2025-2026学年浙江省杭州市学军中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年浙江省杭州市学军中学高二（下）期中数学试卷，共3页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若，则=（ ）
A. 5B. 20C. 60D. 120
2.一个袋中有大小与质地完全相同的红、黄、蓝三个球，从袋中依次随机不放回地摸出两个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，则（ ）
A. A，B相互独立B. C. D.
3.等比数列{an}前n项和为Sn，S6=48，S12=60，则S18的值为（ ）
A. 83B. 108C. 75D. 63
4.3名男同学和4名女同学排成一队参加学校志愿者公益活动，若要求队头与队尾是男同学，且男同学不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A. 240B. 364C. 432D. 468
5.现有10个样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x10，y10），可得经验回归方程为，且，若去掉一个数据点（1，13）后，可以得到新的经验回归方程为，则实数的值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
6.随机变量ξ的分布列如表：则Dξ的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.在计算机科学中，八进制是一种数字表示法，它使用0～7这八个数字来表示数值.例如，八进制数2051换算成十进制数是2×83+0×82+5×81+1×80=1065.那么八进制数换算成十进制数m,则十进制数m的个位数字为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
8.已知直线l与焦点为F的抛物线C：y2=4x相交于M，N两点，且，线段MN的中点A到抛物线C的准线的距离为d,则的最小值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知X～N（80，σ2）（σ＞0），则（ ）
A. P（X＞80）=0.5B. 若σ越大，则P（70＜X＜90）越小
C. P（X＞60）=P（X＜100）D. P（60＜X＜70）=P（100＜X＜110）
10.现有一半径为4的圆纸片（A为圆心，B为圆内的一定点），且|AB|=2，如图将圆折起一角，使圆周正好过点B，把纸片展开，并留下一条折痕，折痕上到A，B两点距离之和最小的点为P，如此往复，就能得到越来越多的折痕，设P点的轨迹为曲线C，M为曲线C上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线C的离心率是B. 的最小值为2
C. △MAB外接圆半径的最小值是D. △MAB内切圆半径的最大值是
11.已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的侧面积为9，AB=2，A1B1=1，E为AD的中点，点M在侧面BCC1B1内运动（包含边界），且直线EM与平面BCC1B1所成角的正切值为，则（ ）
A. 正四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积为
B. 动点M的轨迹长度为2π
C. 过A1，B1，E三点的平面截该正四棱台所得截面的周长为
D. 若B，E，B1，C1均在同一球面上，则该球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线y=ex+ln（x+1）在x=0处的切线方程是 .
13.圆C：x2+（y-1）2=2上任意一点P（x,y），若|x+y-9|+|x+y+a|的值与x,y都无关，则实数a的取值范围为 .
14.已知数列{an}的前n项和，若实数t满足（an-t）（an+1-t）＜0对∀n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某市科协开展“科技大篷车”进校园活动，为了解此次活动的效果，对某校参与活动的480名同学进行了问卷调查，得到如下2×2列联表：
（1）根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析对活动的评价是否与性别有关；
（2）在对活动评价“不满意”的学生中抽取2名男生和4名女生，从中任选3人了解不满意的原因，记选中的3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：，
16.(本小题15分)
记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=3，Sn=nan-n（n-1）.
（1）证明{an}是等差数列，并求an；
（2）记数列的前n项和为Tn，证明：.
17.(本小题15分)
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=12，AD=BC=5，CD=4，DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，将△ADE沿DE翻折，将△BCF沿CF翻折，使得点A、B重合为点P.
（1）证明：平面PEF⊥平面DCFE；
（2）求四棱锥P-DCFE外接球的表面积；
（3）求平面PDC与平面PFC夹角的余弦值.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=lnx+ex-1.
（1）求f（x）的导函数f'（x）的极值；
（2）不等式f（x）≥kx-1对任意x∈[1，+∞）恒成立，求k的取值范围；
（3）对任意k∈R，直线y=kx+b与曲线y=f（x）有且仅有一个公共点，求b的取值范围.
19.(本小题17分)
已知点在双曲线上，A，B是C的左、右顶点，F是C的右焦点，|PB|=|PF|，且|PB|是整数.
（1）求双曲线C的方程；
（2）设过点F的直线与C的右支交于M，N两点，直线MA与直线NB交于点D.
（i）证明：点D在定直线上；
（ii）若直线MB与直线NA交于点H，求△DFH面积的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】ABC
10.【答案】ABD
11.【答案】AD
12.【答案】y=2x+1
13.【答案】[1，+∞）
14.【答案】
15.【答案】与性别有关 X的分布列为：
E（X）=1
16.【答案】当n≥2时，Sn-1=（n-1）an-1-（n-1）（n-2），
则an=Sn-Sn-1=nan-（n-1）an-1-（n-1）n+（n-1）（n-2），
即（n-1）（an-an-1-2）=0，
由于n-1≥1，所以an-an-1=2（n≥2），
S2=a1+a2=2a2-2×（2-1），解得a2=5，a2-a1=2，
所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，得证，
即an=3+2（n-1）=2n+1 由（1）知，，
所以，
则
即，
又因为，所以，故得证
17.【答案】证明如下，
在梯形ABCD中，DE⊥AB于点E，因此翻折后DE⊥PE，DE⊥EF，
又由于PE⊂平面PEF，EF⊂平面PEF，PE∩EF=E，所以DE⊥平面PEF，
又由于DE⊂平面DCFE，因此平面PEF⊥平面DCFE
18.【答案】解：(1)因为函数f(x)=x+,所以f(x)的定义域为(0,+),f'(x)=+,
令φ(x)=f'(x)=+，φ'(x)=-,
注意到φ'(x)为增函数,且φ'(1)=0,
所以当x(0,1)时,φ(x)0,f'(x)单调递增;
所以当x=1时,f'(x)有极小值2,无极大值.
(2)由题意可知x+kx-1对任意x[1,+)恒成立,
即k对任意x[1,+)恒成立,
设g(x)=,则g'(x)=,
设h(x)=(x-1)-x,则h'(x)=-,
因为h'(x)在区间[1,+)上单调递增,
所以h'(x)h'(1)=0,则h(x)在区间[1,+)上单调递增,
则h(x)h(1)=0,则g'(x)0,
所以g(x)在区间[1,+)上单调递增,所以g(x)g(1)=2,
则k2.
即k的取值范围为.
(3)由题意可知x+=kx+b有唯一解,
设p(x)=x+-kx-b,x(0,+),注意到,当x+时,p(x)+;当x0时,p(x)-;
所以p(x)=0至少有一个解.
因为x+=kx+b有唯一解,
所以k=有唯一解,
设q(x)=,因为kR,所以q(x)为单调函数,
​​​​​​​则q'(x)=0恒成立,
设r(x)=(x-1)-x+1+b,则r(x)0恒成立.
则r'(x)=-，令s(x)=r'(x)=-，
s'(x)=+>0,所以r'(x)在区间(0,+)上单调递增,注意到r'(1)=0,
所以当x(0,1)时,r'(x)