函数的奇偶性重点考点专题练2026年高考数学第一轮专题复习：备考 [含答案]

这是一份函数的奇偶性重点考点专题练2026年高考数学第一轮专题复习：备考 [含答案]，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知下列选项中能使既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数定义域为，且满足，，若的图象与的图象的交点分别为，，……，，则（ ）
A．0B．C．D．
6．设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．函数与函数的图象的交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．已知是定义域为的奇函数．若以点为圆心，半径为2的圆在轴上方的部分恰好是图像的一部分，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
9．已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ）
A．存在是偶函数B．存在在处取最大值
C．存在是增函数D．存在在处取到极小值
10．已知偶函数满足：，且，若，则（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题
11．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A．当时，
B．函数有2个零点
C．函数在点处的切线方程为
D．，都有
12．已知定义域为的函数对任意实数x，y，都有成立，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．一定不是奇函数
C．若是偶函数，则
D．若，则
三、填空题
13．函数可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和，则的最小值为 ．
14．若是偶函数，则
15．已知是定义在上的奇函数，，若在上单调递增，则不等式的解集为 .
16．函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则 .
四、解答题
17．已知幂函数的定义域不为.
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求a的取值范围.
18．已知函数是奇函数.
(1)求的值.
(2)判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最值；
(3)若函数满足不等式，求出的范围.
19．已知函数是定义在区间上的函数．
(1)判断的奇偶性；
(2)证明在区间上是增函数，并求不等式的解集．
答案
1．C
【分析】根据奇函数、偶函数的定义可得出关于、的等式组，求出的解析式，代值计算可得的值.
【详解】因为函数为奇函数，即，
所以，可得①，
因为函数是偶函数，即，
所以，可得②，
联立①②可得，因此.
故选：C.
2．B
【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.
【详解】当时，，所以在上递减，
是偶函数，所以在上递增.
注意到，
所以B选项符合.
故选：B
3．B
【分析】作出函数图象判断即可.
【详解】
对于A选项：如图，不符，
对于B选项：如图，符合，
对于C选项：如图，不符，
对于D选项：如图，不符，
故选：B.
4．D
【分析】根据奇函数的性质化简不等式，然后根据函数的单调递减解关于的不等式，求出的取值范围.
【详解】因为奇函数在上有定义，所以，
所以
所以，解得.
所以的取值范围为.
故选：D.
5．D
【分析】判断与图象的对称性，从而求得．
【详解】对于，，，
所以的图象关于点对称．因为
所以是奇函数，是奇函数，图象关于原点对称，
所以的图象关于点对称，
所以，的图象的交点关于对称，
所以．
故选：D
6．A
【分析】由题意得出，解出这个方程组可得出的值.
【详解】由于函数是奇函数，函数为偶函数，
所以，，即，化简得 ，
解得.
故选：A.
7．B
【分析】分析函数的性质，再按分段并结合导数及零点存在性定理推理判断.
【详解】令函数，，则定义域为，
，是奇函数，
当时，；
由为奇函数可得当时，，
而函数是偶函数，且当时，，
则函数与的图象在时无交点；
当时，令，求导得，
函数在上单调递增，又，
，因此在上只有一个零点，
所以函数与的图象交点只有一个.
故选：B
8．D
【分析】以点为圆心，半径为2的圆在轴上方的部分的方程为，由是定义域为的奇函数，根据奇函数的定义即可求出的解析式.
【详解】以点为圆心，半径为2的圆的方程为，
则该圆在轴上方的部分的方程为，
由是定义域为奇函数，得，
当时，，
故选：D
9．B
【分析】A选项利用偶函数的性质找到矛盾即可；B选项找到合适函数即可；C选项由定义得到集合与已知条件矛盾；D选项由集合的定义找到矛盾.
【详解】对于A选项：时，，
当时，， 任意的，恒成立，
若时偶函数，此时矛盾，故A选项错误；
对于B选项：若函数图像如下：
当时，，时，，当，，
∴存在在处取最大值，故B选项正确；
对于C选项：在时，若函数严格递增，则集合的取值不会是，
而是全体定义域，故C选项错误；
对于D选项：若存在在处取到极小值，则在在左侧存在，，与集合定义矛盾，故D选项错误.
故选：B
10．C
【分析】用代换，可得，联立方程组，求得，结合函数为偶函数，且，得到，可则是周期为的函数，令，求得，结合，即可求解.
【详解】由，用代换，可得，
联立方程组，可得，即，
又由函数为偶函数，且，可得与同号，
所以，可得函数是周期为的函数，
因为，与同号，则，
令，可得，所以，
则.
故选：C.
11．ACD
【分析】对于A，由奇函数性质验算即可；对于B，由零点定义解方程即可；对于C，只需求出即可；对于D，只需算出函数的值域即可.
【详解】对于A，当时，则，,因为是定义在R上的奇函数,所以，故A对.
对于B，时，令,解得，由是定义在R上的奇函数，所以时，又；故函数有3个零点，故B不对.
对于C，对求导得，
所以，故所求切线为，即，所以C对.
对于D，当时，，，
当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，
且当时，，时，所以
由是定义在R上的奇函数，故当时，，因此对，都有，故D对.
故选：ACD.
12．ABD
【分析】在中，令，求出，再令，，即可判断A；根据即可判断B；假设函数是偶函数，推出即可判断C；利用累加法得到，再表示出，利用放缩法即可证明D．
【详解】对于选项A：在中，
令，则，①
再令，，则，A正确；
对于选项B：由①得：，
故一定不是奇函数，B正确；
对于选项C：若是偶函数，则，
所以，
整理得：，故，C错误；
对于选项D：在中，
令，，
可得，
所以，又，
所以，
，
，
，
以上各式累加，得，
故
，D正确．
故选：ABD．
关键点点睛：选项D的关键是通过对的适当赋值、对的放缩，裂项求和来求解．
13．
【分析】首先根据已知条件列出相关等式求出的表达式，然后根据基本不等式的性质和对数运算即可求得最小值.
【详解】由题意，①
则，②
所以两式相加得：，
则，
又，当且仅当时取等号，
所以．
故答案为.
14．0或2
【分析】由偶函数的定义域关于原点对称可求，再证明为奇函数，由此可得函数为奇函数，结合正弦函数性质可求，由此可得，再求结论即可.
【详解】因为是偶函数，所以它的定义域关于原点对称，
所以不等式的解集关于原点对称，
所以不等式的解集关于原点对称，
所以方程的根互为相反数，
所以，此时定义域为，
设，则函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又，所以，
所以，所以函数为奇函数，又是偶函数，
所以恒成立，
所以是奇函数，于是，
此时，于是或.
故0或2
15．
【分析】根据给定条件，利用函数奇偶性定义及性质分段求解不等式.
【详解】由是定义在上的奇函数，得，
是上的偶函数，由，得，
则，由在上递增，得在上递减，
当时，，不等式成立，因此；
当时，，解得；
当时，，解得，
所以不等式的解集为.
故
16．
【分析】结合函数的对称性可得函数的周期性，再由奇函数的性质可得，即可得解.
【详解】由为奇函数，为偶函数，
则有，，
故，
即，
即有，
故函数周期为，故，
由，则有，即，
故.
故答案为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由幂函数定义求得或，再结合幂函数定义域不为验证即可；
（2）结合幂函数的奇偶性、单调性列不等式求解.
【详解】（1）由幂函数的定义可得，解得或，
若，则的定义域为，不符合题意，
若，则的定义域为，符合题意，
所以的解析式为.
（2）由（1）得，的定义域关于原点对称，且，
所以为奇函数，
由可得，
因为在上递减且恒负，在上递减且恒正，
所以或或，
解得或，
所以a的取值范围为．
18．(1)
(2)增函数，理由见解析，最大值为，最小值为
(3)
【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值；
（2）判断出函数是区间上的增函数，然后任取、且，作差，因式分解后判断差值的符号，结合函数单调性的定义可得出结论；
（3）由变形得出，结合函数的定义域、单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）因为在是奇函数，则，
即，可得，解得，故.
（2）是区间上的增函数，理由如下：
任取、且，
则
，
因为所以，，，
所以，即，
所以是区间上的增函数，
所以函数的最小值为，最大值为.
（3）因为是区间上的增函数，且是奇函数，
由可得，
所以，解得，故实数的取值范围是.
19．(1)函数为奇函数；
(2)
【分析】（1）通过证明来证得为奇函数.
（2）利用单调性的定义来证得在上为增函数，根据所奇函数及单调性解不等式即可.
【详解】（1）由已知，函数的定义域为．
，都有，
．
所以函数为奇函数．
（2）任取，且，则，
那么
因为 ， 所以 ，，，
所以 ，
所以 ，
所以 在上是增函数．
因为，所以，且在上是增函数．
所以，所以，
所以不等式的解集
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
D
D
A
B
D
B
C
题号
11
12








答案
ACD
ABD