山东济宁市泗水县2025-2026学年第二学期期中质量检测高一数学试题

这是一份山东济宁市泗水县2025-2026学年第二学期期中质量检测高一数学试题，共3页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若，则z的虚部为（ ）
A. B. 3C. D.
2.已知向量，若，则实数（ ）
A. B. C. 1D. 4
3.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
4.正方形O'A'B'C'的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图如图，则原图形的面积是
A. B. C. D.
5.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6.已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球体积为，则圆锥的侧面积为（ ）
A. B. 3πC. D. 6π
7.如图,在ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,m>0,n>0,则+的最小值（）
A. 2B. 8C. 9D. 18
8.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，6根等长的正四棱柱体分成3组，经榫卯起来．若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为（ ）（容器壁的厚度忽略不计，结果保留）．
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法中正确的是（）
A. 非零向量和满足，则与的夹角为
B. 向量不能作为平面内所有向量的一组基底
C. 若，则在方向上的投影向量的模为
D. 若，与共线的单位向量坐标为
10.已知，下列说法中正确的有（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则或D. 若，则
11.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则的最大值为
D. 若，则面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，的夹角为，，，则 .
13.我国许多地方都有风格迥异的古塔.现在在某塔底共线三点处分别测得塔顶P点的仰角为，，，且，设该塔高为，示意图如图，则该塔高 .m.
14.已知点在以为圆心，3为半径的圆上，且，则的取值范围 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数，且，a为实数.
(1)求实数a的值；
(2)若z为纯虚数，复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数b的取值范围.
16.(本小题15分)
已知分别为三个内角的对边，且．
(1)求角；
(2)若为锐角，边上的中线，求的面积最大值．
17.(本小题15分)
如图，圆锥的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形.
(1)一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程；
(2)过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何体的表面积和体积.
18.(本小题17分)
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求C的值.
(2)设的外接圆半径为R，内切圆半径为r.
（i）若，，求的周长；
（ii）求的最大值.
19.(本小题17分)
如图，设是由个实数组成的n行n列的数表，其中表示位于第i行第j列的实数，且．
记向量，若，则称与为正交向量．若对任意不同的，都有与为正交向量，则称为正交数表．
(1)直接判断，是否为正交数表（不需要说明理由）；
(2)当时，设，且与为正交向量，与为正交向量，求证：与不是正交向量；
(3)求证：对任意，当时，不是正交数表．
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】BC
10.【答案】BCD
11.【答案】BCD
12.【答案】
13.【答案】60
14.【答案】
15.【答案】【详解】（1），

（2）为纯虚数，
，且
∴，
又
因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，则，
解得.因此，实数的取值范围是.

16.【答案】解：（1）根据正弦定理，
因为△ABC中，B∈（0，π），所以sinB≠0，所以，
所以，所以，所以，
所以或；
（2）因为B为锐角，所以，
因为D为AC的中点，所以，所以，
所以，即，
根据重要不等式知：a2+c2≥2ac,所以ac≤36，
所以，当且仅当a=c=6时，等号成立，
因此，△ABC的面积最大值为．
17.【答案】解：设圆锥的母线长为，
根据题意可得，，
根据余弦定理可得最短路程．
由易得圆锥的高为，
设圆柱的底面半径为，
​​​​​​​由三角形中位线定理可得，，圆柱的母线长为，
又圆锥的母线长为，
所以圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积为圆锥的表面积加上圆柱的侧面积，
则；
圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积等于圆锥的体积减去圆柱的体积，
．

18.【答案】解:(1)C=,
故=,
从而CA+CB=AC+BC,
即(C-A)=(B-C),
因此C-A=B-C或者C-A+B-C=或者C-A+B-C=-,
​​​​​​​即A+B=2C或B-A=(舍)或B-A=-(舍),
故C=;
(2)依题意,由=abC=(a+b+c)ra+b+c=ab，
又c=2RC=12，从而a+b+12=ab,
又+-ab=,
即=144+3ab=144+6(a+b+12),
故-6(a+b)-216=0，故a+b=18，
故的周长为a+b+c=30;
(3)由(2)可知:+-ab=，则-=3ab,
则r===(a+b-c)，
因此=(+-)
=(2A+2B-2C)
=(A+B-)
=(A+B)-
=[A+(A+)]-
​​​​​​​=(A+)-,
又A(0,)，所以A+(,),
所以(A+)(,1],
因此，
即的最大值为​​​​​​​.
19.【答案】解：（1）对于，，是正交数表；
对于，，不是正交数表．
（2）设,，
由与为正交向量，与为正交向量，得
且.其中,.
故不妨设,,
则,
即,所以与不是正交向量.
（3）因为,所以的最小值为.因此我们可以从数表中选出三个不同的行向量，不妨设为.
若为正交数表，则有.
且若为正交数表，可得如下变换成立，
变换1：交换正交数表的任意两行，所得的新数表仍是正交数表；
变换2：交换正交数表的任意两列，所得的新数表仍是正交数表；
变换3：将正交数表的任意一列实数都变成其相反数，所得的新数表仍是正交数表．
因此我们将第一行的所有元素都变成1，即假设，
由得，在中，和的数量相等，即有个和；
同样地，中也有有个和.现在考虑.
我们将乘积值的情况分成四类：
①,设数量为;
②,设数量为;
③,设数量为;
④,设数量为.
且.
根据中有个和，,同样根据中有个和，.
所以得，从而有.
故有，所以，即正交数表的行列数必须是的倍数.
所以时必不成立.命题得证.