北京市大兴区2025~2026学年度第二学期期中练习初三数学（含解析）

这是一份北京市大兴区2025~2026学年度第二学期期中练习初三数学（含解析），共2页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意.
2. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据点在数轴上的位置，判断实数的大小，进行判断式子的符号即可．
【详解】解：由图可知，，，
∴，；
综上，只有选项D正确．
3. 如图，直线交于点O，．若，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平角的定义进行求解即可；
【详解】解：∵直线交于点O，，
∴，
∵，
∴．
4. 某校八年级大课间设置了四项体育活动：篮球投篮、排球垫球、1分钟跳绳、25米往返跑．将四个项目的名称分别写在四张完全相同不透明的卡片正面上，通过抽取卡片的方式确定各班参加的活动项目．现把四张卡片背面朝上，洗匀后，一班从中随机抽取一张后放回并洗匀，二班再随机抽取一张，则一班和二班恰好抽到同一项体育活动的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了概率，利用列举法得到所有等可能结果数，再得到满足条件的结果数，代入概率公式求解即可．
【详解】解：记四个体育活动分别为，，，，
∵一班抽取后放回洗匀，二班再抽取，
∴一班有种等可能的抽取结果，二班也有种等可能的抽取结果，
所有等可能结果总数为 种，
其中一班和二班抽到同一项活动的结果，共种，
∴概率．
5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，结合一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等实数根时根的判别式，列出关于的关系式即可求解.
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
整理得，解得，满足的条件，
∴的值为1.
6. 在AI技术发展中，词元（）是大模型处理信息的基本单元，具有智能时代可计量、可定价、可交易的特征、据国家数据局发布信息：2024年初，我国日均词元调用量为1000亿；2026年3月，日均词元调用量已突破140万亿．若2026年3月日均词元调用量为2024年初日均词元调用量的n倍，则n用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：140万亿亿亿，1000亿亿
由题意得．
7. 如图，在中，，，分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，得到两弧的交点，过这两个交点的直线分别交，于点D，E，连接，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先得出垂直平分，则，再得出，则可得的度数，然后利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：由题意，画出图形如下：
由作图可知，垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
8. 如图，在平面直角坐标系中，A是x轴正半轴上的动点，点D在x轴负半轴上，点B，C在抛物线上，四边形是矩形，连接，设A的横坐标为m，给出下面三个结论：
①当矩形为正方形时，；
②抛物线上O，B两点之间的部分与线段围成的图形面积小于；
③记抛物线上C，B两点之间的部分与线段围成的图形面积为，抛物线上O，B两点之间的部分与线段围成的图形面积为，则．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，求出点的坐标，根据邻边相等的矩形为正方形求出的值，连接，求出的面积，判断②，连接，根据对称性，判断③.
【详解】解：由题意，，
∵轴，
∴关于轴对称，
∴，
∴，
当时，即时，矩形为正方形，
解得（舍去）或；故①正确；
连接，则，
观察可知O，B两点之间的部分与线段围成的图形在的内部，
故抛物线上O，B两点之间的部分与线段围成的图形面积小于；故②正确；
连接，由对称性可知两点之间的部分与线段组成的图形面积和两点之间的部分与线段组成的图形面积相等，，，
∵等于两点之间的部分与线段组成的图形面积和两点之间的部分与线段组成的图形面积以及的面积之和，等于两点之间的部分与线段组成的图形面积与的面积之和，
∴．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式即可求解．
【详解】解：．
10. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可．
【详解】解：若在实数范围内有意义，
则有，解得，
则实数x的取值范围是．
11. 方程的解为________．
【答案】
【解析】
【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后，检验得到原方程的解．
【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得
，
移项，得
，
合并同类项，得
，
检验：当时，，
因此是原分式方程的解．
12. 在平面直角坐标系中，若点与点在函数的图象上，则的值为______．
【答案】
0
【解析】
【分析】根据点在反比例函数图象上，点的坐标满足函数解析式，得到与，与的关系，再推导计算的值即可．
【详解】解：∵点和点都在函数的图象上，
∴将两点坐标代入函数解析式，可得 ，，
整理得 ，，
∴，即 ，
∴．
13. 某校为调查学生对传统节日文化的了解情况，随机抽取150名学生针对春节、清明、端午、中秋四大传统节日的习俗、文化内涵等知识进行测评，测评结果按测评成绩分为4个等级，数据整理如下：
根据以上信息，估计该校1500名学生中，达到良好及以上等级的人数是_______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据抽取的150名学生的数据算出达到良好及以上等级的学生所占的比例，再用这个比例去估计1500名学生中达到良好及以上等级的人数．
【详解】解：从数据中可知，良好等级的人数为66人，优秀等级的人数为24人，
所以达到良好及以上等级的人数为人，
达到良好及以上等级的学生所占比例为，
估计全校1500名学生中，达到良好及以上等级的学生人数为人．
14. 《弧矢算术》为明代数学家顾应祥所撰，该著作系统整理了“径矢求弦、径弦求矢、弦矢求径”等10余类问题，是中国古代切割圆形进行计算的重要方法，对当时的工程测量、历法计算具有重要实用价值．其中有一题目为：“圆径十寸，从旁截一弧，矢阔一寸．问：截弦？”．题意为：如图，是的直径，弦于点E．若，，则的长为_____．
【答案】
6
【解析】
【分析】先根据圆的直径求出半径，再结合已知条件求出的长度，然后利用垂径定理和勾股定理求出的长度，最后根据垂径定理求出弦的长度．
【详解】解：连接，如图，
已知是的直径，且，
可得，
因为，，
所以．
因为弦于点，
根据勾股定理可得，
因为弦于点，
所以．
15. 如图，在正方形中，点E是中点，连接，点F为上一点，．若，则的面积为____．
【答案】##
【解析】
【分析】过点A作的垂线，垂足为G，证明，再利用三角形面积的比是相似比的平方，即可得出结果．
【详解】解：过点A作的垂线，垂足为G，如下图：
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，相似三角形的性质．作辅助线，构造相似三角形，利用面积比是相似比的平方，是解题的关键．
16. 某科技运维公司调配6台新一代智能巡检机器人，分配给甲、乙、丙、丁四个运维站，每个运维站最多可投放3台机器人，各运维站产生的单日运维增效利润（单位：元）与投放台数（单位：台）的对应关系如下表：
（1）若规定每个运维站至少投放1台机器人，剩余机器人追加投放到同一运维站，则应优先追加投放给_____运维站，才能使单日总增效利润最大；
（2）若将6台机器人自由分配投放，则当日可获得的最大总增效利润为______元．
【答案】 ①.
乙 ②.
【解析】
【分析】（1）根据题意，每个运维站至少1台，先确定已分配4台，剩余2台需全部投放到同一运维站，分别计算不同投放的总利润，比较得到最大值对应的运维站即可；
（2）根据题意，自由分配6台机器人，每个运维站最多3台，列举所有可能使总利润较大的分配方案，计算总利润后比较得到最大值即可.
【详解】解：（1）由题意，每个运维站至少投放1台，共分配台，剩余台追加到同一运维站，因此该运维站共投放台，其余运维站各投放台，分别计算总利润：
若追加给甲：总利润为；
若追加给乙：总利润为；
若追加给丙：总利润为；
若追加给丁：总利润为；
因为，因此应优先追加投放给乙；
（2）由题意，6台机器人自由分配，考虑到甲、乙两个运维站的增效利润较高，我们优先测试将机器人集中分配给这两个站的组合，每个运维站最多投放3台，列举所有总利润较大的情况：
①投放甲台，乙台，总利润；
②投放甲台，乙台，丁台，总利润；
③投放甲台，乙台，丁台，总利润；
④投放甲台，乙台，丁台，总利润；
⑤投放甲台，乙台，丙台，丁台，总利润；
故最大总利润为元.
三、解答题（共68分，第17-19题每小题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查绝对值、零指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值的计算，先分别化简每一项，再进行加减运算即可．
【详解】解：
．
18. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法．先分别求出两个不等式的解集，然后根据口诀（同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到）或者数轴求出两个不等式解集的公共部分即是该不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①，得
解不等式②，得
原不等式组的解集为．
19. 已知，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】先对给定的代数式进行化简，再根据已知条件求出化简后代数式的值．
【详解】解：已知，移项可得，
，
将代入可得．
20. 如图，在四边形中，，，点E，F分别为的中点，．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）先根据点E，F分别为的中点，得出，证明四边形为平行四边形，结合一组邻边相等的平行四边形是菱形进行作答即可；
（2）根据菱形的性质得，再运用斜边上的中线等于斜边的一半得，最后由勾股定理进行列式计算，即可作答．
【小问1详解】
证明：∵点E，F分别为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为菱形；
【小问2详解】
解：由（1）得四边形为菱形，
∴，
∵，点E为的中点，
∴，
即，
在中，．
21. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点
（1）求和的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）把点的坐标分别代入两个解析式求出和的值；
（2）由（1）可知函数的解析式为，函数的解析式为，函数的解析式为，当时，若要函数的值大于函数的值，则有，若要函数的值小于函数的值，则要，从而可得的取值范围．
【小问1详解】
解：把代入，
可得：，
解得：；
把代入，
可得：，
解得：；
【小问2详解】
解：由（1）可知，，
函数的解析式为，函数的解析式为，函数的解析式为，
，
，
当时，若，
可得：，
解得：，
．
22. 每年五月，世界级月季名园——大兴世界月季主题园迎来花海盛宴，景致怡人．某学校组织师生到该园区开展综合实践活动．经了解，园区门票原价为60元/人，网络平台购票按原价八折优惠．此次参与活动的学生人数比教师人数的10倍多4人，全体师生按原价购票比按网络平台购票多花费972元．
（1）此次参加活动的教师与学生各有多少人？
（2）若网络平台另有双人票88元的优惠方式，相比全部按门票原价八折购票，最多能节省______元．
【答案】（1）
此次参加活动的教师有7人，学生有74人.
（2）
320
【解析】
【分析】（1）设参加活动的教师有人，根据“全体师生按原价购票比按网络平台购票多花费972元”列方程求解即可；
（2）分别计算出两种方式的费用，然后求出差额即可；
【小问1详解】
解：设参加活动的教师有人，则参加活动的学生有人，
根据题意，得，
解得，
∴，
答：此次参加活动的教师有7人，学生有74人；
【小问2详解】
解：采用双人票与单人票组合的购买方式，总费用为（元），
全部按门票原价八折购票需要（元），
∴网络平台另有双人票88元的优惠方式，相比全部按门票原价八折购票，最多能节省（元）．
23. 为了研究影响小麦叶绿素含量的相关因素，某校社团小组随机选取试验田内种植的15株小麦健康样本，测定其孕穗期功能叶片叶绿素含量（单位：），并对所得实验数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．株小麦样本的叶绿素含量，按从小到大的顺序排列，如下：，，，，，，，，，，，，，，；
b．株小麦样本的叶绿素含量的平均数、中位数、众数如表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中，的值：_______，_____；
（2）社团小组成员认为极端数据会影响整体的评估，因此去掉本次测定数据中的一个最大值和一个最小值，计算其余13个数据的平均数为，则______（填“”“”或“”）；
（3）相关研究表明，施肥会影响植物叶绿素含量．为了评估新型有机肥的效果，随机选取10株生长状况相近的小麦样本，并随机平均分成甲、乙两组．对甲组施加新型有机肥，对乙组施加常规肥料，其他条件一致，经过一段时间再测量施肥后的叶绿素含量得到数据如下表：
若每组小麦叶绿素含量数据的方差越小，则认为叶绿素含量越稳定．结合两组数据的方差进行分析，_______组（填“甲”或“乙”）在施肥后对提升叶绿素含量的稳定性表现更好．
【答案】（1），
（2）
（3）甲
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求解；
（2）计算其余13个数据的平均数，与比较大小，即可求解；
（3）分别计算甲、乙两组数据的方差，再根据方差越小数据越稳定的原则进行判断．
【小问1详解】
解：中位数是第8个数，；出现最多，众数．
【小问2详解】
解：．
【小问3详解】
解：甲组数据的方差，乙组数据的方差，
因为，
所以甲组在施肥后对提升叶绿素含量的稳定性表现更好．
24. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点A作⊙的切线，且，连接交于点F．
（1）求证：；
（2），，求的长．
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）利用圆的切线性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质进行证明即可．
（2）通过证明三角形相似，得到线段之间的比例关系，再结合勾股定理进而求解即可．
【小问1详解】
证明：是的切线，为直径，
，即，
，
，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
解：由（1）知，
，
，
，
设，则，
，
，
过点作于点，如图，
，，，
四边形为矩形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即，解得（负值舍去），
．
在中，，
，
．
25. 旋转木马是每个孩子珍藏在童年里的梦幻乐园．某游乐场旋转木马的所有座位均匀分布在同一个圆上，绕圆心做匀速逆时针运动（如图1）．小瑞将旋转木马的其中两个相邻座位抽象为A，B两点，在旋转木马外设置固定观测点C，当起始位置点A与点C、圆心O在同一条直线上时（如图2）开始计时．
小瑞记录了不同时刻（单位：秒）时，观测点C到A，B的距离分别为，（单位：米），部分数据如下：
通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在平面直角坐标系中，画出与之间关系的函数图象．
（1）在平面直角坐标系中，画出与t之间关系的函数图象；
（2）至少经过m秒，A点就会回到初始位置，则_____；
（3）该旋转木马座位总数为________个；
（4）从开始，至少经过____秒，点C到A，B的距离相等；
（5）当秒时，的值为_____．
【答案】（1）见解析 （2）30 （3）6 （4）12.5
（5）
【解析】
【分析】（1）根据图象中的点画出与t之间关系的函数图象即可；
（2）根据表格的数据可知，时与时点C到A的距离的值相同，由此可得m的值；
（3）根据30秒就可以转完一圈，可得1秒转，再根据表格的数据可得点A转动到点B的时间，由此可求解；
（4）根据点C到A，B的距离相等，可结合对称性求解度数，由此求解时间；
（5）先求解出圆的半径，再根据勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：与t之间关系的函数图象如图：
【小问2详解】
解：根据表格的数据可知，时与时点C到A的距离的值相同，
∴至少经过30秒，A点就会回到初始位置；
【小问3详解】
解：∵30秒转完一圈，即1秒转，
由表格数据可知，A点5秒后即可到达B点，
∴A点转动过的角度为，
即每相邻的两个座位之间的角度为，
∴旋转木马座位总数为个；
【小问4详解】
解：当点C到A，B的距离相等，则有与关于对称，如图，
∵，
∴，
即当点C到A，B的距离相等时，点A转过，
∴秒，
∴从开始，至少经过12.5秒，点C到A，B的距离相等；
【小问5详解】
解：当秒时，点A转过的角度为，如图，
根据表格可知，当时，有最大值为，
此时点A位于点D的位置，则有，
记圆的半径为r，则有，解得，
在中，，，
∴，
∴当秒时，的值为．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
（1）求抛物线的对称轴和c的值（用含m的式子表示）；
（2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N（M，N不重合）．
①若，，求的长；
②已知在点P从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小，求m的取值范围．
【答案】（1）抛物线的对称轴为直线，
（2）①；②或
【解析】
【分析】（1）直接根据抛物线的对称轴为直线，求出其对称轴，再将点代入解析式求解，即可解题；
（2）①根据，得到点，抛物线为，直线为，结合题意求出点M的坐标与点N的坐标，进而即可得到的长；
②根据点P从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小，分两种情况：当M在N的上方时，当M在N的下方时，利用解析式表示出的长，再结合二次函数增减性建立不等式求解，即可解题．
解题关键在于运用分类讨论的思想分析问题．
【小问1详解】
解：抛物线经过点，
，且抛物线的对称轴为直线，
；
【小问2详解】
解：①若，，
则点，抛物线为，直线为，
过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，
又，
点M的坐标为，点N的坐标为，
；
②抛物线为，直线为， M，N不重合，
当M在N的上方时，
，
，
的长在直线左侧随的增大而减小，
又点从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小，
，即，
且当时，有，
解得，
故无解；
当M在N的下方时，
，
，
的长在直线右侧随的增大而减小，
又点从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小，
，即，
且当时，有，
解得或，
综上或．
27. 如图，在中，，，D为线段上一点，连接，，将线段绕点D逆时针旋转得到，连接，点F是中点，连接．
（1）连接，求的度数（用含的式子表示）；
（2）用等式表示与的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质，得到是等腰直角三角形，得到，根据角的和差关系即可得出结果；
（2）作于点，作于点，根据三线合一和斜边上的中线得到，证明，得到，，进而推出，，在上截取，根据三角形的中位线定理和中垂线的性质，即可得出结果．
【小问1详解】
解：连接，
∵旋转，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，证明如下：
作于点，作于点，则，
∵，，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
在上截取，则，
∴，
∴，
∵，
∴
∵为的中点，
∴，
∴，即．
28. 在平面直角坐标系中，已知点，，对于坐标原点和点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，称点是点的“对应点”．
（1）如图，当点，时，
①画出点的“对应点”点；
②若点是点“的对应点”，则的坐标是______；
（2）当点，时，是半径为的上一点，点是点的“对应点”，则线段的最小值是_______，最大值是_____；
（3）当点，时，是以线段为半径的上一点，若上存在点是点的“对应点”，直接写出的取值范围．
【答案】（1）①见解析；②
（2）；；
（3）或
【解析】
【分析】（1）①根据新定义，结合平移的性质，得出，描点，即可求解；
②根据新定义确定平移方式，即可求解；
设，根据新定义得，即可求解；
（2）根据题意得出点在以为圆心半径为1的圆上，求得，再根据一点到圆上的距离的最值问题，即可求解；
（3）根据新定义得出点是以为圆心，为半径的圆上运动，进而结合图形分析两圆相切或相交时，的值，即可求解．
【小问1详解】
解：①如图所示，
∵，
∴，
∴，
将点向左平移4个单位，向上平移2个单位得到
②依题意，点是点的“对应点”，
∴从点到，平移方式为向右平移2个单位向上平移1个单位
设，
∴，解得：
∴
【小问2详解】
解：∵点，时，是半径为的上一点，点是点的“对应点”，
将向右平移3个单位，向上平移3个单位得到，
∴点在以为圆心半径为1的圆上
∴
∴线段的最小值是；最大值为；
【小问3详解】
解：点，时，是以线段为半径的上一点，
∴
∵点是点的“对应点”，
∴
如图，点是以为圆心，为半径的圆上运动，
依题意，点是沿方向平移得到的，则
若上存在点是点的“对应点”，则两圆相切或相交，
当两圆相切时，
∴
∵，
∴，
∴
解得：或
当点在的左侧时，
如图，当点在的右侧时，
综上所述若上存在点是点的“对应点”，的取值范围为或．
考
生
须
知
1．本试卷共8页，共28道题．满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
等级
待提升
合格
良好
优秀
测评成绩M（单位：分）
学生人数
15
45
66
24
运维站
增效利润
投放台数
甲
乙
丙
丁
1
50
36
23
24
2
74
67
42
46
3
96
91
60
71
平均数
中位数
众数
甲组叶绿素含量
乙组叶绿素含量
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
…
2.00
4.36
7.00
8.00
7.00
4.36
2.00
4.36
7.00
8.00
7.00
4.36
2.00
…
4.36
7.00
8.00
7.00
4.36
2.00
4.36
7.00
8.00
7.00
4.36
2.00
4.36
…