【高考数学】2026届一轮专题复习：2年高考1年模拟 数列求和 [含答案]

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(1)求数列an的通项公式；
(2)若数列bn满足bn=an，n为奇数，2n，n为偶数，求数列bn的前2n项和T2n.
2.设公比为正的等比数列{an}前n项和为Sn，S3=7a1，且a1，a3，20+a2成等差数列.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn=bn+1+bnbn+1lg2an，b1=1，求数列{bn}的前n项和Tn.
3.已知数列an的前n项和为Sn，数列Snn为等差数列，a1=1，S7=28.
(1)求an的通项公式；
(2)记bn=lg an，其中x表示不小于x的最小整数，如1.9=2，lg 999=3，求数列bn的前2 023项和.
4.已知数列bn是正项等比数列，数列an满足an=2lg2bn-1.
(1)求证：数列an是等差数列；
(2)若a4=7，b3=8，设数列an和bn中的所有项按从小到大的顺序排列构成数列cn，记数列cn的前n项和为Sn，求S50.
5.(2024·杭州二模)欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，例如：φ(1)=1，φ(4)=2，φ(8)=4，数列{an}满足an=φ(2n)(n∈N*).
(1)求a1，a2，a3，并求数列{an}的通项公式；
(2)记bn=(-1)nlg2a2na2n，求数列{bn}的前n项和Sn.
（解析）精练（四十二） 数列求和
1.(2025·苏州模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足2a5=a2+14，S9=72.
(1)求数列an的通项公式；
(2)若数列bn满足bn=an，n为奇数，2n，n为偶数，求数列bn的前2n项和T2n.
解：(1)依题意，设数列an的公差为d，
因为S9=72，所以9a1+a92=9a5=72，则a5=8.
因为2a5=a2+14，即16=a2+14，所以a2=2，
所以d=a5−a25−2=8−23=2，a1=a2-d=0，所以an=(n-1)×2，即an=2n-2.
(2)因为bn=an，n为奇数，2n，n为偶数，
所以bn=2n−2，n为奇数，2n，n为偶数，
所以T2n=0+22+4+24+…+4n−4+22n =(0+4+…+4n-4)+22+24+…+22n =n(0+4n−4)2+22×1−4n1−4=2n2-2n+4n+1−43.
2.设公比为正的等比数列{an}前n项和为Sn，S3=7a1，且a1，a3，20+a2成等差数列.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn=bn+1+bnbn+1lg2an，b1=1，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)因为等比数列公比q>0，S3=7a1=a1+a1q+a1q2，a1≠0，
所以q2+q+1=7⇒(q-2)(q+3)=0，即q=2，
a1，a3，20+a2是等差数列，所以2a3=20+a2+a1⇒8a1=20+2a1+a1⇒a1=4，
所以an=4×2n-1=2n+1.
(2)因为bn=bn+1+bnbn+1lg2an，所以bn=bn+1+bnbn+1lg22n+1=bn+1+(n+1)bnbn+1，
所以1bn+1-1bn=n+1，故1bn-1bn−1=n，1bn−1-1bn−2=n-1，…，1b2-1b1=2，
利用累加法得出1bn-1b1=n+(n-1)+…+2=(n−1)(n+2)2，
1bn-1=(n−1)(n+2)2⇒1bn=n2+n2=n(n+1)2⇒bn=2n(n+1)=21n−1n+1，
Tn=21−12+12−13+…+1n−1n+1=21−1n+1=2nn+1.
3.已知数列an的前n项和为Sn，数列Snn为等差数列，a1=1，S7=28.
(1)求an的通项公式；
(2)记bn=lg an，其中x表示不小于x的最小整数，如1.9=2，lg 999=3，求数列bn的前2 023项和.
解：(1)因为Snn为等差数列，所以公差d=S77−S117−1=12，所以Snn=1+12n−1=n+12，
即Sn=nn+12，
所以an=Sn-Sn-1=nn+12-n−1n2=nn≥2，上式对n=1仍然成立，所以an=n.
(2)由题意可知
bn=lg an=0，n=1，1，1