分析】根据正方形的性质可知，然后根据旋转的性质可知，，最后利用三角形的内角和定理即可解答．
【详解】解：∵正方形，
∴，
∵把绕点A旋转得到，点B，C的对应点分别是点F，G，当点G在的延长线上时，，
∴，，
∴．
12．【来源】2026天津河北·一模
【答案】C
【分析】先计算到达C点的时间为：（秒），可以判断①；设运动时间为x秒，根据题意，得，，则，当时，；当时，，过点C作交的延长线于点E，作交的延长线于点F，当点P在上运动时，过点P作于点G，利用分类思想，解方程求解即可．
【详解】解：，
，
故点P运动的路程为，
点P从点A出发以3个单位长度每秒的速度沿的路径移动，
故到达C点的时间为：（秒），
点Q运动的路程为，
点Q从点A出发以1个单位长度每秒的速度由点A向点B移动，
故到达B点的时间为：（秒），
根据点P到达C点或点Q到达B点时，点P，Q均停止移动的要求，
得到P先到达，然后Q停止运动，
故①正确；
设运动时间为x秒，根据题意，得，，则，
当时，；当时，，
过点C作交的延长线于点E，作交的延长线于点F，
，
，
，，
，，
的面积可以为，
，
解得，
，
根据点P到达C点或点Q到达B点时，点P，Q均停止移动的要求，此时点Q早已停止运动，
故不可能，
故②错误；
当点P在上运动时，过点P作于点G，
则，
，
的面积为，
，
整理，得，
，
故，
故，舍去；
，符合题意，
此时；
当点P在上运动时，
，
的面积为，
，
整理，得，
解得，
满足的条件，
此时；
故至少有两个时刻，的面积为．
故③正确．
13．【来源】2026天津河北·一模
【答案】
【分析】根据题意，用黑球的数量除以球的总数量，即可求解．
【详解】解：∵不透明的袋子中装有16个球，其中有5个红球、7个绿球、4个黑球，
∴从袋子中随机取出1个球，它是黑球的概率为．
14．【来源】2026天津河北·一模
【答案】
【分析】根据，计算即可．
【详解】解：．
15．【来源】2026天津河北·一模
【答案】75
【分析】观察原式结构，符合平方差公式的形式，利用平方差公式化简计算即可得到结果．
【详解】解：
．
16．【来源】2026天津河北·一模
【答案】2
【分析】本题考查一次函数图象的平移变换，根据平移规律“上加下减”得到平移后的直线解析式，将点的坐标代入解析式即可求出的值，掌握平移规律是解题的关键.
【详解】解：直线向上平移个单位后得到的直线解析式为：，
把代入解析式得：，
整理得：，
解得：．
17．【来源】2026天津河北·一模
【答案】2；
【分析】（1）先由勾股定理求解，即求解；
（2）过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，再延长交于点，先证明，求出，则，再证明，求出，则，，则，再对运用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形是菱形，
∴，，
∴
∵点N为的中点，
∴；
（2）过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，再延长交于点，
则四边形为矩形，
∴
∵四边形是正方形，点M为的中点
∴，，
∵
∴
∴
∴
∴
同理可得，，
∵
∴
∴
∴
∴，
∴，，
∴
∴．
18．【来源】2026天津河北·一模
【答案】；取圆与格线交点M，N，连接交于点O，延长交格线于点T，连接交圆O于点P，点P即为所求
【分析】（1）根据勾股定理求解即可；
（2）取圆与格线交点M，N，连接（1条）交于点O，此时，即为直径，即点O为圆心；延长（2条）交格线于点T，根据题意是圆的切线，点C为切点；连接（3条）交圆O于点P，根据切线长定理可知，易证，可知，则，故点P即为所求．
【详解】解：（1）由网格可知，；
（2）取圆与格线交点M，N，连接（1条）交于点O，延长（2条）交格线于点T，连接（3条）交圆O于点P，点P即为所求．
19．【来源】2026天津河北·一模
【答案】（1）
（2）
（3）见详解
（4）
【分析】（1）根据解不等式的基本步骤解答即可；
（2）根据解不等式的基本步骤解答即可；
（3）根据不等式的意义表示即可；
（4）根据不等式组解集的意义求解即可．
【详解】（1）解：，
移项，得，
合并同类项，得；
（2）解：，
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得；
系数化为1，得；
（3）解：根据题意，表示如下：
（4）解：根据题意，得原不等式组的解集为．
20．【来源】2026天津河北·一模
【答案】（1）16，12.5
（2）平均数为2.125，众数为2，中位数为2
（3）估计该校学生喜爱阅读的书籍类别的个数大于2的人数约为625
【分析】（1）利用1类的人数除以1类所占的百分比，即可求得调查的学生人数；利用1减去其他类所占的百分比即可求得m的值；
（2）根据平均数、众数、中位数的定义求解即可；
（3）利用该校学生总人数乘以样本中喜爱阅读的书籍类别的个数大于2的人数所占百分比，即可求解．
【详解】（1）解：本次调查的学生人数为（人），
，
∴；
（2）解：，
∴这组数据的平均数为；
∵在这组数据中，2出现了6次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为2；
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，中间的两个数为2和2，有，
∴这组数据的中位数为2；
（3）解：在所抽取的样本中，该校学生喜爱阅读的书籍类别的个数大于2的人数占，
估计该校2000名学生中，学生喜爱阅读的书籍类别的个数大于2的人数有．
答：估计该校学生喜爱阅读的书籍类别的个数大于2的人数约为625．
21．【来源】2026天津河北·一模
【答案】（1），
（2）
【分析】（1）根据切线的性质和四边形的内角和为，可求得，从而得到，然后根据直径所对的圆周角为直角，在中，利用，即可解答；
（2）根据切线的性质易证，得到，然后根据直径所对的圆周角为直角，可求得，由根据两直线平行，内错角相等，可知 ，从而求得，即可解答．
【详解】（1）解：∵切于点C，
于点C，即，
又∵，，
∴，
∴，
∵为直径，，
∴，
在中，，
∴；
（2）解：∵切于点E，切于点C，
于点E，于点C，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．
22．【来源】2026天津河北·一模
【答案】建筑物的高约为，的高约为
【分析】在中，有；在中，；结合，，得到关于的方程，解出，即可解答．
【详解】解：根据题意，，，，，，
在中，，，，
∴，
在中，，，，
，
又，，
即，，
，
解得，
∴．
答：建筑物的高约为，的高约为．
23．【来源】2026天津河北·一模
【答案】（1）①，，； ②；③当时，，当时，，当时，；
（2）．
【分析】（1）①根据图象的特征求解即可；
②根据题意，其速度为；
③当时，利用待定系数法分段求函数的解析式即可；
（2）是分段函数，，根据，求解即可．
【详解】（1）①解：当时，其速度为，
根据题意，得；
时，小华停留在文具店，此时离家的距离为；
时，小华刚好到达图书馆，此时离家的距离为；
②解：根据题意，其速度为；
③当时，其速度为，
根据题意，得；
当时，，
当时，设解析式为，
根据题意，得，
解得，
故解析式为；
（2）解：根据题意，得，
当时，解得；
当时，解得；
根据，得．
24．【来源】2026天津河北·一模
【答案】（1），
（2）①；②
【分析】（1）根据解直角三角形分别求得、、，即可求解；
（2）①根据轴对称的性质，，有，且当时，重叠图形为四边形，则，，然后记与交于点D，过B点向引垂线，垂足为E，易证，根据直角三角形的性质表示出，，从而表示出，进而根据解答即可；
②分别求得当，时S的值，以及时，S的最大值，即可解答．
【详解】（1）解：轴，
，
，
，，
，
∵，，
，
在中，，
；
（2）解：①当时，
在中，，，，，
，，
根据题意得，和关于直线对称，
则，有，且当时，重叠图形为四边形，
在中，，，，，
，，
记与交于点D，过B点向引垂线，垂足为E，如图，

在中，，，
，
∴，
，，
∴，
∴，其中，；
②当时，，，
则；
同理，当时，；
当时，，此时抛物线开口向下，对称轴为，
∵，
∴时S的值大于，时，S取得最大值，最大值为，
综上，当时，S的取值范围为．
25．【来源】2026天津河北·一模
【答案】（1）
（2）①，；②
【分析】（1）根据题干条件写出抛物线的解析式，化为顶点式后得出顶点坐标；
（2）①根据题干可得二次函数的表达式为，从而得到点的坐标为，则，容易得到，结合计算出的值，最后写出点的坐标和抛物线的解析式即可；
②由①可知，，结合可得，分析函数的图象与性质可知，点在点的右侧，因此点的坐标为，将点代入，解方程求出的值．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴抛物线为，
∴顶点的坐标为；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
将点代入，得，
∴，
∴，
∵轴，且点的坐标为，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴点的坐标为，抛物线的解析式为；
②由①可知，，，
∵，
∴，
∵轴，且点的坐标为，
∴点的坐标为或，
如图，
∵抛物线过点，图象开口向上，
∴点在抛物线内部，
又∵抛物线的对称轴为直线，
∴直线与抛物线在第一象限只有一个交点，
∴点在点的右侧，即点的坐标为，
将点代入，得：
，
整理，得，
∵，
∴，
解得或（负值，舍去），
∴．
小华离开家的时间/
2
5
11
24
小华离开家的距离/