【期中试卷】东北三省2025-2026学年度高一下学期期中联考测试卷 数学试卷 （含答案）

这是一份【期中试卷】东北三省2025-2026学年度高一下学期期中联考测试卷 数学试卷 （含答案），共84页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，在中，若，则的取值范围是，，与的夹角为，与的夹角为，若，已知复数等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数(为虚数单位)，则（ ）
A．B．2C．D．1
2．已知向量，向量，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
3．设为所在平面内一点，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．在中，内角的对边分别为，，且
，则（ ）
A．B．C．D．
5．复数，由向量绕原点逆时针方向旋转而得到．则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．在中，角所对的边分别为，下列条件使得无法唯一确定的是（ ）
A．B．
C．D．
7．在中，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．，与的夹角为，与的夹角为，若
，则（ ）
A．B．C．D．2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得．测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有，，，，，，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的是（ ）

A．B．
C．D．
10．已知复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数z满足，下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为B．复数的共轭复数对应的点与点关于虚轴对称
C．复数z对应的点Z在一条直线上D．与z对应的点Z间的距离的最小值为
11．的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，，则有两解
C．若为钝角三角形，则
D．若，，则面积的最大值为
12．中，，，，，以下正确的
是（ ）
A．B．C．D．

第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．己知向量，满足，，且，则________．
14．复数，，则的最大值为________．
15．，为不共线的向量，设条件；条件对一切，不等式恒成立，则是的__________条件．
16．已知中，，是的角平分线，则________，若，则m的取值范围是__________．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知复数满足：．
（1）求；
（2）若复数的虚部为2，且是实数，求．












18．（12分）已知中，是直角，，点是的中点，为上一点．
（1）设，，当，请用，来表示，；
（2）当时，试求．













19．（12分）已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为，若，．
（1）求；
（2）若___________，求的面积的大小．
(在①；②，这两个条件中任选一个，补充在横线上)















20．（12分）如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边分别交于点．
（1）求的值；
（2）若是的中点，求的取值范围；
（3）若是平面上一点，且满足，求的最小值．



















21．（12分）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，．
（1）求角B的大小；
（2）若为锐角三角形，，求的取值范围．



























22．（12分）在①；②；③，这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解．
在中，角，，的对边分别为．已知，，满足______．
（1）请写出你的选择，并求出角的值；
（2）在（1）的结论下，已知点在线段上，且，求长．






数学答案
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】A
【解析】因为，所以，故选A．
2．【答案】B
【解析】因为，设所求角度为，则，
又，所以，故选B．
3．【答案】B
【解析】因为，所以，所以，
故选B．
4．【答案】C
【解析】因为，
由正弦定理得，
又因为，解得，，
由余弦定理得，故选C．
5．【答案】C
【解析】，，
，
，所以复数在第二象限，
设幅角为，，，故选C．
6．【答案】C
【解析】对于A：∵，∴，
由正弦定理得，
∴，，
∴唯一确定，故A正确；
对于B：∵，
由余弦定理，可得，
由正弦定理，有，
可以求出角A、B，∴唯一确定，故B正确；
对于C：∵，
由正弦定理，有，∴，
∵，，∴，∴，这样的角B有2个，所以不唯一，故C错误；
对于D：∵，
由正弦定理，有，
∴，
∵，，∴，∴，这样的角A有唯一一个，
∴角C唯一，所以唯一，故D正确，
故选C．
7．【答案】D
【解析】设的内角，，的对边分别为，，，
则由已知及正弦定理得，
由余弦定理知，所以，
所以，
又，所以，故选D．
8．【答案】D
【解析】将沿与方向进行分解，延长、至、，
以、为邻边、为对角线画出平行四边形，如图，

由平行四边形法则有，且，
所以，，
又，，
在中，，即，故选D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．【答案】ACD
【解析】解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长．
A．在中，已知，可以解这个三角形得到，再利用、解直角得到的值；
B．在中，已知，无法解出此三角形，在中，已知，无法解出此三角形，也无法通过其它三角形求出它的其它几何元素，所以它不能计算出塔的高度；
C．在中，已知，可以解得到，再利用、解直角得到的值；
D．如图，过点作，连接．

由于，，，
所以，所以可以求出的大小，
在中，已知可以求出，再利用、解直角得到的值，
故选ACD．
10．【答案】ACD
【解析】复数在复平面内对应的点为，A正确；
复数的共轭复数对应的点与点关于实轴对称，B错误；
设，代入，得，
即，整理得，即Z点在直线上，C正确；
易知点到直线的垂线段的长度即为、Z之间距离的最小值，
结合点到直线的距离公式可知，最小值为，故D正确，
故选ACD．
11．【答案】ABD
【解析】对于A选项，若，则，
由正弦定理可得，所以，A选项正确；
对于B选项，，则，所以有两解，B选项正确；

对于C选项，若为钝角三角形且为钝角，则，
可得，C选项错误；
对于D选项，由余弦定理与基本不等式可得，
即，当且仅当时，等号成立，
所以，，D选项正确，
故选ABD．
12．【答案】ABCD
【解析】在直线PA，PB，PC上分别取点M，N，G，使得，
以PM，PN为邻边作平行四边形PMQN，则，
∵，即，即，
∴P，G，Q三点共线且PQ=1，故△PMQ和△PNQ均为等边三角形，
∴∠APB=∠BPC=∠APC=120°，故A、B正确；
∵，BC=1，∠ABC=90°，∴AC=2，∠ACB=60°，
在△ABC外部分别以BC､AC为边作等边△BCE和等边△ACD，直线CP绕C旋转60°交PD于点，
∴，即，故，
，即，故，
∴为等边三角形，，则B，P，D三点共线，同理有A，P，E三点共线，
∴△BPC∽△BCD，即，即PC=2BP，故C正确；
同理：△APC∽△ACB，即，即AP=2PC，故D正确，
故选ABCD．


第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】1
【解析】由已知，
，所以，
故答案为1．
14．【答案】
【解析】因为，，
所以，
故，
所以当时，有最大值，且最大值为，
故答案为．
15．【答案】充要
【解析】由条件，可得，
不等式化为，
∵对一切，不等式恒成立，
∴，化为，
∴，所以．
故答案为充要．
16．【答案】，
【解析】在三角形中，由正弦定理得①；
在三角形中，由正弦定理得②；
由于，所以得．
所以，，
在三角形中，由余弦定理得，
即，
也即③．
在三角形中，由余弦定理得，
即，
也即④，
得，
即，，
由于，所以，
由于，所以，，
所以的取值范围是．
故答案为，．


四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设，
则，
故，解得，
∴．
（2）令，，由（1）知，，
则，
∵是实数，∴，即，
∴，则．
18．【答案】（1），；（2）0．
【解析】（1），，点是的中点，
，
，
．
（2）以点为坐标原点，以，为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，

设，点坐标为，另设点坐标为，
点是的中点，点坐标为，
又，，，，
所以，，
所以．
19．【答案】（1）；（2）条件选择见解析，．
【解析】（1）因为，
所以，即，
所以，故，
因为，所以．
（2）若选①，因为，所以，所以．
因为，所以．
由正弦定理，得，所以，
所以．
若选②，因为，
由余弦定理得，解得，
．
20．【答案】（1）；（2）；（3）最小值为．
【解析】（1）由题意可得．
（2）在正方形中，过中心的直线与两边分别交于点，
点为线段的中点，
．
又正方形的边长为2，是的中点，
，，，
即的取值范围为．
（3）由题可得，
令，由，可知点在上，
，从而，
，，
的最小值为．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由正弦定理可得．
因为，故，
又，则．
（2）因为为锐角三角形，
所以，所以，得，
因为，，
所以由，
得，，
所以
，
因为，则，所以，
所以的取值范围为．
22．【答案】（1）条件③，；（2）．
【解析】（1）若选择条件①，得，不符合题意；
若选择条件②，由余弦定理知，化简得，
所以，不符合题意；
若选择条件③，由余弦定理得，
所以，所以，
所以，
因为，所以．
（2）由（1）知，
因为，所以．
所以．
在中，因为，
所以．