2024-2025学年广东省深圳市罗湖区高二下学期期末考试数学试卷（学生版）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则（ ）
A. B. 2C. 4D.
3. 已知函数则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
4. 已知根据如下数据，可得到关于的经验回归方程为，则3号观测的残差（精确到0.1）为（ ）
A. 0.5B. C. 0.6D.
5. 记等比数列的前项和为，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6. 若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点在上，若，则的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
8. 设，，为函数的3个相邻零点，若，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知椭圆，双曲线的离心率分别为，，则（ ）
A. 的焦距小于的焦距B. 可能为等轴双曲线
C. D. 与恰有四个公共点
10. 已知事件，满足，，则（ ）
A. B. 若，则
C. 若与相互独立，则D. 若，则
11. 已知函数，则（ ）
A. 当，且时，没有零点
B. 曲线是中心对称图形
C. 当时，在定义域内是单调函数
D. 当时，函数既有极大值，又有极小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，满足，，若，则，的夹角为________.
13. 若一个位数，各位数从高到低分别为，且满足，我们便将其称之为“递减数”.则正整数之中的“递减数”共有________个.
14. 已知正三棱柱的底面边长为6，侧棱长为3，点在该三棱柱的表面上（不包含顶点处）运动，若，则的轨迹长度为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，，，，在边上，的面积为.
（1）求：
（2）求的周长.
16. 已知某车间有甲、乙两条生产线生产相同型号的产品.质检人员分别从甲、乙两条生产线各抽取了600件产品，其中甲生产线有优质品450件，非优质品150件：乙生产线有优质品400件，非优质品200件.
（1）根据小概率值的独立性检验，能否判断产品是否优质与生产线有关；
（2）用频率估计概率，每次从甲生产线中有放回地抽取1件产品，共抽取4次，记抽取到优质品的次数为，求的分布列及数学期望.
附：，.
17. 如图1，菱形的边长为2，，将沿折起至（如图2），且点为的中点.
（1）证明：平面平面：
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
18. 已知双曲线经过，，三个点中的两个，若为原点，点在上，点在直线上，且.
（1）求的渐近线方程：
（2）求面积S的最小值：
（3）证明：直线与定圆相切，并求出该定圆的方程.
19. 已知函数.
（1）证明：当时，直线与曲线相切；
（2）若是增函数，求实数的取值范围；
（3）设，且，分别为的极大值点和极小值点，记，，证明：直线与曲线有异于，的交点.
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
18.1
20.1
22.2
24.4
26.0
28.3
29.6
32.4
33.7
35.7
38.3
40.2
18.8
19.2
21.0
21.0
22.1
22.1
22.4
22.6
23.0
24.3
23.9
24.7