2025-2026学年河北省石家庄市石家庄市第一中学高二（下）期中数学试卷

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1.设离散型随机变量X的方差为0.01，则随机变量Y=10X+1的方差为（ ）
A. 1.1B. 0.1C. 1D. 10
2.（x-）11的展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A. 第6项B. 第8项C. 第5，6项D. 第6，7项
3.在数列{an}中，a1=1，an+1-3=an，若an=2023，则n=（ ）
A. 675B. 674C. 673D. 672
4.设函数f（x）的定义域为R，且f（x+4）=2f（x），当x∈（0，4]时，f（x）=2x2-8x,若对于∀x∈（-∞，t]，都有f（x）≥-恒成立，则t的取值范围是（ ）
A. （-∞，-11]B. （-∞，-7]C. （-∞，-5]D. （-∞，-3]
5.方程x1+x2+x3+x4+x5=9的非负整数解的组的个数为（ ）
A. B. C. D.
6.在等比数列{an}中，a1=3，且4a1，2a2，a3成等差数列，则a5=（ ）
A. 24B. 48C. 96D. -48
7.函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，f（x）的导函数存在且满足，令a=4f（1），b=2f（2），c=f（4），则a,b,c的大小关系为（ ）
A. a＜b＜cB. b＜a＜cC. c＜b＜aD. c＜a＜b
8.一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”（如213，312等），若a，b，c∈{1，2，3，4}且a，b，c互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用事件A1，A2和A3表示从甲罐中取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，用事件B表示从乙罐中取出的球是红球，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 事件B与事件A1相互独立D. A1，A2，A3是两两互斥的事件
10.“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，则（ ）
A. 在第9条斜线上，各数之和为55
B. 在第n（n≥5）条斜线上，各数自左往右先增大后减小
C. 在第n条斜线上，共有个数
D. 在第11条斜线上，最大的数是C
11.已知函数f（x）=xex，g（x）=xlnx,则下列说法正确的是（ ）
A. 函数f（x）与函数g（x）有相同的极小值
B. 若方程f（x）=a有唯一实根，则a的取值范围为a≥0
C. 若方程g（x）=a有两个不同的实根x1，x2，则x1x2＞a2
D. 当x＞0时，若f（x1）=g（x2）=t,则x1x2=t成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列{an}满足nan+1-（n+1）an=0，且，则a2022= .
13.函数f（x）=lnx++ax存在与直线3x-y=0平行的切线，则实数a的取值范围是______．
14.若，则P（B|A）= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56.
（1）求展开式中所有二项式系数的和；
（2）求展开式中所有项的系数之和；
（3）求展开式中的常数项.
16.(本小题15分)
春节期间，某商场准备举行有奖促销活动，顾客购买超过一定金额的商品后均有一次抽奖机会.抽奖规则如下：将质地均匀的转盘平均分成n（n∈N*，n≥3）个扇区，每个扇区涂一种颜色，所有扇区的颜色各不相同，顾客抽奖时连续转动转盘三次，记录每次转盘停止时指针所指扇区内的颜色（若指针指在分界线处，本次转运动无效，需重转一次），若三次颜色都一样，则获得一等奖；若其中两次颜色一样，则获得二等奖；若三次颜色均不一样，则获得三等奖.
（1）若一、二等奖的获奖概率之和不大于，求n的最小值；
（2）规定一等奖返还现金108元，二等奖返还现金60元，三等奖返还现金18元，在n取（1）中的最小值的情况下，求顾客在一次抽奖中获奖金额的分布列和数学期望.
17.(本小题15分)
设函数f（x）=ex-ax-2．
（1）求f （x）的单调区间；
（2）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x-k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．
18.(本小题17分)
正项数列{an}满足：a1=1，对一切n∈N*，有，其中Sn为数列{an}的前n项和.
（1）证明{an}是等差数列，并求出{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}前n项和，求数列{bn}的通项公式；
（3）若，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn的最大值和最小值.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=lnx+ax2-x．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）存在x≥1，使得成立，求整数a的最小值．
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】BD
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】1011
13.【答案】（-∞，1]
14.【答案】
15.【答案】1024 1 180
16.【答案】解：（1）设“获三等奖”为事件A，由题意得，
又，
所以，整理得4n2-27n+18≥0，
解得（舍去），或n≥6，
所以n的最小值为6．
（2）设顾客在一次抽奖中获奖金额为随机变量ξ，则ξ的所有可能取值为108，60，18，
根据题意得，
，
，
所以ξ的分布列为
所以．
17.【答案】解：（1）f（x）的定义域为R，f′（x）=ex-a，
若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增；
若a＞0，则f′（x）=0解得x=lna．
当x变化时，f′（x），f（x）变化如下表：
所以，f（x）的单调减区间是：（-∞，lna），增区间是：（lna，+∞）．
（2）由于a=1，所以（x-k）f′（x）+x+1=（x-k）（ex-1）+x+1．
故当x＞0时，（x-k）f′（x）+x+1＞0等价于k＜+x（x＞0）①，
令g（x）=+x，则g′（x）=，
而函数f（x）=ex-x-2在（0，+∞）上单调递增，f（1）＜0，f（2）＞0，
所以f（x）在（0，+∞）存在唯一的零点．
故g′（x）在（0，+∞）存在唯一的零点．
设此零点为a，则a∈（1，2）．
当x∈（0，a）时，g′（x）＜0；当x∈（a，+∞）时，g′（x）＞0．
所以g（x）在（0，+∞）的最小值为g（a）．
又由g′（a）=0，可得ea=a+2，所以g（a）=a+1∈（2，3）．
由于①式等价于k＜g（a），故整数k的最大值为2．
18.【答案】（1）因，则当n≥2时，，
两式作差得，即（an+1-an）（an+1+an）=an+1+an，
因an+1+an＞0，则an+1-an=1，
当n=1时，，又a2＞0解得a2=2，则a2-a1=1满足上式，
故数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，
其通项公式为an=1+（n-1）×1=n （2） （3）最大值为3，最小值为
19.【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=lnx+x2-x，该函数的定义域为（0，+∞），
则，当且仅当时，等号成立，
故函数f（x）的增区间为（0，+∞），无单减区间．
（2）存在x≥1，使得成立，
即，
令，其中x≥1，则a≥g（x）min，
，
令，则，
令m（x）=3x3-2x+4，m′（x）=9x2-2＞0对任意的x≥1恒成立，
故函数m（x）在[1，+∞）上为增函数，则m（x）≥m（1）=5，
即h′（x）＞0对任意的x≥1恒成立，则函数h（x）为增函数．
因为，
所以存在，使得，
当x∈（1，t）时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，
当x∈（t，+∞）时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增，
所以，
设，则，
令p（t）=3t3-2t+4，则p′（t）=9t2-2＞0对任意的恒成立，
故函数p（t）在上为增函数，则，
即φ（t）＞0对任意的恒成立，故函数φ（t）在为增函数，
故，即，即，
因为a为整数，所以整数a的最小值为2． ξ
108
60
18
P
x
（-∞，lna）
lna
（lna，+∞）
f′（x）
-
0
+
f（x）
减
极小值
增