2024-2025学年河北省石家庄市二中教育集团高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年河北省石家庄市二中教育集团高一下学期期末考试数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=(x,5)，b=(2,−1)，若b⊥(a−b)，则x=( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
2.复数z=2−i1+i(其中i是虚数单位)，则z的共轭复数z=( )
A. 12−32iB. −12−32iC. 12+32iD. −12+32i
3.“幸福感指数”指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取7位小区居民，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，4，则这组数据的第60百分位数是( )
A. 7B. 7.5C. 8D. 9
4.已知正四棱台的上、下底面面积分别为4和16，侧棱长为 6，则该正四棱台的体积为( )
A. 563B. 28 63C. 56D. 28 6
5.有一种质地均匀的“新型”骰子，其六面中有两面点数为1，三面点数为2，一面点数为3，现连续掷两次该骰子，则这两次掷出点数之和为奇数的概率为( )
A. 49B. 12C. 14D. 34
6.如图，平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4，∠BAD=120∘，AB=a，AD=b，H，M分别是AD，DC的中点，F是BC上一点，且BF=13BC，则AM⋅HF=( )
A. −3B. −2C. −72D. −113
7.已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD为矩形，AA1=2 3，且该棱柱外接球O的表面积为20π，E为线段AB上一点．则当该四棱柱的体积取最大值时，D1E+CE的最小值为( )
A. 6B. 5+ 17C. 2 5+2D. 2 10
8.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csA=78.M为△ABC内部的一点，且aMA+bMB+cMC=0，若AM=xAB+yAC，则x+y的最大值为( )
A. 45B. 54C. 56D. 12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设A，B为两个随机事件，若PA=12，PB=34，则下列结论中正确的是( )
A. 若A⊆B，则PA∪B=12
B. 若PA∩B=38，则A，B相互独立
C. 若A与B相互独立，则PA∪B=58
D. 若A与B相互独立，则PA∩B=18
10.已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且∠C=π3，c=2，则下列结论正确的有( )
A. △ABC面积的最大值为 3
B. bcsA+acsB= 2
C. △ABC周长的最大值为6
D. csBcsA的取值范围为(−∞, 32)∪( 3,+∞)
11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，E是棱CC1(不包含端点)上的动点，F在正方形ADD1A1内，CF//平面AD1E，则下列结论正确的是( )
A. 平面AD1E截正方体ABCD−A1B1C1D1所得的截面一定是等腰梯形
B. 存在点E，使得异面直线D1E与BC1夹角的余弦值为3 28
C. 若E是CC1的中点，则点F的轨迹长度是 2
D. 三棱锥D−AD1E外接球表面积的最小值是41π4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a，b的夹角为5π6，|a|=1，|b|= 3，则|2a+b|= ．
13.设复数z满足|z+2i|+|z−2i|=4，则|z−1−i|的取值范围是 ．
14.在三棱锥A−BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AB=BC=1，BD= 2，三棱锥A−BCD的所有顶点均在球O的表面上，若点M、N分别为△BCD与△ABD的重心，直线MN与球O的表面相交于F、G两点，则|FG|:|MN|=
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知▵ABC中，A,B,C所对的边为a,b,c，向量m=(a+c,a−b)，n=sinB,sinA−sinC，且m//n．
(1)求C的大小；
(2)若D为AB中点，CD=2，且▵ABC面积为 3，求边c．
16.(本小题15分)
今年是国家安全法颁布十周年，4月15日迎来了第十个全民国家安全教育日．某大学团委组织开展了2025年全民国家安全教育知识竞答活动，旨在践行总体国家安全观，增强全民国家安全意识和素养．该活动共有200名学生参加，现将所有答案卷面成绩统计分成五段，分别为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，并作出如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中x的值；
(2)根据频率分布直方图，求这200名学生成绩的中位数和平均数(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)；
(3)已知学生成绩落在[70,80)的平均数是77，方差是5；落在[80,90)的平均数是84，方差是5.求这两组数据的总方差．
附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m,x1,s12;n,x2,s22，记两组数据总体的样本平均数为w，则总体样本方差s2=mm+ns12+x1−w2+nm+ns22+x2−w2．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AD//BC，AD=AP=2AB=2BC=2，PA⊥平面ABCD，E为棱PD上的动点．
(1)当E为棱PD的中点时，证明：EC//平面PAB;
(2)若PE=2ED，求平面EAC与平面PAB夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2bcs B=c,A=3B．
(1)求角B；
(2)设D为边BC上一点，记▵ABD，▵ACD的面积分别为S1,S2，若AD=3，且S1−S2= 32．
①求sin⁡∠BAD；②求a的值．
19.(本小题17分)
如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD为菱形，AA1=AC1=AB=2，∠BAD=60°，∠AA1B1=∠AA1D1，E是侧棱CC1上的一点．
(1)证明：AA1⊥B1D1．
(2)求点E到平面AA1B1B的距离．
(3)若直线B1E与平面AA1B1B所成角的正弦值为 4214，求C1E的长度．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：因为a=(x,5)，b=(2,−1)，
所以a−b=x−2,6，
因为b⊥(a−b)，
所以b·(a−b)=2x−2−6=0，
解得x=5．
故选：C．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查复数的四则运算和共轭复数，直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由共轭复数的概念即可求解．
【解答】
解：因为z=2−i1+i=2−i1−i1+i1−i=1−3i2=12−32i，所以z=12+32i．
故选C．
3.【答案】A
【解析】【分析】利用百分位数定义规则即可求得这组数据的第60百分位数．
解：该组数据从小到大排列为：4，5，5，6，7，8，9，且 7×60%=4.2 ．
所以第60百分位数是第5个数，即7．
故选：A．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意可得该正四棱台的上下底面边长分别为2，4，又侧棱长为 6，
所以高为 ( 6)2−(2 2− 2)2=2，
所以该正四棱台的体积为13×(4+16+8)×2=563．
故选：A．
根据棱台的体积公式，即可求解．
本题考查棱台的体积的求解，属基础题．
5.【答案】B
【解析】【分析】记第一次掷出的点数为奇数为事件A，掷出的点数为偶数为事件A，记第二次掷出的点数为奇数为事件B，掷出的点数为偶数为事件B，可得两次掷出点数之和为奇数为事件A∩B+A∩B，利用并事件与互斥事件的概率公式可求概率．
【详解】记第一次掷出的点数为奇数为事件A，掷出的点数为偶数为事件A，
则PA=12,PA=12，
记第二次掷出的点数为奇数为事件B，掷出的点数为偶数为事件B，
则PB=12,PB=12，
则两次掷出点数之和为奇数为事件A∩B+A∩B，
所以PA∩B+A∩B=PA∩B+PA∩B=PAPB+PAPB=12×12+12×12=12．
故选：B．
6.【答案】D
【解析】解：由题，a=3，b=4，a⋅b=3×4×−12=−6，
AM=AD+DM=12AB+AD=12a+b，
HF=HA+AB+BF=−12AD+AB+13AD=a−16b，
∴AM⋅HF=12a+b⋅a−16b=12a2−16b2+1112a⋅b=12×9−16×16+1112×(−6)=−113．
故选：D．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查直棱柱的结构特征，体积和基本量的计算及外接球的表面积，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
首先求得外接球的半径，再设出矩形ABCD的长，宽分别为x，y，根据外接球的直径就是直四棱柱的对角线长，得到x2+y2=8，进而由基本不等式得到xy的最大值，即可得到体积的最大值．
【解答】
解：设外接球O的半径为R，则球O的表面积S=4πR2，
由题意，4πR2=20π，解得R= 5，
设矩形ABCD的长，宽分别为x，y，
则x2+y2+12=2 52，即x2+y2=8，
∴直四棱柱的体积为V=2 3xy≤ 3x2+y2=8 3，当且仅当x=y=2时取等号，
即底面为边长为2的正方形时，四棱柱的体积最大，
将平面ABCD沿AB展开，与ABC1D1处于同一平面，
则D1E+EC≥D1C= CC12+C1D12=2 10．
故选：D．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查平面向量基本定理，考查余弦定理及基本不等式求最值，解题关键是由平面向量基本定理把x，y用a，b，c表示出来．
把已知等式中MB，MC向量用AB，AC，AM表示后可求得x，y，由余弦定理得a，b，c的关系，求出ab+c的最值，再由基本不等
式性质得结论．
【解答】
解：∵aMA+bMB+cMC=0，
∴aAM=bMB+cMC=b(AB−AM)+c(AC−AM)，
∴AM=ba+b+cAB+ca+b+cAC，
又AM=xAB+yAC，
∴x=ba+b+c，y=ca+b+c，
∴x+y=b+ca+b+c=1ab+c+1，
由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−74bc=(b+c)2−154bc，
由bc≤(b+c)24(当且仅当b=c时取等号)可知，a2≥(b+c)2−154×(b+c)24=(b+c)216，
∴ab+c≥14，
∴x+y≤114+1=45，即x+y的最大值是45．
故选A．
9.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查相互独立事件，事件的并、交运算，对立事件的概率公式，属于中档题．
根据交、并事件概率公式，相互独立事件概率公式，对立事件概率公式分别判断即可．
【解答】
解：对于A，若 A⊆B ，则 PA∪B=PB=34 ，故A错误；
对于B，因为 PA=12 ， PB=34 ，
所以 PAPB=38=PA∩B ，所以A，B相互独立，故B正确；
对于C，A与B相互独立，则 A,B 也相互独立，
则 PA∪B=1−PA∩B=1−PAPB=1−1−12×1−34=78 ，故C错误；
对于D，A与B相互独立，则 A,B 也相互独立，
所以 PA∩B=PAPB=1−12×1−34=18 ，故D正确．
故选：BD．
10.【答案】AC
【解析】解：对A选项，∵∠C=π3，c=2，∴csC=12=a2+b2−42ab，
∴ab+4=a2+b2≥2ab当且仅当a=b=2时，取得等号，
∴ab≤4，∴S△ABC=12absinC= 34ab≤ 3，∴A选项正确；
对B选项，∵bcsA+acsB
=b⋅b2+c2−a22bc+a⋅a2+c2−b22ac
=2c22c=c=2，∴B选项错误；
对C选项，由A选项的分析知a2+b2=ab+4，
∴(a+b)2−4=3ab≤3⋅(a+b2)2，且仅当a=b=2时，取得等号，
∴(a+b)2≤16，∴a+b≤4，又c=2，
∴△ABC周长a+b+c≤6，∴C选项正确；
对D选项，∵C=π3，∴A+B=2π3，
∴csBcsA=cs(2π3−A)csA=−12csA+ 32sinAcsA=−12+ 32tanA，
又A∈(0,2π3)，∴tanA∈(−∞,− 3)∪(0,+∞)，
∴csBcsA∈(−∞,−2)∪(−12,+∞)，∴D选项错误．
根据余弦定理，重要不等式，均值不等式，三角函数的性质即可求解．
本题考查余弦定理，重要不等式，均值不等式，三角函数的性质，属中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，令平面AD1E截正方体ABCD−A1B1C1D1所得的截面在正方形BCC1B1内的边为EE1，
由平面BCC1B1//平面ADD1A1，平面ADD1A1∩平面AD1E=AD1，得EE1//AD1，
而AD1//BC1，则EE1//BC1，CE1=CE，因此AE1=D1E，而EE1