上海市青浦高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

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考试时间：120分钟 满分：150分
一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 已知集合，则集合_____.
【答案】.
【解析】
【分析】直接利用交集运算的概念得答案.
【详解】因为，
所以，
故答案为：.
2. 已知，则__________．
【答案】
【解析】
【详解】
3. 已知复数满足，其中i是虚数单位，则的虚部为__________.
【答案】1
【解析】
【分析】先由复数的运算求出，再求出的虚部即可.
【详解】由可得，则的虚部为1.
故答案为：1.
4. 在的二项展开式中，常数项是______．（用数值作答）
【答案】160
【解析】
【分析】由二项展开式的通项令计算即可.
【详解】展开式的通项为，
令，
所以常数项为.
故答案为：160.
5. 已知，则在上的数量投影是__________.
【答案】
【解析】
【分析】向量在上的数量投影为，先求出和的值，再代入公式计算.
【详解】已知，，可得.
已知，可得.
根据向量投影的定义，在上的数量投影为，将，代入可得：
.
故答案为：.
6. 不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】
【分析】零点分段法求解绝对值不等式.
【详解】当时，，解得，此时解集为空集，
当时，，即，符合要求，此时解集为，
当时，，解得，此时解集为空集，
综上：不等式的解集为.
故答案为：
7. 已知随机变量的分布列为，则期望__________
【答案】
【解析】
【详解】由题意得a=1−0.4−0.2=0.4 ，
所以期望EX=1×0.4+2×0.2+3×0.4=2 .
8. 已知圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同，若圆柱M与球O的表面积相等，则它们的体积之比______________．（用数值作答）
【答案】
【解析】
【详解】解：∵设圆柱M的底面圆的半径与球O的半径均为R，M的高为h
则球的表面积S球=4πR2又∵圆柱M与球O的表面积相等即4πR2=2πR2+2πR•h
解得h=R则V圆柱=πR3，V球="4" /3 πR3∴V圆柱：V球="3/" 4故答案为3 /4
9. 一块边长为的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器，则该容器的容积最大时正四棱锥的高为__________.
【答案】
【解析】
【详解】由正方形的边长为，所以可得正四棱锥的斜高为，
设正四棱锥的底面边长为，高为，
所以，所以，
所以正四棱锥的体积，
令，求导得，
令，得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，
所以，故该容器的容积最大时正四棱锥的高为.
10. 已知是数列的前项和，且.若，则__________
【答案】
【解析】
【详解】当时，，
当时，，所以，
又，
所以，令，
所以，所以，
当
所以.
11. 已知平面向量，，，满足，，则当与的夹角最大时，的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】以为原点建立平面坐标系，设，，根据向量的数量积的运算公式，分别求得向量的终点所表示的轨迹方程，进而根据圆的性质，即可求解．
【详解】设的起点均为，以为原点建立平面坐标系，如图所示，

不妨设，，则，，
由可得，即，
∴的终点在以为圆心，以为半径的圆上，
同理的终点在以为圆心，以为半径的圆上．
显然当，为圆的两条切线时，最大，即与的夹角最大．
设圆心为，则，∴，则，
∴，
设与轴交于点，由对称性可知轴，且，
∴，
即当与的夹角最大时，
故答案为：
12. 机场为旅客提供的圆锥形一次性纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为，旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，该椭圆的离心率等于_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据余弦定理可得，即可根据相似求解，进而根据椭圆方程求解，，即可由离心率公式求解.
【详解】如图，设，因，故，又，
由余弦定理，，即，
设椭圆中心为O，作圆锥的轴截面AMN，与底面直径BC交于E，与椭圆交于P，Q，
连AE交BD于G，以点O为原点，DB为x轴，建立直角坐标系．
则，又由得，
从而，则得，
不妨设椭圆方程为，把和点P坐标代入方程，解得，
则，故．
故答案为：
二.选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 设均为非零实数,则“”是“”的什么条件( )
A. 必要不充分B. 充分不必要
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案.
【详解】 当,满足,但不成立
不能推出.
若,则
故成立
能推出
“”是“”的必要不充分.
故选:A.
本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题.
14. 已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间中线、面关系的判定和性质逐一判断即可.
【详解】对A：平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，故A错误；
对B：若，，则或，故B错误；
对C：根据线面垂直的定义可知，C正确；
对D：若，，则直线与平面的位置关系不确定，故D错误.
故选：C
15. 探照灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆原理，在平面直角坐标系中，已知抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程是（ ）

A. 19B. 20C. 21D. 22
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的光学性质以及焦半径公式，结合抛物线定义计算可得结果.
【详解】设入射光线和反射光线与抛物线的交点分别为，显然直线过焦点，
分别从向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，如下图所示：

由抛物线方程可知准线方程为，
再由抛物线定义可得，
因此光线从点到点经过的总路程为.
故选：B.
16. 对于函数，若关于的方程，恰有个实数根，则称函数为“”函数。①函数的定义域且；②函数是“”函数，也是“”函数；那么同时满足条件①②的函数共有（ ）个
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先明确函数的一一对应属性，再根据“函数”的递推关系推导部分固定的函数值，结合值域限制确定剩余可自由分配的函数值范围，最后依据“函数”的附加条件，通过排列组合计算符合要求的分配方法总数.
【详解】∵ 函数的定义域和值域均为，
∴ 是定义域到值域的一一映射，即自变量与函数值一一对应.
∵ 该函数为“函数”，满足，且的定义域为，
∴ 当时，可得：
，，.
将代入，可得.
结合值域为，和均为该集合内的元素，
因此仅当时，符合要求，故，，.
此时剩余未确定的函数值对应的值域元素为，
结合，在剩余元素中仅满足倍数关系，
因此，，此时又确定，，
剩余待确定的自变量为，对应剩余值域元素为.
∵ 该函数为“函数”，满足且该方程恰有个根，
此时已确定是方程的两个根.
根据“函数”定义，该方程恰有2个根，
因此对于定义域内其他可能的根方程不能成立.
当时，须有f4≠4 ；当时，须有f8≠2f4.
对于剩余的自变量，其函数值需从中分配且：
1. 为选取取值：可从中任选个，共种选法，
当取值于时，2f4的值分别为10,14,16 ，均不属于的取值范围4,5,7,8，
故该条件恒成立；
2. 剩余的个自变量对应的函数值可从剩余的个未被占用的数值（包含4与另外两个未被选取的数值）中全排列，共种排法.
因此总共有种不同的分配方法.
方法归纳：此类新定义函数计数问题，解题步骤通常为：先根据新定义的递推规则确定部分固定的函数值，结合值域与映射属性排除不符合的情况，再根据附加条件限制自由变量的取值，最后通过排列组合计算符合要求的总方法数.
易错归纳：容易遗漏的限制条件，导致多算符合要求的分配方法；同时需要准确确定剩余待分配的自变量与值域元素的范围，避免混淆变量与函数值的对应关系.
三.解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.
17. 设等差数列的前n项和为，且.
（1）若，求的公差；
（2）若，且是数列中最大的项，求所有可能的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得的公差.
（2）根据数列中的最大项列不等式，从而求得的所有可能取值.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，则
，解得.
【小问2详解】
由（1）得，
由于是数列中最大的项，①，
所以，即
即
解得，由于是整数，所以的可能取值是.
18. 在四面体中，.
（1）若为正三角形，平面平面，求四面体体积；
（2）若，，求二面角的余弦值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）取为BC的中点，连接DE，则，由平面平面，得平面，即是三棱锥的高，根据三棱锥的体积公式即可求解；
（2）由（1），即证，即二面角的平面角为，在中利用余弦定理即可求解.
【小问1详解】
因为，则为等腰直角三角形，
且，
又为正三角形，故，
取BC的中点，连接DE，则，
又平面平面，
平面平面平面DBC，
故平面，
是三棱锥的高，
则其体积；
【小问2详解】
由（1）且，又，
则，且，又，
所以二面角的平面角为，
且.
所以二面角的余弦值为.
19. 为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名同学的阅读量(单位:本)统计结果用茎叶图记录如下(十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”)其中乙组记录有一个数据模糊，无法确认.在图中以表示

（1）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求的所有可能取值；
（2）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”，设，从这20名学生中随机抽取一人，已知该生为阅读达人，求该生为甲组学生的概率；
（3）记甲组阅读量的方差为，在甲组中增加一名学生A得到的“新甲组”.若A的阅读量为10，则记“新甲组”阅读量的方差为，若A的阅读量为20，则记“新甲组”阅读量的方差为.通过计算比较的大小(结果精确到0.1)，并从数学角度解释这一现象.
【答案】（1）1或2或3
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用茎叶图计算平均值，解不等式计算即可；
（2）利用条件概率公式计算即可；
（3）利用方差公式计算各方差，结合方差的统计意义解释即可.
【小问1详解】
甲组10名学生阅读量的平均值为：，
乙组10名学生阅读量的平均值为：，
由，又，且，
所以的值可能为1或2或3.
【小问2详解】
阅读量超过15本的学生，甲组有2人，乙组有3人.
设事件：抽取的学生为甲组学生，事件：抽取的学生为阅读达人.
则，，
所以.
【小问3详解】
对甲组：，
所以.
对新甲组1：，所以.
对新甲组2：，
所以.
所以.
数学解释：由于甲组均值为10，方差反映了数据的离散程度，当增加数据10（原样本均值），数据相对更集中，所以方差变小；当增加数据20，数据更加分散，方差变大.
20. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程；
（3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据的边上中线为得，再联立即可求解；
（2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程得，再由，即，最后代入即可求解；
（3）设直线的方程为,则直线的方程为，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式即可得到面积的最值.
【小问1详解】
由题意，因为，为直角三角形，所以.
又，所以，所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
由（1）知，,显然直线的斜率存在，
设直线的方程为，，
联立消去得，，
所以，即.
且，
因为，所以，
所以，即，
所以，
整理得，
即，
化简得，即满足条件，
所以直线的方程为或，
即直线的方程为或.
【小问3详解】
由题意，,
设直线的方程为,，
则直线的方程为，，
联立消去得，
所以
所以
所以，
同理联立消去得，
所以
所以
所以，
即的中点.
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的面积最大值为.
关键点点睛：本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合应用问题，利用基本不等式求最值，第三问的解题关键是分类联立直线与椭圆方程，求出的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式得到面积的最值.
.
21. 记.已知函数和的定义域都为，若存在、、、，使得，当且仅当x=xii=1,2,⋯,m时等号成立，则称和在上“次缠绕”
（1）判断和在上“几次缠绕”，并说明理由；
（2）设，，若和在上“次缠绕”，求的取值范围；
（3）设，若和在上“次缠绕”，求的取值范围.
【答案】（1）“次缠绕”，理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）结合题设新定义，找到和时，，则得到其为“次缠绕”；
（2）转化为互异的两个正数，使得ℎx·∏i=12x−xi≤0 ，求导得ℎ'x=1−axx，再对合理分类讨论即可求解；
（3）转化为互异的三个正数，使得Gx·∏i=13x−xi≤0 ，求导得G'x=−2ax4−x2+ax3，再对合理分类讨论即可求解.
【小问1详解】
函数fx=sinx,x∈0,2π与gx=csx,x∈0,2π“次缠绕”，理由如下：
因为对任意，有x−π4x−5π4sinx−csx≤0 ，当且仅当和时，等号成立，
所以由“次缠绕”定义可知和在上“次缠绕”.
【小问2详解】
设ℎx=fx−gx=lnx−ax,x∈0,+∞，
因为和在上“次缠绕”，所以存在互异的两个正数，使得ℎx·∏i=12x−xi≤0 ，
当且仅当x=xi,i=1,2 时等号成立，所以是的两个零点，
由ℎ'x=1x−a=1−axx，
当时，，则在上单调递增，不满足题意；
当时，令，得，令，得，
则在上单调递增，在上单调递减，又时，，
要使有两个零点，则ℎ1a=−lna−1>0 ，解得，
此时存在x1∈0,1a,x2∈1a,+∞，使得x−x1x−x2ℎx≤0 成立，当且仅当x=xi,i=1,2 时等号成立，
综上所述，的取值范围为.
【小问3详解】
设Gx=fx−f1x=2lnx+ax2−ax2,x∈0,+∞，
因为和在上“次缠绕”，所以存在互异的三个正数，使得Gx·∏i=13x−xi≤0 ，
当且仅当x=xi,i=1,2,3 时等号成立，所以是的三个零点，
注意到，因此是的一个零点，G'x=−2ax4−x2+ax3，
①当时，，则在上单调递增，是的唯一零点，不满足题意；
②当时，G'x≤0 ，则在上单调递减，是的唯一零点，不满足题意；
③当时，令，即ax4−x2+a=0 ，存在两根0